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Metodo di Calcolo Numerico per Equazioni
differenziali Ordinarie
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Metodi a un passo
In generale, studiaremo strategie che rientrano
nella categoria dei cosiddetti metodi a un passo
il nome deriva dal fatto che per calcolare la
soluzione numerica al tempo tn1 é sufficiente
conoscere la soluzione numerica al tempo n
Funzione Incrementale
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Metodi a un passo
Consistenza Un metodo a un passo si dice
consistente nellintervallo di integrazione se
d(t,h) é infinitesimo per h tendente a zero. Piú
precisamente esiste una funzione d(h) tale
che Inoltre un metodo a un passo si dirá di
ordine di consistenza p se Convergenza se
la F é lipschitziana rispetto a y si ha
convergenza. Richiede anche la stabilitá.vedi
propagazione dellerrore.
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Metodi a un passo
Sviluppo di Taylor sino al primo ordine.
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Metodi a un passo
Ha lo stesso grado di accuratezza del metodo
esplicito peró richiede la risoluzione di una
equazione non lineare (comunque in alcuni casi i
metodi impliciti possono presentare dei vantaggi).
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Metodi a un passo
Se arrestiamo lo sviluppo di Taylor al secondo
ordine, e calcoliamo la derivata seconda di y, si
ottiene (metodo del secondo ordine)
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Metodi a un passo
Coordinate di P
Soluzione reale
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Metodi a un passo
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Metodi a un passo
Come abbiamo appena visto per aumentare
laccuratezza il metodo di Eulero esplicito basta
migliorare lapprossimazione della secante tra
due instanti di integrazione unaltra idea
potrebbe essere lutilizzo di una media tra le
pendenze ai tempi tn e tnh.
Per valutare la funzione al passo tnh si é
utilizzato una passo dellEulero esplicito si é
considarato unincremento lineare con pendenza
definita al tempo tn. Differisce dal metodo dei
Trapezi poiché questultimo é implicito (vedi
dopo).
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Metodi a un passo Metodi Runge-Kutta
6. Metodo Runge-kutta a M stadi (livelli)
Generalizzazione delle osservazioni utilizzate
per arrivare all Eulero modificato e alla
formula di Heun.
Metodo Esplicito
Metodo Imsplicito
Metodo Semi-imsplicito
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Metodi a un passo Metodi Runge-Kutta
La denominazione di esplicito, implicito, o
semi-implicito dipende dalla minore o maggiore
facilitá nel derivare i vari ki in un caso si
ricaveranno in cascata, mentre nellaltro si
dovrá risolver un sistema di equazioni. Possiamo
giungere ai metodi Runge-kutta in altro modo
infatti in generale possiamo utlizzare varie
formule di quadratura per ottenere metodi giá
conosciuti
Eulero esplicito
Eulero implicito
7. Metodo dei Trapezi (ricavato dalla omonima
formula di quadratura)
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Metodi a un passo Metodi Runge-Kutta
Dunque sfruttando altre formule di quadratura che
utilizzano i nodi
Possiamo ottenere formule del tipo
che dipendono dai corrispondenti valori incogniti
Il problema viene risolto approssimando a loro
volta lintegrale seguente con una fomula di
quadratura
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Metodi a un passo Metodi Runge-Kutta
La formula di quadratura in questo caso potrá
utlizzare tutti o solo alcuni nodi (diaciamo P)

