Wycieczka w n-ty wymiar

1
Wycieczka w n-ty wymiar
2
Jak narysowac szescian? Musimy zmiescic trzy
wymiary w dwóch !!

• Szescian mozemy skonstruowac przesuwajac kwadrat
  wzdluz trzeciego wymiaru . Patrzymy na
  niebiesko-czarne równolegloboki, ale bez trudu
  wyobrazamy sobie, ze to sa kwadraty!!!

3
Konstrukcja kostki wymiaru 4

• I oto szescian. Krawedzie odpowiadajace róznym
  kierunkom w przestrzeni sa zaznaczone róznymi
  kolorami. To tak, jakby zamiast x, y, z pisac
  czarny, niebieski, zielony.
• Nastepnie przesuwamy nasz szescian wzdluz
  czwartego wymiaru. Niewazne, gdzie ten czwarty
  wymiar jest. Musimy znalezc dla niego miejsce na
  plaszczyznie (podobnie jak dla wymiaru numer 3).
  Niech nowy wymiar bedzie czerwony i na rysunku
  biegnie w prawo w dól.

4
Kostka czterowymiarowa, hiperszescian
5

• Ile wierzcholków ma taka kostka?
• Odp 2 razy tyle, co szescian, czyli 16 .
• Ile ma krawedzi ? tyle co dwa szesciany plus 8
  , czyli 32 .
• Ile ma scian wymiaru 2 24
• I jeszcze sciany wymiaru 3, jest ich 8.
• Zauwazmy, ze 16 - 32 24 8 0 .
• Obliczmy ( 2x 1 ) 4
• 16x4 32x3
• 24x2 8x 1.
• Liczba scian wymiaru k
• to wspólczynnik przy xk
• w rozwinieciu ( 2x 1 ) n

6
W kostce wymiaru n liczba scian wymiaru k to
wspólczynnik przy xkw rozwinieciu ( 2x 1 ) n

• Sciana wymiaru k powstaje albo z przeciagniecia
  jednej sciany k-1 wymiarowej w nastepnym
  wymiarze albo jest sciana k-wymiarowa w jednej z
  dwóch podstaw!

• Pomnózmy jakis wielomian przez 2x1. Jak tworza
  sie wspólczynniki iloczynu ?
• (.... akxk ak-1xk-1 ... )
• ( 2 x 1 )
• ..... ( 2ak-1 ak ) xk

Obliczmy wartosc (2x1) dla x -1 oraz dla x
1. Suma naprzemienna (-1)n, suma zwykla 3n
7
Przekatna kostki czterowymiarowej

• Widoczny rózowy trójkat jest prostokatny. Jedna z
  przyprostokatnych jest krawedzia kostki, druga
  przekatna zwyklego szescianu. Zatem z
  twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ze dlugosc
  przeciwprostokatnej to

Indukcja przekatna kostki wymiaru n ma dlugosc
8
Zadanie o kulach wpisanych
????????

• W naroza kostki wymiaru n wpisano kule
  jednakowych rozmiarów, styczne do kostki i
  styczne do siebie wzajemnie. Obliczyc promien
  tych kul.
• Miedzy te kule wpisano kule styczna. Obliczyc jej
  promien.
• Odp. 4 r 1 n1/2

9

• 24-cell

10
4-symplex
11
Czworoscian i szescian

• Czy w dowolnym wymiarze n tez tak jest?

12
Cztery zywioly i kosmos
Ogien Woda Ziemia Powietrze Kosmos
13
Cztery zywioly i Kosmos
14
Mysterium cosmographicum (1596)
15
Promien kuli wpisanej i kuli opisanej na
wieloscianie foremnym o krawedzi 1.
ltltGeometryPolytopes
16
Mysterium cosmographicum

• Johannes Kepler
• (1571-1630)

17
Johannes Kepler Mysterium Cosmographicum, 1596
Ziemia jest miara wszystkiego. Opisz na niej
dwunastoscian, kolo go obejmujace bedzie Marsem.
Opisz na Marsie czworoscian, kolo go obejmujace
bedzie Jowiszem. Opisz szescian na Jowiszu, kolo
go obejmujace bedzie Saturnem. A teraz w Ziemie
wpisz dwudziestoscian, kolo w niego wpisane
bedzie Wenus. Wpisz w Wenus osmioscian, kolo w
niego wpisane bedzie Merkurym. Oto jaka jest
przyczyna liczby planet.
Odleglosci planet od Slonca Merkury 58, Wenus
108, Ziemia 150, Mars 228, Jowisz 788, Saturn
1424.
18
oto jaka jest przyczyna liczby planet
Naprawde Wedlug teorii Keplera
58 mln km 0,387 0,459
108 mln km 0,720 0,795
150 mln km 1 1
228 mln km 1,520 1,258
778 mln km 5,187 3,375
1424 mln km 9,493 6,539
19
Sympleks wymiaru n

