IL%20CALCOLO%20COMBINATORIO

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IL CALCOLO COMBINATORIO

• Il calcolo combinatorio ha come obiettivo il
  calcolo dei vari modi con i quali possono essere
  associati gli elementi di due o più insiemi o di
  uno stesso insieme, dopo aver prefissato delle
  regole precise.
• I raggruppamenti possono essere fatti in diversi
  modi a volte bisogna tener conto dellordine con
  il quale gli elementi vengono scelti, a volte
  bisogna tener conto della natura degli elementi,
  altre volte invece interessa sia la natura che
  lordine degli elementi.
• GLI ARGOMENTI TRATTATI DAL CALCOLO COMBINATORIO

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ARGOMENTI TRATTATI DAL CALCOLO COMBINATORIO

• DISPOSIZIONI
• PERMUTAZIONI
• COMBINAZIONI
• PROPRIETA DEI COEFFICIENTI BINOMIALI
• SVILUPPO DELLA POTENZA DI UN BINOMIO
• CRITERIO DI SCELTA TRA I DIVERSI ALLINEAMENTI DEL
  CALCOLO COMBINATORIO

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DISPOSIZIONI

• Dato un insieme A di n elementi,si definiscono
  disposizioni di classe k quei raggruppamenti di k
  elementi che vengono scelti fra gli elementi
  dellinsieme A. n rappresenta il numero totale
  degli elementi, mentre k rappresenta la classe,
  cioè il numero di elementi di ciascun
  raggruppamento. Ogni raggruppamento differisce
  dagli altri o per natura (A diverso B) o per
  lordine (AB diverso da BA) degli elementi. Le
  disposizioni possono essere semplici o con
  ripetizione Per avere la visione dei
  raggruppamenti si utilizza il diagramma ad
  albero. Con esso i raggruppamenti si leggono da
  sinistra verso destra, o dallalto verso il
  basso. Nei diagrammi ad albero ci sono dei nodi
  ogni nodo si può diramare. I risultati si leggono
  sui rami.

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DISPOSIZIONI SEMPLICI

• Si dicono disposizioni semplici quei
  raggruppamenti di elementi distinti tra di loro.
  Si indicano con D n,k
• D n,k è uguale al prodotto di k fattori interi
  decrescenti a partire da n.Esempio D 4,2
  4312. Si usano solo due fattori perché k è
  uguale a 2. Se k fosse stato 3 si sarebbe fatto
  432.
• Se si hanno quattro elementi A,B,C,D, quante
  sigle di due elementi si possono formare?
• A B C
  D

b
c
d
a
c
d
a
b
d
a
b
c
ab
ac
ad
ba
bc
bd
ca
cb
cd
da
db
dc
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DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE

• Si dicono disposizioni con ripetizioni quei
  raggruppamenti di elementi che compaiono più di
  una volta. E si indicano con Dn,k .
• Dn,k è la potenza di n elementi elevati a k.
  Esempio D4,2 4216
• Se si hanno quattro elementiA,B,C,D quante sigle
  di due elementi si possono formare?(ricordandosi
  che si ripetono)
• A B C
  D

a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
aa
ab
ac
ad
ba
bb
bc
bd
ca
cb
cc
cd
da
db
dc
dd
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PERMUTAZIONI

• Dato un insieme A di n elementi, si definiscono
  permutazioni di n elementi (diversi fra loro) i
  raggruppamenti formati dagli n elementi presi in
  un ordine qualsiasi. I raggruppamenti contengono
  tutti gli elementi dellinsieme e ogni
  raggruppamento differisce dagli altri soltanto
  per lordine degli elementi.
• Le permutazioni possono essere semplici o con
  ripetizione.
• Anche questi raggruppamenti possono essere
  rappresentati con i diagrammi ad albero.
• La permutazione si può pensare come una
  disposizione di n elementi di classe n.

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PERMUTAZIONI SEMPLICI

• Le permutazioni semplici si indicano con Pn n!,
  dove il ! rappresenta il fattoriale, cioè si
  pone
• Un semplice esempio sulle permutazioni è dato
  dagli anagrammi,anche senza significato, che si
  possono ottenere partendo da una parola
  qualsiasi. Ad esempio gli anagrammi della parola
  ROMA sono dati dalle permutazioni di 4
  elementi, quindi si avrà

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8
PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE

• Data una parola di n lettere nella quale una
  lettera è ripetuta a
• volte, unaltra b volte il numero delle
  permutazioni distinte
• con elementi ripetuti si possono ottenere
  risulta

Ad esempio gli anagrammi distinti della parola
MAMMA sono
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COMBINAZIONI

Dato un insieme A di n elementi, si definiscono
combinazioni degli n elementi di classe k i
raggruppamenti di k elementi tali che ogni
raggruppamento differisca dagli altri solo per la
natura degli elementi ( senza considerare quindi
lordine degli elementi). Le combinazioni possono
essere semplici o con ripetizione. I
raggruppamenti si possono indicare anche con
. Questo simbolo è detto coefficiente
binomiale per il suo uso nello sviluppo delle
potenze di un binomio
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COMBINAZIONI SEMPLICI
Le combinazioni semplici si indicano con
Esempio
Le combinazioni semplici si usano quando gli
elementi dei raggruppamenti non si ripetono e
sono distinti fra di loro
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COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE
Le combinazioni con ripetizione si indicano con
k
Le combinazioni con ripetizione si usano quando
gli elementi dei raggruppamenti si ripetono.
Esempio
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PROPRIETA DEI COEFFICIENTI BINOMIALI
1) La legge dei tre fattoriali
Si utilizza quando si ha a disposizione la
calcolatrice
n
2) Proprietà simmetrica
n
3)
Queste due proprietà rappresentano due
sottoproprietà della prima
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SVILUPPO DELLA POTENZA DI UN BINOMIO
Come applicazione dei coefficienti binomiali,
calcoliamo La prima lettera
decresce, la seconda cresce . I coefficienti dei
monomi rappresentano i numeri che si ottengono
dal triangolo di tartaglia del numero 5.
1
5
10
10
5
1
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avanti
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Sviluppo della potenza di un binomio parte 2
Alla fine si ottiene
Polinomi di questo tipo hanno varie proprietà1)
sono ordinati secondo le potenze decrescenti in a
e crescenti in b. 2) Sono composti da n1
termini. 3) Sono omogenei, cioè ogni monomio è
dello stesso grado. 4) Sono completi, cioè ogni
polinomio è presente con ogni grado.
Lo sviluppo della potenza di un binomio si
esprime in generale con la formula di Newton
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CRITERIO DI SCELTA FRA I DIVERSI ALLINEAMENTI DEL
CALCOLO COMBINATORIO
DISPOSIZIONI Ogni raggruppamento differisce
dagli altri o per natura (A diverso da B) o per
lordine (AB diverso da BA) degli elementi.
PERMUTAZIONI Ogni raggruppamento differisce
dagli altri soltanto per lordine degli elementi
(AB diverso da BA).
COMBINAZIONI Ogni raggruppamento differisce
dagli altri soltanto per la natura degli elementi
(A diverso da B).
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A CURA DI
BAGGI MARCO PALLOTTA
VALENTINA CLASSE 4Ai