Diapositiva 1

1
Series de Fourier
"Series de Fourier, Transformadas de Fourier y
Aplicaciones", Genaro González
2
La primera serie de Fourier de la historia
Euler 1744 escribe en una carta a un amigo
Es cierto? Observemos que en t 0 hay
problemas ? p/2 0
La clave está en el concepto de función periódica.
3
Funciones Periódicas

• Una función periódica f(t) cumple que para todo
  valor de t
• f(t) f(t T).
• Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante
  T que cumple lo anterior se le llama el periodo
  fundamental (o simplemente periodo) de la
  función.
• Observa que
• f(t) f(t nT), donde n 0, ?1, ? 2, ?3,...
• Cuestión Es f(t) cte. una función periódica?

4

• Ejemplo Cuál es el periodo de la función
• Si f(t) es periódica se debe cumplir
• Como cos(t 2kp) cos(t) para cualquier entero
  k, entonces, para que se cumpla la igualdad, se
  requiere que
• T/3 2k1p y T/4 2k2p.
• Es decir
• T 6k1p 8k2p
• con k1 y k2 enteros.
• El valor mínimo de T se obtiene con k1 4, k2 3,
  es decir, T 24p.

5

• Gráfica de la función

T
6

• Es la suma de dos funciones periódicas una
  función periódica?
• Depende. Consideremos la función
• f(t) cos(w1t) cos(w2t).
• Para que sea periódica se requiere encontrar dos
  enteros m, n tales que
• w1T 2p m y w2T 2p n.
• Es decir, que cumplan
• T m/ (2p w1) n/ (2p w2)

7

• Ejemplo para la función cos(3t) cos((p3)t)
  tenemos que
• Es periódica?

f(t)cos(3t)cos((3p)t)
2
1
f(t)
0
-1
-2
0
5
10
15
20
25
30
t
8

• Para que exista periodicidad w1/ w2 debe ser
• un número racional (n/m).
• Ejercicios Encontrar el periodo de las
• siguientes funciones, si es que son periódicas
• f(t) sen(nt), donde n es un entero.
• f(t) sen2(2pt)
• f(t) sen(t) sen(t p/2)
• f(t) sen(w1t) cos(w2t)
• f(t) sen(?2 t)

9

• Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo
  T2,
• es posible que f1(t) f2(t) tenga periodo
• T lt min(T1,T2)?

