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Números aleatorios

• Los números aleatorios son un elemento básico en
  la simulación de la mayoría de los sistemas
  discretos.
• Cada número aleatorio Ri es una muestra
  independiente de una distribución uniforme y
  continua en el intervalo (0,1).

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Números aleatorios
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Números aleatorios

• La probabilidad de observar un valor en un
  particular intervalo es independiente del valor
  previo observado.
• Todo punto en el rango tiene igual probabilidad
  de ser elegido.
• Si el intervalo (0,1) es dividido en n
  sub-intervalos de igual longitud, el número
  esperado de observaciones en cada intervalo es
  N/n. (N número de observaciones totales).

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Generador de números aleatorios

• El objetivo de cualquier esquema de generación
  es producir una secuencia de números entre 0 y 1
  que simule las propiedades ideales de
  distribución uniforme y de independencia.

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Números pseudo-aleatorios

• Los números aleatorios son calculados a partir de
  una semilla (seed) y una fórmula.
• El problema es que si el método es conocido,
  entonces la secuencia de números aleatorios puede
  ser replicada.
• En la práctica ninguna función produce datos
  aleatorios verdaderos -- las funciones producen
  números pseudo-aleatorios.

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Técnicas para generar números aleatorios

• La mayoría de los métodos (generadores) comienzan
  con un número inicial (semilla), a este número se
  le aplica un determinado procedimiento y así se
  encuentra el primer número random.
• Usando este número como entrada, el procedimiento
  es repetido para lograr un próximo número random.
  
• Y así siguiendo.

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Técnicas para generar números aleatorios

• Método Del Cuadrado Medio comienza con un
  número inicial (semilla). Este número es elevado
  al cuadrado. Se escogen los dígitos del medio de
  este nuevo número (según los dígitos que se
  deseen) y se colocan después del punto decimal.
  Este número conforma el primer número random.
• Ejemplo X0 5497
•  
• X02 (5497)2 30,217,009 gt X1 2170
•   R1 0.2170
• X12 (2170)2 04,708,900 gt X2 7089
•   R2 0.7089
• X22 (7089)2 50,253,921 gt X3 2539

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Técnicas para generar números aleatorios

• Método De Congruencia Lineal produce una
  secuencia de enteros X1, X2,... entre 0 y m-1
  de acuerdo a la siguiente relación recursiva
•   Xi1 (a Xi c) mod m, i0,1,2,...
•  
• X0 es llamado semilla.
• a es llamado el multiplicador constante.
• c es el incremento.
• m es el módulo.
• El número aleatorio se encuentra de la siguiente
  manera
• R X / m

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Técnicas para generar números aleatorios

• Ejemplo Utilice el método de Congruencia Lineal
  para generar números aleatorios con las siguiente
  constantes
• X0 27 , a 17, c 43, m 100
• La secuencia de Xi y subsecuentes Ri serían
•  
• X0 27
• X1 (17 27 43) mod 100 502 mod 100 2
• R1 2/100 0.02
• X2 (17 2 43) mod 100 77 mod 100 77
• R2 77/100 0.77
•  
• La selección de los parámetros del generador
  afecta drásticamente las propiedades ideales y la
  longitud del ciclo.

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Funciones de números pseudoaleatorios en el GPSS

• La secuencia de números aleatorios en el GPSS se
  obtiene a través de un generador congruencial
  multiplicativo que tiene un período máximo de 32
  bits, este período excluye el 0. Los generadores
  en el GPSS no necesitan declararse. La semilla
  inicial del generador de números aleatorios es
  igual al número de entidad RN, por ejemplo si
  elegimos RN2, la semilla inicial es 2.
• La semilla puede cambiarse a través de la
  sentencia RMULT.
• Sólo podemos controlar con RMULT las semillas de
  los 8 generadores que tiene el lenguaje.

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Funciones de números pseudoaleatorios en el GPSS

• El generador Pseudo-random de GPSS World se basa
  en el algoritmo multiplicativo-congruencial de
  Lehmer con un período máximo. El algoritmo
  produce números pseudo-aleatorios en el intervalo
  0 a 2.147.483.647 y genera 2.147.483.646 números
  aleatorios diferentes antes de repetirse.

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Atributos de los generadores de números
aleatorios del GPSS

• A menos que sea cambiada por un RMULT, la semilla
  inicial es igual al número que identifica la
  número aleatorio elegido. RN6 comienza con una
  semilla 6 .
• Usos por parte del sistema el GPSS World usa los
  generadores de números aleatorios en la
  programación en caso de que los tiempos de
  ocurrencia de eventos estén empatados. En los
  bloques TRANSFER en modo fraccional y para la
  generación de números aleatorios para los bloques
  GENERATE y ADVANCE.