Chiaramente se Pi-1 sará un metodo implicito
inoltre P al massimo sará uguale a M. Se
imponiamo che la formula di quadratura sia esatta
almeno per funzioni costanti per ogni i troviamo
la relazione
Unendo i varii procendimenti di quadratura
troviamo le formule di Runge-Kutta
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Metodi a un passo Metodi Runge-Kutta
Queste formule possono essere rappresentate in
forma sintentica con una tabella di coefficienti
(consideriamo il caso piú generale PM)
Matrice dei coefficienti B
Vettore delle ascisse
Vettore W dei Pesi
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Metodi a un passo Metodi Runge-Kutta
Se la matrice B é triangolare inferiore il metodo
sará esplicito e gli Yi si calcolano facilmente
in cascata. In questo caso la condizione sugli
alfa impone . Se include anche la
diagonale sará semiesplicito e la soluzione sará
ricorsiva, mentre con B piena il metodo si dice
implicito e richiede la risoluzione di un sistema
non lineare.
A un livello esplicito
A un livello implicito
A due livelli semi-implicito
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Metodi a un passo Metodi Runge-Kutta
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Metodi a un passo Metodi Runge-Kutta
Il massimo ordine di accuratezza p(M)
raggiungibile con un metodo a M livelli varia in
questo modo
Metodi espliciti
Metodi impliciti
p(M)2M
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Metodi a un passo Metodi Runge-Kutta
Troviamo i coeff. per i metodi a due stadi
espliciti imponendo un certo grado di accuratezza
Sviluppando k2 secondo Taylor arrestando al primo
ordine
Qui risulta al secondo
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Metodi a un passo Metodi Runge-Kutta
Confrontando la formula precedente con il reale
sviluppo di Taylor della formala arrestato al
secondo ordine, troviamo le condizioni sui
coefficienti
I coeff. dovranno compiere
Queste condizioni sono rispettate da Eulero
Modificato e da Heun. Inoltre si vede aß come
avevamo giá detto.
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Analisi dellerrore Metodi Runge-Kutta
Lerrore di troncamento locale (errore locale di
discretizzazione) indica lerrore allintegrare
un passo tra due instanti di tempoora questo
errore si propagherá al passo successivo
sommandosi al seguente errore di integrazione.
E utile definire ora lerrore di troncamento
locale al passo n-esimo
In pratica lerrore che commetto integrando dal
passo n a n1, supponendo perfettamente
conosciuta la soluzione al tempo n.
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Analisi dellerrore Metodi Runge-Kutta
E chiaro che allerrore di trocamento locale al
passo n, dovremo sommare lerrore commesso dalle
precedenti integrazioni
Valore ottenuto dalle varie integrazioni
Valore esatto
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Analisi dellerrore Metodi Runge-Kutta
In generale per definire un metodo convergente si
richiede che lerrore di troncamento locale tenda
a zero al decrescere il passo di integrazione h
(consistenza) e che lerrore di propagazione non
si amplifichi passo dopo passo (stabilitá) .
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Analisi dellerrore Metodi Runge-Kutta

• Diciamo che la consistenza é una condizione
  statica, che suppone la convergenza al diminuire
  il passo di integrazione h (ovvero che la nostra
  approssimazione migliori con un passo h piú
  piccolo).
• La stabilitá controlla la dinamica del nostro
  modello, in modo tale che errori successivi non
  portino a approssimazioni assolutamente erronee.

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Stabilitá Metodi Runge-Kutta
In generale e difficile analizzare la stabilitá
di un metodo, per questo ci limitiamo a una
classe particolare di equazioni differenziali
test
La cui soluzione generale é
Noi conisidereremo ovviamente le soluzioni
stabili con alfalt0.
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Stabilitá Metodi Runge-Kutta
Applichiamo ora per esempio il metodo di Eulero
esplicito
Questa equazione alle differenze é stabile se
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Stabilitá Metodi Runge-Kutta
Altre regioni di assolutá stabilitá
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Stabilitá Metodi Runge-Kutta

• Se le regioni di assoluta stabilitá contengono
  il semipiano alt0 allora il metodo si dice
  incondizionatamente stabile o assolutamente
  stabile poiché risulta stabile per tutti i ?
  della equazione test stabili, e per ogni passo
  h.
• I Metodi impliciti risultano migliori se si
  analizza la stabilitá.
• Pur essendo lequazione test un caso particolare
  puó servire per studiare almeno localmente
  equazioni piú generali. Infatti intorno a un
  punto (tn,yn) possiamo linearizzare rispetto a y