T1 5
T2 5
T 2,5
10
Podemos construir incluso un ejemplo de dos
funciones de igual periodo, cuya suma puede
tener un periodo tan pequeño como queramos. Sea
N un entero, y definamos
extendida periódicamente con T 1
extendida periódicamente con T 1
11
Puede una función f(t) cumplir la condición
f(t) f(t T) para todo t y no tener un
periodo fundamental?
12
T ?
13
Volvamos al resultado de Euler
Cómo lo alcanzó?
Utilizando la fórmula de Euler para cada término
Integrando término a término
Particularizamos t para encontrar C
14
Fourier series java applet (http//www.falstad.co
m/fourier/)
15
(1) La función de Euler es periódica de periodo T
2p. (2) La serie es una función impar. No es
sorprendente, pues se trata de suma de senos de
periodos enteros. (3) En el intervalo 0 lt t lt
2p, la serie aproxima a (p-t)/2. Pero no fuera
del intervalo... (4) Da saltos bruscos entre
valores positivos y negativos. (5) La
aproximación no es buena en "los
extremos"... Ninguna de estas dos últimas
cuestiones era conocida o sospechada ni por
Euler, ni por Fourier...
16
Leonhard Euler 1707-1783
Jean d'Alembert 1717-1783
Daniel Bernouilli 1700-1782
Lagrange
17
Se necesita también como condición inicial
u(0,x)f(x) para 0ltxlt1. Euler en 1749 demostró la
misma solución. Pero difería con D'Alambert en el
posible tipo de f(x) inicial. De hecho, este es
el inicio del problema de la "definición" de
una función. Para Euler era posible una función
en partes cualquier gráfica era una
función. Para D'Alambert necesariamente
expresión analítica compacta.
18
(No Transcript)
19
En realidad la forma de solucionar el problema
por parte de Daniel Bernoulli en 1753 fue
completamente distinta. Se basó en la
superposición de ondas y tomó como
solución un(x,t) sin(nx) cos(nt) donde para
cada t fijo cada sin(nx) se anula en n-1 puntos o
nodos.
Pero recordemos que u(x,0) f(x)...
20
Resolvamos por variables separadas u(x,t) X(x)
T(t)
Por eso Bernouilli optó por tomar f(x) como
con una adecuada elección de los coeficientes
an...
21
Joseph Fourier
En diciembre de 1807 Joseph Fourier presentó un
sorprendente artículo a la Academia de Ciencias
en París. En él afirmaba que cualquier función
puede escribirse en forma de serie
trigonométrica semejante al ejemplo de Euler.
Jean Baptiste Joseph Fourier 1768-1830
Polémica Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) era
uno de los muchos que opinaba que algo así era
simplemente imposible...
22
Fourier fue nombrado por Napoleón secretario
permanente del Instituto Egipcio. Contrajo una
enfermedad de Tiroides (mixedema).
23
Fourier basó su trabajo en el estudio físico de
la ecuación del calor o de difusión
Describe cómo el calor o una gota de tinta se
difunden en un medio. Lord Kelvin (1736-1813)
electricidad por los cables trasatlánticos, edad
de la Tierra,...
24
Dividiendo entre X(x)T(t)
C10, C0C21, A-n2 con n 1, 2, 3, ...
25
La combinación lineal de soluciones
será también solución
Llegando al mismo resultado que Bernoulli, pero
pudiendo calcular los coeficientes an.
26
Serie trigonométrica de Fourier

• Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T
  pueden expresarse por la siguiente serie, llamada
  serie trigonométrica de Fourier
• Donde w0 2p/T se denomina frecuencia
  fundamental.

27
a0 0, a1 0, a2 0 ... b1 1, b2 1/2,
b3 1/3,...
28
Cómo calcular los coeficientes de la serie?

• Dada una función periódica f(t), cómo se obtiene
  su serie de Fourier?
• Necesitamos calcular los coeficientes
  a0,a1,a2,...,b1,b2,...
• Lo haremos gracias a la ortogonalidad de las
  funciones seno y coseno.

29
Ortogonalidad

• Se dice que las funciones del conjunto fk(t)
  son ortogonales en el intervalo a lt t lt b si dos
  funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho
  conjunto cumplen

30

• Ejemplo las funciones t y t2 son ortogonales en
  el intervalo 1 lt t lt 1, ya que
• Ejemplo Las funciones sen t y cos t son
  ortogonales en el intervalo p lt t ltp, ya que

Falta algo para demostrar en ambos casos la
ortogonalidad?
31
Ortogonalidad de senos y cosenos

• Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un
  par de funciones, el siguiente es un conjunto de
  una infinidad de funciones ortogonales en el
  intervalo -T/2lt t lt T/2
• 1, cos(w0t), cos(2w0t), cos(3w0t),...,
• sen(w0t), sen2w0t, sen3w0t,...
• con w0 2p/T.

32

• Vamos a verificarlo probándolo a pares
• 1.- f(t) 1 vs. cos(mw0t)
• Ya que m es un entero.

w0 2p/T
33

• 2.- f(t) 1 vs. sen(mw0t)
• 3.- cos(mw0t) vs. cos(nw0t)

w0 2p/T
cos A cos B ½cos(AB)cos(A-B) cos2q ½
(1cos2q)
34
sen A sen B ½-cos(AB)cos(A-B) sen2 A ½
(1-cos2q)

• 4.- sen(mw0t) vs. sen(nw0t)
• 5.- sen(mw0t) vs. cos(nw0t)

sen A cos B ½sen(AB)sen(A-B)
35
Cómo calcular los coeficientes de la serie?

