Matematika

1
Matematika és tapasztalat 2.

• A véletlentol a statisztikus világig

2
A matematika forradalma

• A tizenhetedik század során alapveto átalakuláson
  megy át a matematika
• növekvo igények, egyre több diák
• algebra terjedése
• a hivatásos számolómesterek mellett megjelennek a
  pénzügyileg nem érdekelt mukedvelok
• jellemzo a különbség pl. Faulhaber és Descartes
  között

3
Csoda helyett rendszer

• Tipikus szemlélet matematikai gyönyörök
  kertjének még le nem szakított kis virágocskái
• E helyett Descartes pár szabály, feladatok
  tipizálása, a matematikai tudás, mint a
  bizonyossághoz vezeto út.

4
A matematika mint hatalom

• A tudományos diskurzusban a matematika, az
  egzaktság retorikai elonyt is jelent
• Newton prizmakísérletiben fokperc pontossággal
  adja meg a prizmák törési szögeit, holott a kor
  prizmái nem mérhetok ilyen pontossággal, sot, a
  Nap mozgása nagyságrendekkel nagyobb pontatlanság
  forrása
• Mindmáig hat ez a hozzáállás reklámokban,
  ismeretterjeszto munkákban, stb.

5
A statisztikus-valószínuségi gondolkodási stílus
megjelenése

• Ma egészen természetes reklámok, hírek, stb.?
  matematikai kultúránk alapveto része
• régen, pl. egy görög számára, teljesen
  ismeretlenek voltak az erre vonatkozó fogalmak
• egyfajta gondolkodási stílus (Ian Hacking) az
  újkorban jelent meg ? új fogalmi lehetoségek
• valószínuség fogalma kb. 1660-as évek
• statisztikus gondolkodás 19. sz. elso fele
  alapos forradalom, átalakítva a 20. sz-i
  gondolkodást

6
A véletlen matematikájának születése

• Elso kérdések (16. sz.) szerencsejátékok
  (Cardano)
• 1654 De Méré lovag kérdése Blaise
  Pascalhozosztozkodási probléma (megszakított
  játék)
• 7 levél Pascal és Pierre Fermat között
  megteremtik a valószínuségszámítás klasszikus
  alapjait
• klasszikus megközelítés ha egy játéknak m
  egyenloen valószínu kimenete van, és ebbol n
  nyero, akkor a nyerés valószínusége n/m
• ezt aztán tapasztalatilag is igazolják egy
  játék sokszori megismétlése azonos körülmények
  között

7

• Vizsgáljuk hát meg ezt a kérdést, és állapítsuk
  meg Vagy van Isten, vagy nincs. E végtelen
  távolság legvégén szerencsejáték folyik, s az
  eredmény fej vagy írás lesz. Melyikre fogad maga?
  Mérlegeljük, mit nyerhet vagy veszíthet, ha
  fejre, vagyis arra fogad, hogy van Isten.
  Értékeljük ezt a két eshetoséget ha nyer,
  mindent megnyer ha veszít, semmit sem veszít
  Minthogy egyforma a nyerés és vesztés esélye, még
  akkor is fogadhatna, ha csupán két életet
  nyerhetne egy ellen ha pedig három életet
  nyerhetne, akkor már feltétlenül bele kellene
  mennie a játékba (hiszen úgyis kényszerítve van
  rá) Ám itt az örök élet és az örök boldogság a
  tét Így ez már nem is fogadás ahol a végtelen
  forog kockán, és nem áll szemben végtelen számú
  vesztési esély a nyerési eséllyel, nincs helye a
  mérlegelésnek, mindent fel kell tennünk.
• (Pascal Gondolatok, 233.)

8
Pascal valószínuségi istenérve

• Mire érdemes fogadni van Isten vagy nincs?
• 1. fogadás van
• 1/a ha tényleg van, akkor végtelen a nyereség
  (üdv.)
• 1/b ha nincs, akkor véges veszteség tévedésben
  élek
• 2. fogadás nincs
• 2/a ha tényleg nincs, akkor véges nyereség
  élvhajhászat
• 2/b ha van, akkor végtelen veszteség kárhozat
• S végtelen nyereség / véges veszteség a véges
  nyereség / végtelen veszteséggel szemben ? a
  hülyének is megéri Isten létére fogadni

