GLI INSIEMI

1
GLI INSIEMI

• Dispensa a cura del prof.
• CAVAGNA GIANCARLO
• Luglio 2002

2
Presentazione
Questa dispensa nasce come supporto alla lezione.
Il docente può integrare le proprie spiegazioni
proiettando le diapositive anche non in sequenza.
Animazioni e chiarezza grafica sono sicuramente
da considerarsi aspetti vantaggiosi rispetto agli
strumenti tradizionali. Le animazioni inoltre,
possono aiutare lo studente nellapprendimento
graduale del concetto. Questa presentazione può
anche essere utilizzata come valido supporto allo
studio. Lallievo può utilizzarla per rivedere
autonomamente le parti fondamentali dellunità
didattica. Sono state inoltre introdotte alcune
diapositive di approfondimento sugli insiemi
infiniti e i paradossi che ne derivano, queste
diapositive richiedono il sostegno di una
spiegazione. Vengono infine proposti alcuni
esercizi grazie ai quali lallievo può
autoverificare il proprio grado di preparazione.
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RAPPRESENTAZIONE
Per rappresentare un qualsiasi insieme possiamo
utilizzare tre diversi metodi. Si voglia ad
esempio rappresentare linsieme che chiameremo
A di tutti gli amici di Marco che sono Andrea,
Marta, Simone, Matteo, Anna, Martina.
A
Con i diagrammi di Eulero Venn
1
Marta ?
Simone ?
Andrea ?
Martina?
Matteo ?
Attraverso la rappresentazione tabulare
(estensiva)
Anna?
2
A ?Marta Andrea Matteo Martina Simone Anna?
Enunciando la proprietà caratteristica
(intensiva)
3
A ?x?x è amico di Marco?
4
APPARTENENZA ?
U
B ?b d?
A
a ?
B
A ?a b d e f?
b ?
e ?
f ?
U ?a b c d e f?
d?
c ?
a ? A, a ? U, a ? B,
b ? B, b ? A, b ? U
c ? U, c ? B, c ? A
5
SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE ?, ?
U
B è un SOTTOINSIEME IMPROPRIO di A
A
Ogni insieme è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di sé
stesso
a ?
B
C
b ?
d?
Linsieme vuoto è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di
ogni insieme
c ?
A è un SOTTOINSIEME DI U
B ? A
? ? C, ? ? B, ..
C è un SOTTOINSIEME DI B
A? U
C? B
A ? A, B ? B,..
6
SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE
U
U ?a b c d e f?
A
A ?a b d e f?
a ?
B
b ?
e ?
B ?b d?
f ?
d?
?b d? ? B
c ?
?a b d? ? A
?d? ? B
7
APPARTENENZA e INCLUSIONE
INCLUSIONE
APPARTENENZA
A
b ?
?
?
?
d?
Linsieme ?db? è uguale ad A
Lelemento b appartiene allinsieme A
Linsieme ?b? è strettamente incluso nellinsieme
A
?db? ? A oppure ?db? A
b ? A
?b? ? A
8
INSIEME COMPLEMENTARE. A
A CuA ?x?x ?U e x ? A ?
U
b ?
A
d ?
c ?
E linsieme degli elementi di U
e ?
a ?
f ?
g ?
A ?a b g?
Che non appartengono ad A
9
INSIEME COMPLEMENTARE. CBA
CBA ?x?x ?B e x ? A ?
B
b ?
A
d ?
c ?
E linsieme degli elementi di B
e ?
a ?
f ?
g ?
CBA ?a b g?
Che non appartengono ad A
10
INTERSEZIONE A ? B
E linsieme degli elementi che appartengono sia
ad A sia a B
A ? B ?x?x ?A e x ? B ?
B
A
A ? B
11
CASI PARTICOLARI DELLINTERSEZIONE
A ? A A
Se A ? B ?, A e B si dicono DISGIUNTI
A ? ? ?
A ? A ?
Se B ? A allora A ? B B
A ? U A
12
UNIONE A ? B
E linsieme degli elementi che appartengono ad A
o a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi
dati.
A ? B ?x?x ?A o x ? B ?
B
A
A ? B
13
UNIONE di insiemi DISGIUNTI
LUNIONE degli insiemi A e B è linsieme degli
elementi che appartengono ad A o a B, cioè ad
almeno uno dei due insiemi dati.
A
B
A ? B
14
CASI PARTICOLARI DELLUNIONE
A ? A A
A ? ? A
A ? A U
Se B ? A allora A ? B A
15
A ? B A ? B
A ?a b c d e f?
B ?d e f g h i l?
B
A
g ?
a ?
d ?
i ?
b ?
e ?
h ?
c ?
f ?
l ?
A ? B ?d e f?
A ? B ?a b c d e f g h i l?
16
DIFFERENZA. A - B
A - B ?x?x ?A e x ? B ?
E linsieme formato da tutti gli elementi di A
che non appartengono a B
B
A
A - B
Si tolgono ad A tutti gli elementi che
appartengono a B