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Atributos - SNAs

• Cuando se invoca como un valor de SNA retorna un
  entero entre 0-999. Se pueden usar expresiones
  tales como 1000RN2RN2 para definir una nueva
  entoidad variable.
• Los valores fraccionales entre 0-.999999 se
  sacan a partir de la secuencia de números
  aleatorios cuando se necesita realizar la
  interpolación para una función aleatoria
  continua. Related SNAs
• Las SNAs asociadas a las entidades de los RN son
• RNEntnum - Random number. RN
• Entnum retorna un entero entre 0-999.

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Test para el Chequeo de Uniformidad
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Test para el Chequeo de Uniformidad

• Test de Kolmogorov-Smirnov compara la
  distribución de un conjunto de números generados
  con una distribución uniforme.
• Este test compara
• la función de Probabilidad Acumulada continua
  F(x) de una Distribución Uniforme, con
• la función de Probabilidad Acumulada empírica
  SN(x), de una muestra de N observaciones.

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Test de Kolmogorov-Smirnov

• Por definición, la Función de Probabilidad
  Acumulada (teórica) uniforme entre 0 y 1 tiene
• F(x) x, 0ltxlt1
• Mientras que una Función de Probabilidad
  Acumulada Empírica se encuentra
• SN(x) (cantidad de n.r. generados ltx ) / N
•  
• Este test se basa en la mayor desviación absoluta
  entre F(x) y SN(x) sobre todo el rango de la
  variable random.
• Esto es D maxF(x) - SN(x)
•  
• La distribución de D está tabulada como una
  función de N.

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Ejercitación de Distribución Empírica (SN(x))

• Si no se conoce la probabilidad de un fenómeno se
  debe trabajar con las distribuciones empíricas (
  basadas en frecuencias).
• Ejemplo Que distribución tiene la siguiente
  secuencia de números? 3-4-5-3-4-5-3-6-4-3
• 3 4 4/100.4 4/100.4
• 4 3 3/100.3 7/100.7
• 5 2 2/100.2 9/100.9
• 6 1 1/100.1 10/101

valor cantidad frel.
frelAcum
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El test procede de la siguiente manera
1- Ordenar los datos de menor a
mayor   R(1)ltR(2)lt... lt R(N)   (R(i)
denota la observación más pequeña.)   2-
Calcular   D max i/N - R(i),
1ltiltN D- max R(i)- (i-1)/N,
1ltiltN 3- Calcular D? max (D,D-).
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Ejemplo (continuación)
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El test procede de la siguiente manera
(continuación)
4- Determina el valor crítico, D? para el nivel
de significancia alfa y tamaño de muestra N,
(estos valores están tabulados). 5- Si la muestra
estadística diferencia ha D es mas grande que el
valor crítico, D?, la hipótesis nula es
rechazada. Si D lt D? concluye
que ninguna diferencia significativa ha sido
detectada entre la verdadera distribución de
R1,R2 ..., RN y la distribución uniforme.
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El test procede de la siguiente manera
(continuación)

• Suponer que se generaron cinco números random y
  que se desea ejecutar el test de K.S. para un
  nivel de significancia ? 0.05
• Orden cronológico
• Orden numérico creciente

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Ejemplo (continuación)

• Evaluación

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Tabla para la prueba de Kolmogorov-Smirnov
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(No Transcript)
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Generación de Variables Aleatorias Empíricas
Discretas

• Suponga que un determinado fenómeno aleatorio
  tiene la siguiente distribución de probabilidad

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Técnica de la Transformada Inversa
(Generalización de Montecarlo)
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Técnica de la Transformada Inversa
(Generalización de Montecarlo)
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Técnica de la Transformada Inversa
(Generalización de Montecarlo)
0 ? R ? 0.3 entonces x 20 grs. 0.3 lt R ?
0.7 entonces x 19 grs. 0.7 lt R ? 1 entonces
x 18 grs.
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Transformada Inversa Distribuciones Empíricas
Continuas

• Suponga que se han coleccionado 100 tiempos de
  reparación de un elemento

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Transformada Inversa Distribuciones Empíricas
Continuas
Como no se conoce la D. Acum. Teórica , trabajo
con la D. Empìrica
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Transformada Inversa Distribuciones Empíricas
Continuas

• Gráficamente

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Transformada Inversa Distribuciones Empíricas
Continuas

• Algebraicamente

Dado Ri 0.83 (entre 0.66 y 1), Xi es
computado por una interpolación lineal entre
1.5 y 2
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Transformada Inversa Distribuciones Empíricas
Continuas

• Algebráicamente

Dado Ri 0.83 (entre 0.66 y 1), Xi es
computado por una interpolación lineal entre
1.5 y 2