1
Lavoro compiuto da una forza
v(t3)
v(t2 )
B
ds
J
F
v(t 1)
m
A
lavoro infinitesimo
lavoro da A a B
unità di misura del lavoro (S.I.) W N m º
Joule
Esempio lavoro della forza dattrito dinamico
Fattr -mDmgux
v
A
x
B
Ds
2
Lavoro della forza peso
z
A
ds
ds
(III)
(I)
J
(II)
mg
mg
B
lavoro indipendente dal cammino percorso
W(I)AB W(II)AB W(III)AB
ß
la forza peso é un esempio di forza
conservativa
3
Potenza istantanea
lavoro compiuto per unità di tempo ad un dato
istante
Unità di misura (S.I.)
P W / t J / s º W (Watt)
Se F è una forza applicata ad un punto materiale
in moto con velocità v, la potenza sviluppata
dalla forza F è
Potenza media
lavoro compiuto in un dato tempo diviso il tempo
impiegato. Altre unità di misura di uso pratico
Lavoro
chilowattora
Potenza
cavallo vapore
4
Campo vettoriale
E definito quando in ogni punto di una data
regione dello spazio è definito un vettore, ossia
siano date tre funzioni dei punti dello spazio,
in generale indipendenti, che rappresentino le
componenti (ad es. cartesiane) di un
vettore. Esempio campo vettoriale
delle velocità delle particelle di un fluido in
moto.
Campo di forza campo vettoriale che
rappresenta, in ogni punto dello spazio in cui è
definito, la forza cui un punto materiale è
soggetto quando si trova in quel punto Þ
introduzione del concetto di azione a distanza
In situazioni statiche ( sorgenti della forza
indipendenti dal tempo) è un utile strumento
matematico in situazioni dinamiche (sorgenti
della forza in moto), è indispensabile per la
decrizione descrive.
5
Campo di forza conservativo
Campo di forza per il quale il lavoro lungo
qualsiasi percorso chiuso sia nullo
per qualsiasi curva chiusa g
ds
r
g
F( r )
o, equivalentemente
per qualsiasi coppia di punti A,B e per qualsiasi
percorso g1 , g2 che li congiunge
g1
B
A
g2
6
Energia cinetica
Energia cinetica di un punto materiale di massa
m e velocità v
( dimensioni
)
Per un punto materiale in moto da un punto A ad
punto B sotto lazione di una forza risultante F
vale il teorema dellenergia cinetica
vB
B
vA
m
F
A
7
Teorema dell energia cinetica
aT
B
ds
s(t)
a
aN
A
8
Esempio moto lungo un piano inclinato privo
dattrito
la reazione vincolare non compie lavoro
F
a
dalla legge di Newton
0
mg
J
l
x
condizioni iniziali
Integrando lequazione del moto
Utilizzando il teorema dellenergia cinetica, si
giunge allo stesso risultato
0
lavoro della forza peso
9
Energia potenziale
Per un campo di forza conservativo, si definisce
energia potenziale quella funzione dei punti
dello spazio tale che la sua differenza tra due
qualsiasi punti A, B sia uguale a meno il lavoro
compiuto dalla forza del campo per andare da A a
B (lungo un qualsiasi percorso)
ossia
A
B
rA
rB
F( r )
o
lenergia potenziale è definita a meno di una
costante arbitraria (º al valore ad essa
convenzionalmente assegnato in un punto
arbitrario)
10
Energia meccanica
E la somma dell energia cinetica e dell
energia potenziale
Principio di conservazione dellenergia meccanica
nel moto di un corpo in un campo di forze
conservativo, lenergia meccanica è costante

• per due punti qualsiasi
• A,B della traiettoria

Infatti
definizione di energia potenziale
teorema dell energia cinetica
11
Esempio energia potenziale della forza peso
z
A
B
mg
O
Il punto A può essere scelto nellorigine A º O
ovvero, considerando il percorso OA
Posto
ossia, per il generico punto P di coordinata z
12