E costituito dagli elementi di A che NON
appartengono a B
17
DIFFERENZA. A - B, B - A.
A ?a b c d e f?
B ?d e f g h i l?
B
A
g ?
a ?
d ?
i ?
b ?
e ?
h ?
c ?
f ?
l ?
A - B ?a b c?
B - A ?g h i l?
18
DIFFERENZA. A - B, B - A.
A
B
g ?
a ?
d ?
h ?
e ?
i ?
b ?
c ?
f ?
l ?
B
g ?
A
a ?
B - A ?g h i l?
d ?
h ?
e ?
i ?
b ?
c ?
f ?
l ?
B
g ?
a ?
d ?
e ?
h ?
i ?
b ?
A - B ?a b c?
f ?
c ?
A
l ?
19
CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA TRA INSIEMI
A - A ?
A - ? A
Se A ? B ? allora A - B A e B - A B
Se B ? A allora B - A ?
20
INSIEME DELLE PARTI P(A)
Dato un insieme A, linsieme di tutti i suoi
SOTTOINSIEMI propri e impropri, si definisce
insieme delle parti di A e si indica con P(A)
A ?a b c?
A
a ?
b ?
I possibili SOTTOINSIEMI di A sono
Linsieme delle parti di A è
c ?
?a b c?
?
?a?
?b?
?c?
?a b?
?a c?
?b c?
P(A) ? ? ?a? ?b? ?c? ?a b? ?a c? ?b
c? ?a b c? ?
Gli elementi di P(A) sono INSIEMI
Se A contiene n elementi, P(A) ne contiene 2n
21
PARTIZIONE DI UN INSIEME
Si consideri un numero n di sottoinsiemi di A.
A
A2
A1
A3
A5
Si dice che questi sottoinsiemi costituiscono una
PARTIZIONE di A se
A4
Ogni sottoinsieme è proprio
1
Ai ? A e Ai ? ?, ? i
I sottoinsiemi sono a due a due disgiunti
Ai ? Ak ? con i ? k
2
Lunione di tutti i sottoinsiemi dà linsieme A
A1 ? A2 ? A3 ? A4 ? A5 A
3
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PRODOTTO CARTESIANO
Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A
e B, e si indica A x B, linsieme formato da
tutte le coppie ordinate (xy) dove il primo
elemento appartiene ad A e il secondo a B
A x B ?(xy)?x ? A e y ? B ?
Dati gli insiemi A ?a b c? e B ?12?
Si legge A cartesiano B
A
B
a ?
1 ?
(b 1),
(a 1),
(a 2),
A x B ?
b ?
(c 2) ?
(c 1),
(b 2),
2 ?
c ?
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RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO
Linsieme A x B ?(a 1) (a 2) (b 1) (b
2) (c 1) (c 2)? può essere rappresentato
graficamente nei seguenti modi
A
B
Rappresentazione SAGITTALE
a ?
1 ?
b ?
Rappresentazione mediante tabella a DOPPIA ENTRATA
2 ?
c ?
Rappresentazione CARTESIANA
?
?
?
2
?
?
?
1
c
a
b
24
OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO
La coppia (xy) è diversa dalla coppia (yx)
Gli elementi dellinsieme cartesiano sono coppie
A x A A2
A x B ? B x A
Se A e B hanno rispettivamente n e m
elementi, linsieme A x B possiede nxm elementi.
25
LE STRANEZZE DEGLI INSIEMI INFINITI
26
Linsieme dei numeri pari P è un sottoinsieme
proprio dellinsieme dei numeri naturali N?
Rispondi
N ?0 1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12.. ?
Si! Infatti per costruire P scelgo solo alcuni
elementi di N.
P ?0 2 4 6 8 10.?
Quale insieme ha più elementi? N o P?
Se P ha meno elementi, come si è portati a
pensare essendo P un sottoinsieme proprio di N,
contando gli elementi di P ad un certo punto ci
si dovrà fermare, proprio come succede quando si
conta il numero delle stanze della casa dove
abitiamo! PROVA A CONTARE UTILIZZANDO LE DITA IL
NUMERO DELLE STANZE DELLA TUA CASA!!!!
27
Proviamo a contare quanti elementi (numeri) ha P.
Invece che contare utilizzando le dita come
facciamo qualche volta, utilizziamo linsieme N e
delle frecce. Per ora trascuriamo lo zero.
N ?1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12.. ?
P ?2 4 6 8 10 12 14
16 18.?
A quale numero ci fermiamo????? Quanti sono gli
elementi di P?? Chi ha più elementi N o P?
Abbiamo ottenuto un risultato assai strano! Dato
un insieme con un numero infinito di elementi è
possibile che un suo SOTTOINSIEME PROPRIO abbia
lo stesso numero di elementi!!!
28
LHOTEL DI HILBERT
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Hotel infinito
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
29
In rete