• Vamos a aprovechar la ortoganilidad que acabamos
  de demostrar del conjunto de funciones 1,
  cos(w0t), cos(2w0t), cos(3w0t),...,
• sen(w0t), sen2w0t, sen3w0t,...
• con w0 2p/T, en el intervalo -T/2lt t lt T/2 ,
  para calcular los coeficientes a0,a1,a2,... ,
  b1,b2,... de la serie de Fourier

36

• Multiplicando ambos miembros de la igualdad por
  cos(mw0t) e integrando de T/2 a T/2, obtenemos

0, si m ? 0
0, si m ? 0 T/2, si m n
0
37

• Observa que el caso anterior no incluye a a0, m
  0
• que debemos tratar a parte

T, si m 0
0, si m ? 0 T/2, si m n
0
38

• Similarmente, multiplicando por sen(mw0t) e
  integrando de T/2 a T/2, obtenemos

0
0
0, si m ? 0 T/2, si m n
39

• Un ejemplo históricamente importante Encontrar
  la serie de Fourier para la función de onda
  cuadrada de periodo T
• La expresión para f(t) en T/2lt t lt T/2 es

f(t)
1
t
. . . -T/2 0 T/2
T . . .
-1
w0 2p/T
40

• Coeficiente a0

41

• Coeficientes an

42

• Coeficientes bn

43

• Finalmente, la serie de Fourier queda como
• En la siguiente figura se muestran la componente
  fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la
  suma parcial de estos primeros cuatro términos de
  la serie para
• w0 p (w0 2p/T), es decir, T 2

44
Fourier series java applet (http//www.falstad.com
/fourier/)
45

• Nota
• Para expresarse como serie de Fourier f(t), no
  necesita estar centrada en el origen.
  Simplemente debemos tomar el intervalo, donde
  está definida, como el periodo de la serie.
• La ortogonalidad de las funciones seno y coseno
  no sólo se da en el intervalo de
• T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra
  un periodo completo
• de t0 a t0 T, con t0 arbitrario,
• con el mismo resultado.

46
f(t)

• Habíamos calculado
• los coeficientes para

1
t
. . . -T/2 0 T/2
T . . .
-1
Si los calculamos para la misma función
desplazada tienen que ser los mismos
f(t)
1
t
. . . -T/2 0 T/2
T . . .
-1
Repite los cálculos y compruébalo.
47
f(t)

• De hecho si repetimos
• para cualquier intervalo
• de longitud el periodo
• T de la función, será lo
• mismo

1
t
-1
. . . t0
t0 T . . .
48

• Ejercicio encontrar la serie de Fourier para

la función con la que empezamos el tema. O sea,
demostrar que Euler tenía razón.
49
Calcula la serie de Fourier de la función
periódica
La serie es la propia función...
50
Nota a partir de ahora entenderemos que f(t)
está definida sólo en el intervalo que
especifiquemos. Y que la serie de Fourier la
extiende periódicamente, con periodo T igual al
intervalo de definición. En muchos libros se
habla de extender de forma par o impar una
función. La serie de Fourier extenderá
periódicamente los patrones siguientes
t
Extensión par
t
Extensión impar
51
Funciones Pares e Impares

• Una función (periódica o no) se dice función par
  (o con simetría par) si su gráfica es simétrica
  respecto al eje vertical, es decir, la función
  f(t) es par si
  f(t) f(-t)

52

• En forma similar, una función f(t) se dice
  función impar (o con simetría impar), si su
  gráfica es simétrica respecto al origen, es
  decir, si cumple lo siguiente -f(t) f(-t)

53

• Ejemplo Las siguientes funciones son pares o
  impares?
• f(t) t 1/t ,
• g(t) 1/(t21).
• Solución
• Como f(-t) -t - 1/t - f(t), por lo tanto f(t)
  es función impar.
• Como g(-t) 1/((-t)21) 1/(t21) g(t), por
  lo tanto g(t) es función par.

