Analisi e Gestione del Rischio

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Analisi e Gestione del Rischio

• Lezione 6
• Il calcolo del VaR

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Mappa delle esposizioni

• Azionario
• Paese
• Settore
• Obbligazionario
• Paese e bucket
• Emittente (classe di rating) e bucket
• Rischio di cambio
• Valore delle posizioni in titoli per valuta

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Variazione percentuale del valore delle posizioni

• Definiamo, al tempo t, per un certo mercato,
• Un insieme di scadenze t1,t2,tn
• Un insieme di cash-flow nominali c1,c2,cn
• Un insieme di fattori di sconto
  P(t,t1),P(t,t2)P(t,tn)
• Il valore del portafoglio al tempo t è
• V(t) c1P(t,t1) c2P(t,t2) cn P(t,tn)
• Al tempo t, es. la fine della giornata il valore
  è
• P(t,ti)(1ri) P(t ,ti) per ogni i, cosicché
• V(t)-V(t) c1r1P(t,t1) c2r2P(t,t2) cnrn
  P(t,tn)

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Calcolo del Value-at-RiskIl problema di fondo

• Il problema centrale per la costruzione di un
  sistema di misurazione del rischio risiede nella
  determinazione della distribuzione di probabilità
  congiunta delle variazioni percentuali di valore
  r1, r2,rn.
• Lipotesi più semplice è assumere che essi siano
  generati da una distribuzione normale
  multivariata Lapproccio RiskMetrics è coerente
  con un modello a distribuzione localmente
  normale, coerente con un modello Garch integrato.

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Metodologie VaR

• VaR parametrico assume distribuzione
  (condizionatamente) normale (modello EWMA) e usa
  i parametri di volatilità e correlazione
• Simulazione Monte Carlo vengono simulati scenari
  con la tecnica Monte Carlo, le posizioni vengono
  rivalutate in ogni scenario e viene calcolato il
  percentile empirico delle perdite.
• Simulazione storica vengono simulati scenari
  sulla base dellandamento storico dei mercati e
  viene calcolato il percentile empirico delle
  perdite

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Rischio di modello

• Oltre al rischio di stima, la volatilità stessa
  del mercato può cambiare nel corso del tempo.
• Modelli Garch shock che raggiungono il
  rendimento ne modificano la volatilità al periodo
  successivo
• Modelli a volatilità stocastica la volatilità
  del rendimento è influenzata da shock che possono
  essere correlati con shock che raggiungono il
  rendimento stesso (ma la correlazione non è
  perfetta)

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La volatilità del Mib30
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Modelli Garch(p,q)

• La distribuzione del rendimento condizionale alla
  volatilità è normale, ma la volatilità varia nel
  tempo con un processo autoregressivo di tipo
  ARMA(p,q). Ad es. il Garch(1,1) è

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Garch ABC

• In un modello Garch la distribuzione NON
  condizionale dei rendimenti non è normale, ed in
  particolare ha code grasse (fat-tails)
  eventi estremi sono più probabili rispetto alla
  distribuzione normale
• In un modello Garch la varianza futura è prevista
  ricursivamente dalla formula
• Il grado di persistenza è dato da ?1 ?1 ? 1

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Un Garch particolare

• Assumiamo ? 0 e ?1 ?1 1. In questo caso
  abbiamo un Garch integrato (Igarch)
• i) la volatilità è persistente ogni shock
  rimane per sempre nella storia della volatilità
• ii) il miglior previsore della volatilità al
  tempo t i è quella al tempo t i 1.
• iii) la volatilità al tempo t è data da (? ? ?1)

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di nome EWMA

• Notiamo che lIGarch(1,1) con ? 0 corrisponde a
  un modello in cui la volatilità è calcolata come
  una media mobile a pesi che decadono
  esponenzialmente (EWMA).
• Il modello, con parametro ? 0.94, è impiegato
  da RiskMetrics per valutare volatilità e
  correlazioni.
• Il modello corrisponde a una stima di volatilità
  che pesa in maniera decrescente le osservazioni
  più recenti (il parametro usato corrisponde a 75
  osservazioni)

