Analisi e gestione del rischio

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Analisi e gestione del rischio

• Lezione 15
• Tecniche di valutazione di CDO

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Valutazione di tranche equity

• Il valore di tranche equity è rappresentato da
  opzioni put. Dalla parità put-call
• EL Equity K Call
• Se assumiamo che le perdite abbiano una
  distribuzione lognormale
• Equity(K) K EL E(L) N(d s) KN(d)
  EL(1 N(d s)) K(1 N(d ))
• EL(N( d s)) K (N( d))
• che ricorda la formula di Black e Scholes

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Tranche equity e senior

• Come nei modelli strutturali, tutte le tranche
  sono influenzate nella stessa direzione da
  cambiamenti di valore dellattivo. Laumento
  delle perdite penalizza tutte le tranche.
• Le tranche equity sono inoltre avvantaggiate da
  aumenti della volatilità, mentre il valore delle
  tranche senior sono avvantaggiate da riduzioni
  della volatilità.
• Poiché lattivo è rappresentato da portafogli il
  parametro rilevante è la correlazione più che la
  volatilità.

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Default Probability
Correlation 0
Correlation 20
Correlation 95
MC simulation pn a basket of 100 names
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(No Transcript)
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Copula gaussiana e correlazione implicita

• La tecnica standard di valutazione utilizzata sul
  mercato è basata sulla copula gaussiana
• C(u1, u2,, uN) N(N 1 (u1 ), N 1 (u2 ), ,
  N 1 (uN ) ?)
• dove ui è la probabilità dellevento ?i ? T e ?i
  è il tempo di default del nome i-esimo.
• E utilizzata la stessa correlazione ? per tutta
  la matrice. Questa correlazione sintetizza di
  fatto linformazione presente nel prezzo, e per
  questo viene spesso utilizzata per le quotazioni.
  Si tratta di quella che è nota sul mercato come
  correlazione implicita la correlazione che
  impiegata nella copula gaussiana restituisce il
  valore della tranche.
• Si noti che in generale il valore della tranche
  non è funzione monotona della correlazione, e il
  valore di correlazione implicita che può essere
  ricavato da una tranche può non essere unico.

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Relazioni di arbitraggio

• Assumiamo di conoscere la perdita attesa di due
  tranche equity 0-? e 0-? (? gt ?) qual è il
  prezzo della tranche mezzanina ?-??
• Non è difficile vedere che per escludere
  possibilità di arbitraggio dobbiamo avere
• EL(0-?) EL(0- ?) EL(? -?)
• Si noti che si tratta di una relazione di
  arbitraggio come quella che determina il prezzo
  di un call spread.

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Base correlation/implied correlation

• Sul mercato è definita base correlation la
  correlazione delle equity tranche ?(0- ?) e
  ?(0- ?). Si noti che le perdite su equity
  tranche sono monotone nella correlazione e
  quindi la base correlation ottenuta dal prezzo di
  una tranche è unica.
• La correlazione implicita ?(? - ?) (compound
  implied correlation) è legata alla base
  correlation dalla relazione di arbitraggio
• EL(?(0- ?)) EL(?(0- ?)) EL(?(? -?))
• La forma della curva della correlazione implicita
  per diversi livelli di perdita è detta
  correlation smile

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Base correlation
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Copula gaussiana e correlazione implicita

• La tecnica standard di valutazione utilizzata sul
  mercato è basata sulla copula gaussiana
• C(u1, u2,, uN) N(N 1 (u1 ), N 1 (u2 ), ,
  N 1 (uN ) ?)
• dove ui è la probabilità dellevento ?i ? T e ?i
  è il tempo di default del nome i-esimo.
• E utilizzata la stessa correlazione ? per tutta
  la matrice. Questa correlazione sintetizza di
  fatto linformazione presente nel prezzo, e per
  questo viene spesso utilizzata per le quotazioni.
  Si tratta di quella che è nota sul mercato come
  correlazione implicita la correlazione che
  impiegata nella copula gaussiana restituisce il
  valore della tranche.
• Si noti che in generale il valore della tranche
  non è funzione monotona della correlazione, e il
  valore di correlazione implicita che può essere
  ricavato da una tranche può non essere unico.

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Tecniche di valutazione

• La valutazione di tranche dipende in maniera
  cruciale dal rischio di credito dei nomi
  dellattivo della SPV e dalla loro correlazione
• La prassi di mercato è assumere che la
  correlazione tra i tempi di default dei vari
  nomi portafoglio sia la stessa per tutti.
  Questo è legato allassunzione che essi siano
  generati da un modello fattoriale nel quale il
  rischio idiosincratico e sistematico
  (rappresntato dal fattore M) hanno lo stesso peso
  per tutti i nomi.