• Widzimy, ze wysokosc dazy do 1/?2 ?2 /2 ,
  zaczyna zas od ?3 / 2 .
• Objetosc do zera.
• Pole powierzchni tez do zera.
• Obliczmy kat nachylenia krawedzi do podstawy.
  Sinus kata ABH to hn . Dazy on do 45 stopni.

S
20
Objetosci w wysokich wymiarach

• Wyznaczyc dlugosc krawedzi sympleksu
  n-wymiarowego o objetosci 1 .
• Rozwiazanie
• Na przyklad dla n 10
• jest to okolo 5,68
• Wykres funkcji
• dlugosci krawedzi
• sympleksu o obj. 1

21
Zadanie

• W naroza sympleksu wymiaru n wpisano kule
  jednakowych rozmiarów, styczne do sympleksu i
  styczne do siebie wzajemnie. Obliczyc promien
  tych kul.
• Miedzy te kule wpisano kule styczna. Obliczyc jej
  promien.

22
Opór kostki I3

• Do przeciwleglych wierzcholków szescianu
  podlaczono prad. Opór kazdej krawedzi jest równy
  1. Wyznaczyc opór calego ukladu.

23
Opór kostki I4

• Transportujemy 12 worków z punktu zóltego do
  czerwonego. Na pierwszym odcinku (zólty-brazowy)
  dzielimy na 4 po 3. Potrzebujemy zatem 3
  jednostek czasu. Na drugim odcinku puszczamy po
  1. Na trzecim (brazowy-fioletowy)
• to samo. Na czwartym (fioletowy-zielony) tak, jak
  na pierwszym, szybkosc 1/3. Lacznie
  transportujemy ciezar 12 w czasie
• 3 1 1 3 8.
• Odpowiedz

24
Zadanie. Do przeciwleglych wierzcholków kostki In
podlaczono prad. Opór kazdej krawedzi kostki
jest równy 1. Wyznaczyc opór ukladu.

• Odpowiedz

Jak obliczyc ?n ? Do czego dazy ?n przy n ? 8 ?
25
Opór n-kostki
Dla n 100 opór jest równy w przyblizeniu
0,0202063, a dokladnie
26
Kólko i krzyzyk dla matematyka

• Potnijmy szescian na 4 ? 4 ? 4 male kostki.
  Gracze stawiaja na przemian kólka i krzyzyki
  (albo kropki róznych kolorów) w kostkach. Wygrywa
  ten, kto pierwszy ustawi swoje cztery symbole w
  jednej linii.
• Cwiczenie (na zrozumienie regul). Ten, na kogo
  przypada ruch, wygrywa. Gdzie ma postawic?

27
Kólko i krzyzyk dla prawdziwego matematyka

• Oto kostka I4. Ustaw swoje kropki na jednej linii.

Narysuj kostke I5 , pocieta na 66 kosteczek i
graj .....
A moze nie trzeba rysowac?
28
Co ona i on robia w przestrzeni ?

• W przeciwleglych wierzcholkach szescianu siedza
  mucha i pajak. Mucha zaczyna lazic po krawedziach
  szescianu wybierajac co minute losowo jeden z
  kierunków. Wyznaczyc prawdopodobienstwo, ze mucha
  przezyje n (minut).
• Punkt widzenia pajaka prawdopodobienstwo obiadu
  po co najwyzej n minutach.

29
Okraglosci podobaja sie wszystkim...

• Czyli o sferze oczywiscie w n wymiarach!!!!