54

• Ejemplo La función h(t) f(1t2) es par o
  impar? (f es una función arbitraria).
• Solución
• Sea g(t) 1 t2. Entonces h(t) f(g(t)).
• Por lo tanto h(-t) f(g(-t)).
• Pero g(-t) 1(-t)2 1 t2 g(t),
• finalmente h(-t) f(g(t)) h(t), de modo que
  h(t) es función par, sin importar como sea f(t).

55

• Ejemplo De acuerdo al ejemplo anterior, todas
  las funciones siguientes son pares
• h(t) sen (1t2)
• h(t) exp(1t2) 5/ (1t2)
• h(t) cos (2t2) 1
• h(t) (10t2) - (1t2)1/2
• etc...
• Ya que todas tienen la forma f(1t2).

56

• Si f (x) es par

a
-a
57

• Si f (x) es impar

58

• Como la función sen(nw0t) es una función impar
  para todo n y la función cos(nw0t) es una función
  par para todo n, es de esperar que
• Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá
  términos seno, por lo tanto
• bn 0 para todo n.
• Si f(t) es impar, su serie de Fourier no
  contendrá términos coseno, por lo tanto an 0
  para todo n.

59

• Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos
  analizado
• Es una función impar, por ello su serie de
  Fourier no contiene términos coseno

60
P2. Septiembre 2005
a) Obtener el desarrollo en serie de Fourier de
las funciones
Respuesta.
f(x) sen(x), x ? -p,p, 2p periódica Función
par ? desarrollo en cosenos, bn 0
61
(No Transcript)
62
f(x) cos(x), x ? -p,p, 2p periódica Función
par ? desarrollo en cosenos, bn 0
63
(No Transcript)
64
Onda triangular (Triangle Wave)
65
Right Triangular Wave
66
Saw Tooth Wave
67
Ejercicio demostrar que la serie de Fourier para
con periodo T 2p (frecuencia fundamental ?0
1) y ? un número real no entero, es
68
Observa que si tomamos t 0 entonces
y con ? 1/2.
69
O que si tomamos t p entonces
Es correcto el resultado?
70
Convergencia uniforme
Que la integral traspase los sumatorios en la
deducción de las fórmulas para los coeficientes
de la serie de Fourier, equivale a asumir que la
serie converge uniformemente... Recordemos qué
es convergencia uniforme. Sea la serie
infinita y definamos sus sumas parciales como
71
Diremos que S converge a f(x) en un intervalo si
?? gt 0 existe para todo x del intervalo un N gt 0
tq.
Observemos que en general N dependerá de ? y del
punto x (convergencia puntual). Si N solo depende
de ?, pero no de x, decimos que la convergencia
es uniforme. Que la serie sea uniformemente
convergente es "bueno" porque
72
(1) Si cada término un(x) de una serie es
continuo en (a, b) y la serie es uniformemente
convergente a f(x), entonces (a) f(x) es
también continua en (a, b). (b)
(2) Si cada término un(x) de una serie posee
derivada en (a, b) y la serie derivada es
uniformemente convergente, entonces
73
Cómo probar la convergencia uniforme de una
serie? (1) Encontrar una expresión "cerrada"
para Sk(x) y aplicar la definición o (2)
utilizar la prueba M de Weierstrass Si existe
Mnn 1, 2,... tq. un(x) ? Mn y además
74
Ejemplo
75
Condiciones de Dirichlet
Condiciones de convergencia de la serie de
Fourier de f(x), suficientes pero no
necesarias. (1) f(x) tiene un número finito de
discontinuidades en un periodo. (2) f(x) tiene
un número finito de máximos y mínimos en un
periodo. (3)
76
Si se cumplen las condiciones de Dirichlet,
entonces la serie de Fourier converge a f(x) si x
es un punto de continuidad y a si x es un
punto de discontinuidad.
77
Desarrolla en serie de Fourier
78
(No Transcript)
79
La función f es continua en (-?, ?) excepto en x
0. Así su serie de Fourier converge en x 0 a
La serie es una extensión periódica de la
función f. Las discontinuidades en x 0, ?2?,
?4?, convergen a
80
Secuencia de sumas parciales y su representación
gráfica