• http//multifad.formazione.unipd.it/insiemi/parad
  ossi.htm
• In questo sito troverete
• nozioni fondamentali sugli insiemi
• animazioni riguardanti le operazioni fra insiemi
• un po di storia relativa allo sviluppo della
  teoria degli insiemi
• il paradosso dellHotel infinito di Hilbert.

http//www.dm.unibo.it/matematica/AlgebraLineare/d
iz1/insiemi.htm Un ipertesto con brevi note
teoriche, alcuni esempi ed esercizi.
30
ESERCIZIO N. 1..
C
Trova A ? B ? C
Clicca sulla risposta corretta
m ?
B
n ?
A
g ?
a ?
d ?
i ?
b ?
e ?
h ?
c ?
f ?
l ?
A ? B ? C ?g h i l?
A ? B ? C ?d?
Esercizio Successivo
A ? B ? C ?d e f?
A ? B ? C ?e f?
31
ESERCIZIO N. 2..
C
Trova C - (A ? B)
Clicca sulla risposta corretta
m ?
B
n ?
A
g ?
a ?
d ?
i ?
b ?
e ?
h ?
c ?
f ?
l ?
C - (A ? B) ?m n?
C - (A ? B) ?e f?
Esercizio Successivo
Soluzione passo passo
C - (A ? B) ?m n d?
C - (A ? B) ?g h i l?
32
ESERCIZIO N. 3..
C
Quale espressione rappresenta larea evidenziata?
Clicca sulla risposta corretta
B
A
C - (A ? B)
C ? B
Esercizio Successivo
(C ? B) - A
(A ? B) - C
33
ESERCIZIO N. 4..
C
Quale espressione rappresenta larea evidenziata?
Clicca sulla risposta corretta
B
A
C - (A ? B)
C ? B
Esercizio Successivo
(C ? B) - A
(A ? B) - C
34
ESERCIZIO N. 5..
C
Quale espressione rappresenta larea evidenziata?
Clicca sulla risposta corretta
B
A
(C - (A ? B)) ? ((A ? B) - C)
C ? B
Esercizio Successivo
(C ? B) - A
(A ? B) - C
35
RISPOSTE AI QUESITI
36
SOLUZIONE ESERCIZIO N. 2..
Un clic del mouse per avanzare passo-passo
Si tolgono a C gli elementi di A ? B
Trova C - (A ? B)
C
Soluzione ?m n?
m ?
B
n ?
A
g ?
a ?
d ?
i ?
b ?
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h ?
c ?
f ?
l ?
Torna allesercizio
37
TEORIA DEGLI INSIEMI
COMPLIMENTI RISPOSTA ESATTA!!!!
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38
TEORIA DEGLI INSIEMI
MI DISPIACERISPOSTA ERRATA!!!!
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