Esempio conservazione dellenergia meccanica nel
moto di un corpo sotto lazione della forza peso.
z
v0
h
mg
x
v
dallequazione del moto si giunge allo stesso
risultato

13
Lavoro ed energia potenziale di una forza
elastica
Forza elastica
costante elastica k N / m
(il comportamento elastico dei materiali, cioè
per deformazioni riproducibili che non inducono
modificazioni irreversibili della struttura, è
descritto da una legge di questo tipo, detta
legge di Hooke)
0.
x
Lavoro
Energia potenziale
Þ
Scelto x 1º 0. e posto
Þ
14
Bilancio energetico
In presenza di forze sia conservative che non
conservative ( o dissipative) , vale
lequazione del bilancio energetico
energia potenziale associata alle
forze conservative presenti
lavoro compiuto dalle forze non conservative
Infatti
Þ
Esempio moto lungo un piano scabro
z
Fattr
l
0
mg
15
Gradiente di una funzione scalare
La relazione che definisce lenergia potenziale
di un campo di forza conservativo
può essere invertita, introducendo il concetto di
gradiente di una funzione scalare
data una funzione scalare V ( r ) V(x,y,z) ,
si definisce il gradiente di V il vettore ,
indicato con Ñ V, tale che per qualsiasi
spostamento infinitesimo dr risulti
Il prodotto scalare del vettore gradiente di V
nel punto r con il vettore dr è uguale alla
variazione infinitesima della funzione V( r )
tra il punto r e il punto rdr
Ñ V
P
dr
P
16
Gradiente di una funzione scalare (II)
La derivata direzionale(º limite della
variazione per unità di spostamento della
funzione V( r ) lungo la direzione D r )
é massima (cos J 1 ) quando dr é diretto lungo
la direzione del gradiente di V

• il gradiente di V é un vettore diretto lungo la
  direzione di massima
• variazione (per unità di spostamento) della
  funzione V( r )
• il suo modulo é uguale al valore della derivata
• direzionale di V( r ) lungo tale direzione
• il verso è quello in direzione dei valori
  crescenti di V

Superfici a egual valori di V
Ñ V
dr1
dr2
V( r ) V2
V( r ) V1
17
Esempio gradiente di una funzione scalare V(x,y)
In uno spazio bidimensionale (per es. V(x,y) h
altezza del suolo s.l.m.)
V(x,y)
400
300
200
100
y
x
curve di egual livello
y
P1
V100
ÑV
V300
V200
ÑV
V400
ÑV
P3
P2
x
Il gradiente di V in ogni punto P è diretto
perpendicolarmente alle curve di egual
livello (ossia lungo la direione di massima
pendenza del terreno)
18
Rappresentazione del gradiente in coordinate
cartesiane
Per una funzione V( r ) V(x,y,z)
derivate parziali
Dalla definizione di gradiente
rappresentazione del vettore gradiente in
coordinate cartesiane ortogonali
19
Rappresentazione del gradiente in coordinate
polari
Per una funzione V( r ) V(r,J,j)
lo spostamento dr ha componenti polari
z
dr
P( r,J,j)
P( rdr, JdJ, jdj)
r
J
dJ
y
dj
j
x
r sinJ
dalla definzione di gradiente
20
Forza gradiente dellenergia potenziale
Dalla definizione di energia potenziale
Esempio dallenergia potenziale della forza
peso
21
Superficie equipotenziale
luogo dei punti dello spazio aventi lo
stesso valore dell energia potenziale
costante
z
per uno spostamento ds lungo la superficie, per
definizione
ds
y
x
Il vettore
è in ogni punto dello spazio perpendicolare alla
superficie equipotenziale passante per quel punto.
Esempio superfici equipotenziali della forza peso
ÑEP - mg
costante
z
y
mg
x