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Stime di volatilità il Mib30
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Ghost feature

• La modulazione dei pesi nella opzione EWMA
  consente di ridurre il cosiddetto problema della
  ghost feature nei dati
• Ghost feature uno shock continua a avere effetto
  sulla stima del VaR per tutto il periodo in cui
  resta nel campione, e quando ne esce la stima di
  VaR cambia senza un motivo apparente. Attribuire
  pesi via via decrescenti agli shock attutisce
  questo fenomeno.

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Calcolo del VaR giornaliero

• Definiamo, al tempo t
• piciP(t,ti) il valore marking-to-market del
  cash-flow i
• ri, la variazione percentuale giornaliera del
  fattore di rischio i-esimo
• Se ri ha distribuzione normale con media ?i e
  volatilità ?i,
• Prob(ri lt ?i - ?i 2.33) 1
• Se ?i 0, Prob(ri pi lt - ?i pi 2.33) 1
• DEaRi ?i pi 2.33 Maximum probable loss (1)

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Una considerazione

• Il modello RiskMetrics assume (?i 0) e cioè
  che il tasso di crescita dei rendimenti sia pari
  a 0.
• La scelta non è giustificata, se non come
  approssimazione, sotto il profilo finanziario,
  perché sappiamo che
• ?i rendimento risk-free premio per il rischio
• La scelta è giustificata sotto il profilo
  statistico, perché lassunzione ?i 0 consente
  di ridurre il rischio di stima della volatilità.
  Il rendimento giornaliero è estremamente
  difficile da stimare.

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Aggregazione della misura di rischio per
posizioni diverse

• Una volta calcolato il valore della misura di
  rischio DEaRi per ogni posizione i, per i
  1,2,.n vogliamo ricostruire la misura di rischio
  per aggregati che rappresentino, ad es. i)
  diverse unità di business, ii) diversi mercati.
• Il calcolo della misura di rischio aggregata
  viene fatta secondo due modalità
• DEaR (VaR) non diversificato (somma dei DEaRi)
• DEaR (VaR) diversificato (forma quadratica
  calcolata con la matrice di correlazione C)

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DEaR diversificato
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VaR

• Passare dalla massima perdita giornaliera DEaR al
  Value-at-Risk richiede la definizione del periodo
  di smobilizzo (unwinding period)
• La relazione è
• N.B. La relazione è basata sullassunzione che
• i) gli shock non siano correlati serialmente
• ii) la composizione del portafoglio resti
  inalterata nel periodo di smobilizzo

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VaR diversificato e non

• Il VaR non diversificato, calcolato come somma
  dei VaR di ciascuna posizione, rappresenta
  unassunzione estrema di perfetta correlazione
  tra i rischi
• Il VaR diversificato tiene conto della
  correlazione parziale tra le posizioni
• Il rapporto tra VaR diversificato e VaR non
  diversificato rappresenta un indice sintetico di
  diversificazione del portafoglio.

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Esempio

• Posizione 1 mil. di euro su azionario Italia e
  0.5 mil. di euro su azionario US. Le azioni sul
  mercato US sono denominate in dollari.
• Esposizione
• 1 000 000 Euro azionario Italia
• 500 000 Euro azionario USA
• 500 000 Euro rischio di tasso US/Euro

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Esempio i dati di mercato

• Assumiamo che i dati di mercato dei fattori di
  rischio siano i seguenti
• Volatilità giornaliera del fattore di rischio
• Rischio azionario Italia (75 punti base)
• Rischio azionario US (50 punti base)
• Rischio di cambio (30 punti base)
• Correlazione rischi
• Correlazione azionario Italia/US 0.5
• Correlazione rischio di cambio/rischio azionario
  0 (sia per lazionario Italia che US)

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Esempio risultati

• Calcoliamo il VaR per ogni esposizione per un
  livello di probabilità del 99 e un tempo di
  smobilizzo di 10 giorni
• VaR azionario Italia 55 174 (5.52)
• VaR azionario US 18 391 (3.68)
• VaR rischio di cambio US 11 035 (2.21)
• Per tutto il portafoglio otteniamo un VaR non
  diversificato pari a 84 600 Euro (4.23 della
  esposizione) ed un VaR diversificato di 75 740
  Euro (3.79 dellesposizione).

