Probabilidade e Esperan

1
Probabilidade e Esperança Condicional

• Como definir apropriadamente FX(x Y y) e E(X
  Y y)?
• Duas situações
• Y discreto
• Y contínuo

2
Caso Discreto
3
Propriedades

• P(X?B) Sy P(X?B Yy) P(Yy)
• FX(x) P(X x) SyP(X x Yy) P(Yy)
• FX,Y(x,y) P(X x, Y y) St P(X x Yt)
  P(Yt)
• E(X) Sy E(XYy) P(Yy)
• (ou seja, E(X) E(E(X Y))

4
Exemplo

• O número de pessoas que visita uma academia
  diariamente tem distribuição de Poisson com
  parâmetro l. Cada visitante tem probabilidade p
  de ser homem, independentemente dos demais
  visitantes. Qual é a probabilidade de que k
  homens visitem a academia?

5
Exemplo

• O número mensal de sinistros em uma dada carteira
  de seguros tem distribuição de Poisson com
  parâmetro l. O valor de cada sinistro tem
  distribuição exponencial de média m. Qual é o
  valor esperado para o total de sinistros pagos em
  um dado mês?

6
Caso Contínuo

• FX(x Y y) e E(X Y y) são definidos de
  modo que as mesmas propriedades anteriores sejam
  válidas (devidamente adaptadas para Y contínua).

7
Propriedades (caso contínuo)

• P(X?B) ? P(X?B Yy) fY(y)dy
• FX(x) P(X x) ? P(X x Yy) fY(y)dy
• FX,Y(x,y) P(X x, Y y) ?y-? P(X x Yt)
  fY(t)dt
• E(X) ?E(XYy) fY(y)dy
• (ou seja, E(X) E(E(X Y))

8
Caso contínuo

• Caso geral
• Quando X e Y tem distribuição conjunta
  contínua

9
Exemplo

• Um ponto de coordenadas (X, Y) é escolhido ao
  acaso no triângulo da figura. Qual é a
  distribuição condicional de Y dado X?

1
1
10
Exemplo

• Em uma cidade, o gerador de luz é ligado em um
  instante escolhido ao acaso entre 18 horas e
  meia-noite e desligado em um instante escolhido
  ao acaso entre o instante em que foi ligado e
  meia-noite.
• Em média, quanto tempo ele fica ligado por noite?
• Qual é a probabilidade de que seja desligado
  depois das 22 horas?
• Qual é a probabilidade de que seja ligado antes
  da novela e desligado depois?

11
Exemplo

• Se X e Y são independentes e têm densidades fX e
  fY, qual é a densidade de XY?

12
Exemplo

• Uma moeda tem probabilidade P de dar cara, onde P
  tem distribuição uniforme em 0, 1. Qual é a
  densidade condicional de P dado que X 1?

13
Somas e médias de v.a. i.i.d.

• Dada uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d.
  X1, X2, , Xn , obter a distribuição de

14
Somas e médias de v.a. i.i.d.

• Em geral, é complicado calcular a distribuição
  exata de Sn e X
• Fácil calcular médias e variâncias

15
Somas e médias de v.a. i.i.d.

• Quando n??, Var(X) ? 0
• Isto sugere que X tenda a se concentrar em torno
  de sua média m.
• É possível tornar esta afirmativa precisa?

16
Desigualdade de Markov

• Seja X uma variável aleatória tal que X ? 0 e EX
  m. Então, para todo agt0

17
Desigualdade de Chebyshev

• Seja X uma variável aleatória tal que EX m e
  Var(X) s2. Então, para todo d gt 0

18
Lei Fraca dos Grandes Números(Chebyshev, 1867)

• Sejam X1, X2, v.a. i.i.d, com EX1 m e Var X1
  s2. Então, para todo d gt 0,

19
Lei Forte dos Grandes Números(Kolmogorov, 1925)

• Sejam X1, X2, v.a. i.i.d, com EX1 m. Então
• Em consequência, para todo d gt 0

20
Observações

• Se EX ? , então X não é limitada (logo não
  converge), com probabilidade 1.
• Exemplos
• Jogo de São Petersburgo
• XCauchy (fX(x) 1/(1x2))

21
Teorema Central do Limite

• Estimativa para P(Xm?d) dada pela desigualdade
  de Chebyshev é extremamente conservativa.
• É possível refiná-la?
• Idéia padronizar X, subtraindo a média e a
  variância, de modo a ter média 0 e variância 1.
• Resultado a distribuição da versão padronizada
  converge para uma distribuição fixa (a normal).

22
Teorema Central do Limite

• Sejam X1, X2, v.a. i.i.d, com EX1 m e Var X1
  s2. A distribuição de
• converge para a normal padrão

23
Noções de Simulação

• Teorema Fundamental
• Seja F uma f.d.a. qualquer e seja U uma v.a. com
  distribuição uniforme em 0, 1. A f.d.a da v.a.
  X F-1(U) é F.

24
Exemplos

• Como gerar uma v.a. com distribuição exponencial
  l?
• Como gerar uma v.a. com distribuição binomial (3
  0,6)?
• Como gerar uma v.a. com distribuição N(60, 102)?

25
Para gerar v.a. normais

• Algoritmo de Box-Muller
• são normais e independentes

26
Método de aceitação/rejeição

• Seja f uma função de densidade de probabilidade
  de suporte limitado a, b e tal que f(x) M,
  para todo x ? a, b .
• Gerar U Ua, b e V U 0, 1, independentes,
  até que f(U) lt M.V
• Retornar U (que é uma v.a. de densidade f)

27
Método de aceitação/rejeição

• Método de aceitação/rejeitação

MV
U
28
Método de aceitação/rejeição

• Sejam f e g funções de densidade de probabilidade
  de suporte limitado a, b e tal que f(x)
  Mg(x), para todo x ? a, b .
• Gerar U Ua, b e V g, independentes, até que
  f(U) lt M.V
• Retornar U (que é uma v.a. de densidade f)

29
Outros métodos

• Algoritmo de Metrópolis
• Importance Sampling
• (MacKay, cap. 29)