Operaciones. Las fracciones y sus operaciones

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Operaciones. Las fracciones y sus operaciones

• Manuel Martínez
• jmmh48_at_gmail.com

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Unidad 7. Operaciones
LAS FRACCIONES Y SUS OPERACIONES Introducción. Cu
ando decimos que nos hemos comido las tres
cuartas partes de la torta,
O cuando tardamos media hora en hacer los
deberes,
En estas situaciones estamos utilizando las
fracciones.
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Unidad 7. Operaciones
Términos de una fracción. Recuerda que ya hemos
estudiado lo que es una fracción.

a Si tenemos dos números a
y b , y b ? 0, entonces la expresión ------ es
una fracción .
b b se
llama denominador de la fracción, y nos indica
en cuántas partes se divide la unidad. a se
llama numerador de la fracción , y nos indica
cuántas partes tomamos. a ?
NUMERADOR ------
b ? DENOMINADOR
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Unidad 7. Operaciones
Fracción de un número. Si queremos calcular
cuanto valen los 2 / 5 de 10, Cómo lo
hacemos? Para calcularlo, lo puedes hacer de dos
formas distintas
1) Dividimos 10 entre 5 y multiplicamos el
resultado por 2 10 5 2 2 . 2 4 2)
Multiplicamos 10 por 2 y dividimos el resultado
entre 5. 10 . 2 20 20 5 4
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Unidad 7. Operaciones
Tipos de Fracciones Propias e Impropias. Dentro
de las fracciones podemos distinguir tres tipos
diferentes 1. Fracciones que tienen el
numerador igual al denominador 3
5 9 456 ------ ,
-------- , ------- , -------- , 3
5 9 456 Todas estas
fracciones son iguales a la unidad.

la unidad
?

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Unidad 7. Operaciones
2. Fracciones que tienen el numerador menor
que el denominador 2 1 5
4 21 ------ , -------- ,
------- , -------- , ---------- 3 4
7 9 47 Todas estas
fracciones son más pequeñas que la unidad.
2 Por
ejemplo ------ 3 Si la
representamos gráficamente 1 Unidad
?

2/3
Este tipo de fracciones se llaman fracciones
propias.
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Unidad 7. Operaciones
3.Fracciones que tienen el numerador mayor
que el denominador 4 5 74
7 9 ------ , -------- ,
------- , -------- , ---------- , --------- 3
3 9 5
4 Todas estas fracciones son mayores que la
unidad. 4 Por ejemplo
------ 3 Si la
representamos gráficamente 1 Unidad
1 Unidad
?
?


3/3 1/3
Este tipo de fracciones se llaman
fracciones impropias.
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Unidad 7. Operaciones
Numero Mixtos. Como acabas de ver, las
fracciones impropias son mayores que la
unidad Las fracciones impropias las podemos
escribir como suma de un número natural y una
fracción. 4
3 1 1
5 4 1
1 ------ -------- ------- 1
------ ------- ------
------ 1 -----
3 3 3 3
4 4 4
4 También podemos escribirlas de
la siguiente forma. 4 1
1
------ 1
------- 1 ------- 3 3
3
5 1 1


------ 1 ------- 1 ------- 4
4 4
1 1 1 ------ y
1 ------- 3 4 son números
mixtos, y se leen uno y un tercio y uno y
un cuarto
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Unidad 7. Operaciones
Fracciones Equivalentes. a c Si dos
fracciones ----- y ------ son equivalentes,
entonces se verifica b
d que a . d b . c Los productos a . d y b
. c se llaman productos cruzados. Se llaman
productos cruzados porque lo que en realidad
hacemos es cruzar los numeradores y denominadores
de las dos fracciones. a c
------ ---- ? a . d b . c b
d Luego, podemos decir que dos
fracciones son equivalentes si sus productos
cruzados son iguales.
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Unidad 7. Operaciones

a
c Para indicar que dos fracciones son
equivalentes ponemos ------ ----

b d
2 4
La fracciones
---- y ---- son equivalentes
3
6 En efecto, comprobamos realizando los
productos cruzados.

2 4
------ ----
3 6 2 . 6 12 3 . 4
12 Luego 2 . 6 3 . 4 , y así comprobamos
que las fracciones son equivalentes.
2 4 Entonces ------ y
---- son equivalentes 3
6
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Unidad 7. Operaciones
Si las fracciones no son equivalentes, entonces
los productos cruzados son diferentes a . d ? b
. C 3
4 Por ejemplo ------ y ----
2 5 3 . 5 15
2 . 4 8 Comprobamos que 15 ? 8


3 4 Entonces decimos que las
fracciones no son equivalentes, y ponemos -----
? ----