81
(No Transcript)
82
(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
99
(No Transcript)
100
(No Transcript)
101
Ejercicio de examen Obtener el desarrollo en
serie de Fourier de la función
de modo que converja uniformemente a f(t) en
0,1.
Respuesta.
Para que el desarrollo de Fourier se pueda
definir debe ser 2L-periódica. Para que converja
uniformemente, se debe extender f(t) a de modo
que 1. sea continua en -L,L. 2. sea
continua a trozos en -L,L.
102
La continuidad se consigue con la extensión par
de f (f -2t es continua en -L,L ) con L 1.
Im (z)?
1
-1
Re (z)?
103
(No Transcript)
104
P2. Septiembre 2006

• (4 puntos)
• Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la
  función
• f(x) x2 -p x p, con f(x) f(x 2p)
• Estudiar si el desarrollo obtenido converge
  uniformemente a f(x) en -p,p
• Basándose en los resultados obtenidos, calcular
  la suma de la serie numérica
• A partir del desarrollo de Fourier de la función
  f(x), obtener el desarrollo en serie de Fourier
  de la función
• g(x) x(x2 p2) -p x p, con g(x) g(x 2p)

105
Respuesta.

• f(x) x2, x ? -p,p, 2p periódica
• Función par ? desarrollo en cosenos, bn 0

106
(No Transcript)
107
2.
3. Por convergencia uniforme, se aplica la
identidad de Parseval
108
4.
109
Fenómeno de Gibbs

• Si la serie de Fourier para una función f(t) se
  trunca para lograr una aproximación en suma
  finita de senos y cosenos, es natural pensar que
  a medida que agreguemos más armónicos, el
  sumatorio se aproximará más a f(t).
• Esto se cumple excepto en las discontinuidades de
  f(t), en donde el error de la suma finita no
  tiende a cero a medida que agregamos armónicos.
• Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos u
  onda cuadrada

110
(No Transcript)
111
(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
114
(No Transcript)
115
Fenómeno de Gibbs
116
Fenómeno de Gibbs
117

118
Forma compleja de la serie de Fourier

• Consideremos la serie de Fourier para una función
  periódica f(t), con periodo T 2p/w0.
• Es posible obtener una forma alternativa usando
  las fórmulas de Euler

119

• Sustituyendo
• Y usando el hecho de que 1/i -i
• Y definiendo

120

• A la expresión obtenida
• se le llama forma compleja de la serie de Fourier
  y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir
  de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o
  bien
• Para n 0, ?1, ?2, ?3, ...
• Demostrarlo.

Forma
un conjunto ortogonal?
121

• Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie
  de Fourier para la función ya tratada
• Solución 1. Como ya se calcularon los
  coeficientes de la forma trigonométrica (an y
  bn), que eran an 0 para todo n y

122

• Podemos calcular los coeficientes cn
• Entonces la serie compleja de Fourier queda

123

• Solución 2. También podemos calcular los
  coeficientes cn mediante la integral

124

• Como w0T 2p y además
• que coincide con el resultado ya obtenido.

125
Calcular la serie de Fourier de la función de
Heaviside
n ? 0
126
n impar
n impar
n impar
n impar
127
(No Transcript)
128
(No Transcript)
129
(No Transcript)
130
La función impulso o delta de Dirac

• Se trata de una "función generalizada". Podemos
  pensar en la delta de Dirac como el límite de una
  serie de funciones

f1(t)
t
131
Propiedades de la función d
132
Calcular la serie de Fourier de d(x)
133
(No Transcript)
134
(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
140
(No Transcript)
141
(No Transcript)
142
(No Transcript)
143

• Los coeficientes cn son números complejos, y
  también se pueden escribir en forma polar
• Observemos que,
• Donde ,
• para todo n ? 0.
• Y para n 0, c0 es un número real

144
Espectros de frecuencia discreta

• Dada una función periódica f(t), le corresponde
  una y sólo una serie de Fourier, es decir, le
  corresponde un conjunto único de coeficientes cn.
• Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t)
  en el dominio de la frecuencia de la misma manera
  que f(t) especifica la función en el dominio del
  tiempo.