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(No Transcript)
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Validazione del Value-at-Risk

• Una volta scelta costruito un sistema per il
  calcolo del Value-at-Risk, come se ne testa
  lefficacia?
• Una possibile strategia è quella di verificare
  quante volte nella storia passata le perdite
  registrate sono risultate superiori alla misura
  VaR calcolata
• Procedure di validazione (o backtesting)

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Test di Kupiec

• Un test statistico suggerito da Kupiec è basato
  sullipotesi che gli sforamenti delle perdite
  rispetto al VaR siano indipendenti.
• Se questo è il caso lestrazione di un numero x
  di sforamenti su un totale di N tentativi, e
  sotto lipotesi che ciascuno di essi si verifichi
  con probabilità ? dovrebbe avere distribuzione
  binomiale

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Likelihood ratio

• Il test è un rapporto tra la probabilità di
  estrarre x sforamenti dalla distribuzione
  binomiale rispetto alla probabilità teorica.
• Il test, distribuito come chi-quadro con un grado
  di libertà è

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Esempio

• Nelle applicazioni tipicamente di prende un anno
  di dati e un intervallo di confidenza dell1
• Se assumiamo di osservare, ad esempio, 4
  sforamenti in un anno, calcoliamo
• Poiché il valore del chi-quadro con un grado di
  libertà è 6.6349 lipotesi di accuratezza del VaR
  non è rigettata (il p-value di 0.77 è 38,02)

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Lestensione di Christoffersen

• Il test di Kupiec è basato sullipotesi di
  sforamenti serialmente indipendenti.
• Christoffersen ha proposto unestensione che
  tiene conto della dipendenza seriale. Si tratta
  di un test congiunto delle due ipotesi.
• I dati vengono filtrati ed il test congiunto è
  scritto come
• LRcc LRun LRind
• dove LRun è il test non condizionale e LRind è
  quello di indipendenza. Il test congiunto è
  distribuito con 2 gradi di libertà

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VaR parametrico problemi

• Non linearità dei pay-off. La presenza di opzioni
  introduce un elemento di convessità o concavità
  che non è rappresentabile dal VaR parametrico
• Non normalità (condizionale) dei rendimenti il
  modello EWMA può non essere sufficiente a tener
  conto della lepto-curtosi dei rendimenti
• Appropriatezza della misura di VaR per
  rappresentare il rischio di diverse posizioni in
  maniera coerente

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Misure coerenti di rischio

• Nel 1999 Artzner, Delbaen e Eber e Heath
  affrontarono il seguente problema
• Che caratteristiche deve avere una misura di
  rischio per essere ben definita?
• Assiomi di una misura di rischio
•   Positive homogeneity ?(?X) ??(X)
•  Translation invariance ?(X ?) ?(X) ?
•  Subadditivity ?(X1 X2) ? ?(X1) ?(X2)

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Nuove misureexpected shortfall

• Il Value-at-Risk rappresenta un percentile
  corrispondente ad un livello di probabilità.
• Critiche
• Il VaR non fornisce nessuna informazione sulla
  forma della distribuzione nella coda.
• Il VaR di due business può essere super-additivo
  (unendo due business, il VaR può aumentare
• In generale, il problema di ottimizzazione di un
  portafoglio con vincolo di VaR è complesso.

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Expected shortfall

• Lexpected shortfall è la perdita media oltre il
  VaR. In comune con il VaR ha il fatto che è
  riferito alla distribuzione di probabilità delle
  perdite.
• Consideriamo una posizione X, lexpected
  shortfall è definito come
• ES E(X X? VaR)