2 5
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Unidad 7. Operaciones
Comprobación y Ordenación de Fracciones.
a c Si tenemos dos fracciones
---- y ----
b d cómo podemos saber
cuál de ellas es la menor y cuál la mayor?
Recuerda que si dos fracciones tienen el mismo
denominador, es mayor la que tienen mayor
numerador. 2
3 3 2 Por ejemplo
------ y ---- ? ------ gt -----
5 5 5
5 Si dos fracciones tienen el mismo
numerador, es mayor la que tiene menor
denominador. 2
2 2 2 Por ejemplo ------
y ---- ? ------ lt -----
4 3 4 3
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Unidad 7. Operaciones
Qué sucede cuando las fracciones no tienen
ninguno de sus términos iguales? En este caso
buscamos fracciones equivalentes con el mismo
denominador, y comparamos los numeradores.
2 3 Por ejemplo
------ y ----
3 4 2 4
6 8 ------ ---- -----
----- 3 6 9
12 Buscamos fracciones equivalentes.
3 6 9 ------ ----
----- 4 8 12
8 9 2
3 Como ------ lt ---- , entonces
---- lt ----- 12 12
3 4
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Unidad 7. Operaciones

• suma y resta con
• Mismo Denominador
• Cuando tenemos dos fracciones con el mismo
  denominador.
• a c
• ---- y ----
• b b
• Podemos sumarlas sumando sus numeradores, y
  dejando el mismo denominador.
• a c a c
• ------ ---- --------
• b b b

3 2 3 2 5
------ ------ -------- -----
7 7 7 7
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Unidad 7. Operaciones
O también podemos restarlas de la misma forma.
a
c a - c ----- - ----
-------- b b b
3 2 Por ejemplo ------
y ----- 7 7
3 2 3 - 2
1 ------ - ---- --------
----- 7 7 7
7 Para sumar o restar fracciones
con el mismo denominador, sumamos o restamos los
numeradores y dejamos el mismo denominador.
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Unidad 7. Operaciones
b) Distinto Denominador. Para sumar o restar
fracciones, éstas deben tener el mismo
denominador. Si no lo tiene, debemos buscar
fracciones equivalentes, hasta que éstas tengan
el mismo denominador 3
4 Por ejemplo ------ y -----
5 2
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Unidad 7. Operaciones
3 6 ------ ----- 5
10 4 8 12 16
20 ------ ----- ----- ------
------- 2 4 6
8 10 4 3 20 6
20 6 26 ------ -----
----- ------ ----------- ------- 2
5 10 10 10
10 4 3 20
6 20 6 14
------ - ----- ----- - ------
--------- ------ 2
5 10 10 10
10
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Unidad 7. Operaciones
Para hallar fracciones con distinto denominador,
podemos usar el método del mínimo común múltiplo
de los denominadores ( m. c. m. )
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Unidad 7. Operaciones

• 1 2
  3
• Tenemos las fracciones ----, ----- , ------
• 2 3
  4
• Calculamos el m.c.m. de los denominadores
• m.c.m. ( 2, 3, 4 ) 2. 2. 3 12
• 2) Multiplicamos el numerador de cada fracción
  por el cociente de dividir el m.c.m. por el
  denominador de esta fracción.
• 1
  1 6
• ------ ? 12 2 6 6 . 1 6 ?
  ------ ------
• 2
  2 12
• 2
  2 8
• ------ ? 12 3 4 4 . 2 8 ?
  ------ ------
• 3
  3 12
• 3
  3 9
• ------ ? 12 4 3 3 . 3 9
  ?------ ------
• 4
  4 12

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Unidad 7. Operaciones
6 8
9 1 2
3 A si , las fracciones ------, -----
y ----- son equivalentes a ---- , ---- y -----
12 12
12 2 3
4 y tienen el mismo denominador, luego podemos
sumarlas y restarlas. 1
2 3 6 8 9
6 8 9 23 ------
----- ----- ------ ------ -----
------------ ----- 2
3 4 12 12 1 2
12 12 1 2
3 6 8 9
6 8 - 9 5 ------ ----- -
----- ------ ------ - ------
------------ ----- 2 3
4 12 12 1 2
12 12
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Unidad 7. Operaciones
Multiplicación y División
a c Para multiplicar las
fracciones ------ y ----- , hacemos
b d
a
c a . c ------ . ----
----------
b d b . d Al
multiplicar dos fracciones, obtenemos otra
fracción cuyo numerador es el producto de los
numeradores, y el denominador es el producto de
los denominadores.
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Unidad 7. Operaciones
Por ejemplo 1 2 1 . 2
2 ------ . ----- -------- ------
3 5 3 . 5 15
a
c Para dividir dos fracciones ---- y ---- ,
hacemos b d
a c a d a .
d ---- ? ---- ----- . -------
---------- b d b c
b . c
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Unidad 7. Operaciones
Dividir dos fracciones es lo mismo que
multiplicar la primera de ellas por el inverso de
la segunda. Por ejemplo
3 2
3 5 3 . 5 15
------ ? -----
----- . ---- ---------- ------
2 5
2 2 2 . 2 4 También
podemos hacer el producto cruzado de las
fracciones, que consiste en multiplicar el
numerador de cada una de las fracciones por el
denominador de la otra.
a c
a . d ---- --- ---------
b d
b . C Por ejemplo
3 2 3 . 5
15 ---- --- --------- ------
2
5 2 . 2 4