30
Hegel zabawki dla dzieci sa symbolami
metafizycznymi

• Pilka symbol jednosci wszechogarniajacej swiat
  Ball Bild vom All .
• Szescian symbol równosci w jednosci
• Kula reprezentuje ruch (teza)
• Szescian reprezentuje spoczynek (antyteza)
• Walec laczy te dwie sprzecznosci (synteza)

31
Sphere

• The God is a circle whose centre is everywhere
  and circumference nowhere (medieval)

32
.
Okraglosci podobaja sie wszystkim...
czyli o sferze oczywiscie w n wymiarach!!!!
33
Okraglosci podobaja sie wszystkim

• Sfera jest powierzchnia zamknieta, bez brzegu
  nie ma takiej linii, za która sfery by juz nie
  bylo. Ogranicza pewien obszar wnetrze kuli.
  Ogladana z kazdej strony wyglada zawsze jak kolo.
  Ze wzgledu na doskonala symetrie nadaje sie do
  gier toczy sie gladko i równo inaczej niz
  elipsoidalna pilka do rugby czy futbolu
  amerykanskiego. Ma stala, niezerowa krzywizne i
  dlatego wlasnie nie da sie izometrycznie polozyc
  na plaszczyznie. Kazda mapa musi cos
  znieksztalcac.
• Kuli pokrytej wlosami nie mozna gladko zaczesac
  zawsze jest co najmniej jeden punkt, w którym
  wlosy utworza wir bez okreslonego kierunku. To
  cytat ze slynnej ksiazki Kalejdoskop Matematyczny
  Hugona Steinhausa (1882 1976), wyrazajacy
  popularnie znakomite twierdzenie Karola Borsuka
  (1905 1982) nie istnieje ciagle pole wektorowe
  nigdzie nie znikajace na sferze.
• Inne twierdzenie Borsuka o sferze sfera nie jest
  retraktem kuli.
• Jeszcze jedno mozna popularnie sformulowac tak w
  kazdym momencie sa na Ziemi dwa antypodyczne
  miejsca, w których jest taka sama temperatura i
  takie samo cisnienie.

34
Objetosc i pole powierzchni sfery n-wymiarowej
        


 
35
(No Transcript)
36
Jak by sie zylo w wysokich wymiarach?

•         W przestrzeniach o wyzszych wymiarach
  bysmy marzli, ale bylibysmy zwinniejsi.
•         Sprawdzic ani udowodnic sie nie da, to
  tylko czyste spekulacje, zabawa intelektualna.
  Ale pouczajaca. Spójrzmy na wzory. Stosunek
  objetosci kuli do pola jej powierzchni jest
  gorszy niz w naszym swiecie. Poniewaz cieplo
  ucieka z ciala (albo wnika do niego) cala
  powierzchnia, wiec im gorszy ten stosunek, tym
  latwiej upiec jablko w piekarniku i tym szybciej
  tracimy cieplo na mrozie.
• Miesnie sa blisko powierzchni ciala. Zatem im
  wiecej ciala jest blizej powierzchni, tym zwierze
  jest zwinniejsze. Wystarczy porównac slonia i
  mysz. W przestrzeni czterowymiarowej tej stosunek
  dzialalby na nasza korzysc.

37
Homotopia

• Pierwsza grupa homotopii mierzy ile i jakie
  dziury sa w przestrzeni.
• Matematyk rzekl zdziwiony
• Ona nie ma drugiej strony!!!!
• Godzinami tne ja wzdluz -
• Ona cala jest i juz.
• A ja jestem juz zmeczony.

38
Hipoteza Poincaré

• Henri Poincaré (1854 1912) mozna nazwac ojcem
  topologii, zwanej wtedy Analysis Situs (analiza
  polozenia).
• Hipoteza Henri Poincaré (1854 1912). Czy kazda
  spójna i jednospójna rozmaitosc topologiczna bez
  brzegu jest sfera S3 ?
• Problem nie rozwiazany od blisko 100 lat.
• Dla sfery wymiaru n gt 5 rozstrzygnal to Stephen
  Smale w latach 60-ych. Dla n 4 Michael Freedman
  w latach 80-ych. Obaj dostali medale Fieldsa.
• W 2000 roku hipoteza Poincare zostala uznana
  przez Instytut Claya za jeden z siedmiu
  najwazniejszych problemów matematyki. Za
  rozwiazanie kazdego z nich czeka nagroda w
  wysokosci miliona dolarów.

39
(No Transcript)
40
Kody
41
Dante Alighieri, Boska komedia ostatnie wersy.

• Allalta fantasia qui manco possa
• Ma gia volgeva il mio disio e lvelle,
• Si come nota chigualmente é mossa,
• Lamor che move il sole e altre stelle.

• Dalej fantazja moja nie nadazy.
• A juz wtórzyla pragnieniu i woli
• Jak kolo, które w parze z kolem krazy.
• Milosc, co wprawia w ruch slonce i gwiazdy.