Infinito, scienza, e paradosso

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Infinito, scienza, e paradosso

• G. Aldo Antonelli
• Dipartimento di logica e filosofia della scienza
• Università della California, Irvine

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Linfinito nellantichità
Linfinito fa irruzione prepotentemente con la
scoperta che ?2 non è esprimibile come rapporto
di due numeri interi.
La scoperta è dovuta a Ippaso di Metaponto Non
ci sono numeri interi n e m tali che ?2 n/m.
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?2 nella matematica mesopotamica
Tavoletta rappresentante la diagonale di un
quadrato di lato 30 (in base 60!)
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Leredità pitagorica
Ippaso fu condannato a morte per annegamento da
Pitagora affinché la sua scoperta restasse
segreta.
È linizio della tradizione matematico-filosofica
dellhorror infiniti. Per secoli la natura
paradossale dellinfinito ha tenuto lontani
matematici e filosofi
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Zenone di Elea
Il paradosso di Zenone viene considerato
indicativo delle difficoltà concettuali
intrinseche nella nozione di infinito.
Il piè veloce Achille deve completare un numero
infinito di azioni prima di poter raggiungere la
lenta tartaruga.
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La tradizione aristotelico-tomistica
Aristotele distingue linfinito potenziale da
quello attuale, negando lesistenza di
questultimo (apeiron). Tommaso riprende la
distinzione nemmeno Dio onnipotente può creare
un ente infinito. Severino Boezio definisce
linifinito malitiae dedecus.
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George Berkeley
Nell Analista, Berkeley critica il nuovo
calcolo di Leibniz e Newton per luso di quantità
infinitesimali.
Gli infinitesimali sono fantasmi di quantità
defunte, considerati di volta in volta positivi
oppure 0, a seconda della convenienza. Saranno
Cauchy e Weierstrass a ripulire il calcolo
infinitesimale dando la definizione usuale di
limite in termini di quantità piccole ma finite
(e-d).
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Giordano Bruno
Bruno è il primo grande esponente di una
tradizione alternativa, in cui la nozione di
infinito viene rivalutata. Questa tradizione,
derivante dallaverroismo medievale, e che vede
predecessori in Duns Scoto e Gregorio da Rimini,
fiorisce durante il rinascimento.
Nella sua opera De linfinito, universo e mondi,
(1584), Bruno sostiene linifinità delluniverso,
a cui mancherebbe quindi un centro, fisico e
teologico.
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Galileo Galilei
Nei Discorsi e Dimostrazioni Matematiche intorno
a due nuove scienze (1638) Galileo nota che i
quadrati perfetti sono altrettanto numerosi
quanto i numeri naturali
e conclude che le nostre menti finite non sono
attrezzate a trattare nozioni infinite.
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Richard Dedekind
Dedekind adottò la caratteristica dei numeri
naturali identificata da Galileo come definizione
degli insiemi infiniti
Un insieme è infinito se e solo se può essere
messo in corrispondenza biunivoca con una sua
parte propria.
Dio ci ha dato i numeri naturali tutto il resto
è creato dalluomo
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Georg Cantor
Cantor è il fondatore della teoria transfinita
degli insiemi. Forse il suo contributo più
importante è la scoperta che esistono diversi
ordini di grandezze infinite.
Ci sono più numeri reali fra 0 e 1 (punti
giacenti sul segmento di lunghezza unitaria)di
quanti siano i numeri naturali. La famosa
dimostrazione è il primo esempio di
argomentazione diagonale.
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Largomentazione diagonale
Supponiamo di poter contare I numeri reali che
rappresentano punti sul segmento unitario
0
1
n0 0, 2 6 8 7 5 9 4 5 8 6 n1 0, 9 3 6 9 0
3 8 5 3 5 n2 0, 8 5 6 2 0 9 5 2 5 6 n3 0,
3 4 6 0 3 4 1 8 4 5 n4 0, 7 5 7 0 9 4 6 2 5 4
..
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Permutando la diagonale
n0 0, 2 6 8 7 5 9 4 5 8 6 n1 0, 9 3 6 9 0
3 8 5 3 5 n2 0, 8 5 6 2 0 9 5 2 5 6 n3 0,
3 4 6 0 3 4 1 8 4 5 n4 0, 7 5 7 0 9 4 6 2 5 4
..
Consideriamo le cifre decimali sulla diagonale
n0 0, 3 6 8 7 5 9 4 5 8 6 n1 0, 9 4 6 9 0
3 8 5 3 5 n2 0, 8 5 7 2 0 9 5 2 5 6 n3 0,
3 4 6 1 3 4 1 8 4 5 n4 0, 7 5 7 0 0 4 6 2 5 4
..
Permutando la n-esima cifra dell n-esimo numero
numero si ottiene un numero 0,34710 al di fuori
dalla lista.
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La cardinalità del continuo
Avendo scoperto che i numeri sul segmento
unitario sono più numerosi dei numeri naturali,
si potrebbe supporre che i numeri i numeri reali
siano più numerosi di quelli sul segmento
unitario. Ma non è così
0
1
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Lipotesi del continuo
Abbiamo visto che tutti gli insiemi infiniti di
numeri reali considerati finora o sono numerabili
oppure hanno la cardinalità del continuo.
Lipotesi del continuo (IC), formulata da Georg
Cantor, asserisce che non ci sono insiemi di
cardinalità intermedia.
Lipotesi del continuo è ancora uno dei più
difficili problemi aperti della matematica
moderna.
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Kurt Gödel
Forse il più grande matematico del ventesimo
secolo, dimostrò lesistenza di proposizioni
matematiche assolutamente indecidibili.
Gödel dimostrò anche che IC non è refutabile
negli usuali sistemi insiemistici (1940) e Paul
Cohen dimostrò che essa non è nemmeno
refutabile. Ma nel 1944 Gödel indicò la
possibilità di decidere IC postulando assiomi
forti dellinfinito un programma ancora da
realizzare.
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Abraham Robinson
Il fondatore dellanalisi non standard, una
teoria matematica del continuo che ammette
esplicitamente quantità infinitesimali (minori di
per ogni ) e quindi anche i loro inversi le
quantità infinite.
Le considerazioni di Berkeley in cui culminò la
tradizione tomistica non si applicano più
linifinito e gli infinitesimi sono cittadini a
pieno titolo del nostro panorama concettuale.
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Giacomo Leopardi
Leopardi, pur essendo animato da un pessimismo
materialistico, è ancora saldamente ancorato
nella tradizione tomistica. Linfinito è
negativamente caratterizzato come
irraggiungibile, e quindi non portatore della
delusione associata al soddisfacimento del
desiderio finito.