145
Espectros de frecuencia discreta

• Ejemplo. Para la función ya analizada
• Encontramos que
• Por lo tanto

146

• A la gráfica de la magnitud de los coeficientes
  cn contra la frecuencia angular w de la
  componente correspondiente se le llama el
  espectro de amplitud de f(t).
• A la gráfica del ángulo de fase fn de los
  coeficientes cn contra w, se le llama el espectro
  de fase de f(t).
• Como n sólo toma valores enteros, la frecuencia
  angular w nw0 es una variable discreta y los
  espectros mencionados son gráficas discretas.

147

• El espectro de amplitud se muestra a continuación
• Observación El eje horizontal es un eje de
  frecuencia, (n número de armónico múltiplo
  de w0).

148
El espectro de magnitud de una f(t) real, es una
función PAR por lo que la gráfica para n ? 0
contiene toda la información acerca de f(t) y se
le conoce como espectro unilateral de magnitud.
El espectro de fase de una f(t) real, es una
función IMPAR por lo que la gráfica para n ? 0
contiene toda la información acerca de f(t) y se
le conoce como espectro unilateral de fase.
149

• Podemos expresar de una manera ligeramente
  diferente la serie de Fourier. Cada par de
  términos
• ancos(nw0t) bnsen(nw0t)
• se pueden expresar como
• Donde lo único que hemos hecho es multiplicar y
  dividir por

150
bn
qn
an

• Y la suma puede expresarse, por ejemplo, solo en
  función del coseno

151

• Si además definimos C0 a0/2, la serie de
  Fourier se puede escribir como
• Con

Ejercicio Definir adecuadamente los coeficientes
C0, Cn y qn, de manera que la serie de Fourier
pueda escribirse como
152
Componentes y armónicos

• Hemos visto que, bajo ciertas condiciones, una
  función f(t) puede escribirse como la suma de
  componentes sinusoidales de diferentes
  frecuencias wn nw0.
• A la componente sinusoidal de frecuencia nw0
• cn cos(nw0t qn) se le llama el enésimo armónico
  de f(t).
• Al primer armónico (n 1) se le llama la
  componente fundamental y su periodo es el mismo
  que el de f(t).
• A la frecuencia w0 2p f0 2p / T se le llama
  frecuencia angular fundamental.

153

• Ejemplo La función
• Como vimos, tiene un periodo T 24p, por lo
  tanto su frecuencia fundamental es w0 2p/T
  1/12 rad/s.
• O como w0 2pf0, f0 1/T 1/ 24p Hz.
• Su componente fundamental (n 1) será
• c0 cos(w0t q0) 0 cos(t/12).
• Tercer armónico
• cos(3t/12) cos(t/4)
• Cuarto armónico
• cos(4t/12) cos(t/3)

154
(No Transcript)
155
Ejercicio
156
Potencia y Teorema de Parseval

• El promedio o valor medio de una señal cualquiera
  f(t) en un periodo dado T se puede calcular como
  la altura de un rectángulo que tenga la misma
  área que el área bajo la curva de f(t)

f(t)
1
t
157

• De acuerdo a lo anterior, si la función periódica
  f(t) representa una señal de voltaje o corriente,
  la potencia promedio entregada a una carga
  resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por
• Si f(t) es periódica, también lo será f(t)2 y
  el promedio en un periodo será el promedio en
  cualquier otro periodo.

158

• El teorema de Parseval nos permite calcular la
  integral de f(t)2 mediante los coeficientes
  complejos cn de Fourier de la función periódica
  f(t)
• O bien, en términos de los coeficientes an, bn

159
Teorema o identidad de Parseval
160

• Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio de la
  función f(t)
• Solución.
• Del teorema de Parseval
• y del ejemplo anterior

161

• La serie numérica obtenida converge a
• Por lo tanto,
• Como era de esperar.

162
(No Transcript)
163
1.
164
2.
3.
165
(No Transcript)
166
(No Transcript)