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Tecniche di valutazione

• Le tranche possono essere valutate con due
  strategie alternative
• Simulazione Monte Carlo della probabilità
  congiunta di default dei nomi.
• Integrazione numerica della probabilità di
  default condizionale dei nomi

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Simulazione dei tempi di default con le funzioni
di copula

• Generazione di variabili casuali dalla copula
  Gaussiana di dimensione N
• Trovare la scomposizione di Cholesky A di R
• Simulare n variabili casuali indipendenti z
  (z1,..., zn) da N(0,1)
• Porre x Az
• Porre ui N(xi) con i 1,2,...,n dove N denota
  la distribuzione normale standard univariata
• (y1,...,yn) F1-1(u1),...,Fn-1(un) dove Fi
  denota la i-esima distribuzione marginale. Nel
  caso dei tempi di default abbiamo ui exp( ?i?i)
  da cui ?i ln(ui )/?i

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Valutazione Monte Carlo di tranche

• La valutazione delle tranche è ottenuta
• Generando tempi di default ?i come dalla slide
  precedente
• Calcolando limpatto delle perdite sul valore del
  capitale delle diverse tranche (sistema di
  waterfall)
• Calcolando il valore dei flussi di capitale e
  interessi delle diverse tranche con la funzione
  di sconto appropriata.
• Ripetendo i passi da 1 a 3 per un numero N di
  iterazioni
• Calcolando il valore di ciascuna tranche come la
  media aritmetica dei valori sugli N scenari

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Valutazione con la funzone di copula condizionale

• Un strategia alternativa di valutazione consiste
  nel condizionare il valore della tranche rispetto
  al fattore comune M.
• In questo modo i default dei nomi sono resi
  independenti e le tranche possono essere valutate
  di conseguenza.
• La valutazione è poi ottenuta integrando il
  valore sui diversi valori del fattore comune M.

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Valutazione condizionale I

• Assumiamo di condizionare le probabilità di
  default degli i 1, 2, , N nomi rispetto a un
  particolare scenario m del fattore M in un
  modello gaussiano.
• Denotando pi la probabilità di default entro il
  tempo T e ?i la correlazione del nome i-esimo
  otteniamo la probabilità di default condizionale

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Valutazione condizionale II

• Poiché le probabilità di default condizionali
  sono indipendenti, i default e le perdite Li
  possono essere modellate utilizzando la funzione
  generatrice dei momenti di una distribuzione
  binomiale (Laurent e Gregory)

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Valutazione non condizionale

• Una volta che il valore di ogni tranche è
  calcolato sotto lo scenario M m la probabiltà
  non-condizionale di un numero L(i) di default è
  ottenuta integrando la probabilità condizionale
  sugli scenari.

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Valutazione non-condizionale

• Una volta ottenuta la probabilità di default non
  condizionale il valore delle tranche è calcolata
  dalla perdita attesa corrispondente

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Modello fattoriale gaussiano

• Assumiamo un modello in cui cè un singolo
  fattore di rischio alla radice di tutte le
  perdite. La struttura di dipendenza è gaussiana.
  In termini di probabilità condizionale
• dove M è il fattore comune e m è uno scenario
  particolare.

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Modello di Vasicek

• Vasicek propose un modello in cui un numero molto
  grande di esposizioni ha la stessa probabilità di
  default e la stessa dipendenza dal fattore comune
• Probabilità di una percentuale di perdite Ld

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Il valore delle tranche

• Il valore medio della distribuzione è p, il
  valore è la probabilità di default di ogni
  individuo
• Il valore della tranche equity con detachment Ld
  è
• Equity(Ld) (Ld N(N-1(p) N-1 (Ld)sqr(1
  ?2))
• Il valore della tranche senior tranche con
  attachment Ld è
• Senior(Ld) (p N(N-1(p) N-1 (Ld)sqr(1 ?2))
• dove N(N-1(u) N-1 (v) ?) è la copula
  gaussiana.

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Copertura delle tranche

• Le tranche di un CDO non-standard (bespoke CDO)
  possono essere coperte
• con gli indici di credito (iTraxx, CDX)
• con altre tranche
• Il mistero di maggio-giugno 2005
• Posizioni lunghe in equity coperte con il
  mezzanino detenute dai fondi furono vanificate da
  un improvviso crollo della correlazione