9
A val.szám. korai története

• a Pascal-Fermat levelezés híre gyorsan terjed
• Christiaan Huygens, 1657 De Ratiociniis in Aleae
  LudoAz alapok 14 probléma megoldással (5 m.
  nélkül) ? kb. 50 évre minden hasonló témájú
  munka alapjául szolgál
• Pepys Newtonhoz 1693. november 22 (29 évesen
  megtanul szorozni)
• A 6 kockája van egy dobozban, amellyel egy
  hatost dob.
• B egy másik dobozban 12 kockája van, amellyel 2
  hatost dob
• C egy másik dobozban 18 kockája van, amellyel 3
  hatost dob
• Kérdés egyforma szerencsét feltételezve B-nek
  és C-nek ugyanolyan könnyu dolga van-e mint
  A-nak?i
• Newton elmagyarázta miért A-nak a legjobbak az
  esélyei és megadta Pepysnek egy 1000 fontos
  fogadás esetén a pontosan várható nyereményeket
  fontban, shilligben és pennyben.

10
Politikai és orvosi aritmetika

• egy másik vonal halálozási adatok
• Jacob Bernoulli, 1713 (1690) Ars
  Conjectandiszerencsejátékok, halálozási
  jegyzékek permutáció, kombináció, binomiális
  tétel, nagy számok törvénye
• Centralizált fellépés járványok ellen
  ismertetok, táblázatok, karantének,
  pestisdoktorok
• 1662 John Graunt Natural and Political
  Observations made upon the Bills of Mortality.
  London lakossága, katonaképes férfiak száma,
  legveszélyesebb betegségek, gyermekhalálozás.
• fél évszázados adatsorok elrendezése, általános
  tanulságok
• biztosítási matematika alapjai, adózás,
  statisztika, stb.
• 1720 James Jurin. Himlooltás (himlos sebbol
  emberi sebbe kenet). A Philosophical
  Transactions-ben és egyéb helyeken hirdetések
  adatok, ki mit tud. Európaszerte sokan
  válaszolnak milyen veszélyes az oltás 1 90
  vs.1 7,5
• Késobb adótáblázatok, születési adatok használata
  is.
• Orvosoknál levelezési láncok orvosi és
  betegadatok.
• Kórházi szülés (fogó), bábaiskolák

11
A valószinuségi érvelés

• 1710 John Arbuthnot Argument for Divine
  Providence
• Londonban az ezt megelozo 82 évben mindig több
  fiú született, mint lány.
• Egyenlo esély feltételezése esetén ennek a
  valószínusége 1/(282)
• Ez olyan kicsi szám, hogy minden bizonnyal a
  gondviselés a felelos
• ez a reductio ad absurdum érvelési forma elterjed

12
Georges-Louis de Buffon

• Hogy a hat bolygó mind egy irányban kering 1/26,
  vagyis 1/64. Ez valószinutlen, így valószínu,
  hogy Buffon üstököselmélete helyes (ez szakította
  ki a napból a bolygókat)
• Matematika bizonyosság (nincs bizonytalanság)
• Morális bizonyosság (1/10 000 a tévedés val.)
• Fizikai bizonyosság ki kell számolni!!
• pl. mi az esélye, hogy egy 56 éves férfi meghal a
  következo 24 órában?

13
A napfelkelte valószinusége

• 1777 Essai darithmétique morale
• Gondolatkísérlet felnott minden korábbi
  érzékelés nélkül
• Meglátja a napot, az azonban eltunik
• Milyen biztos abban, hogy újra fogja látni? ½
• Ahogyan telnek a napok egyre több adata van,
  egyre bizonyosabb, hogy újra fel fog kelni a nap
• 6000 év alatt 2 190 000-szer (n) látta
• a valószínuség, hogy újra látja 2n-1 az 1-hez.

14
A véletlen a 18. században

• Csak egy puszta szó, de semmit sem jelent
• De Moivre, 1738 (1711, 1756) Az esélyek tanaA
  véletlen szónak esztétikai értéke van, de
  különben minden jelentést nélkülöz. A létezés
  semmilyen módozatával nem áll kapcsolatban, sem
  magával a létezéssel, sem pedig a nemlétezéssel
  sem meghatározni, sem megérteni nem lehet, és nem
  lehetséges a rá vonatkozó kijelentéseket sem
  igazolni, sem cáfolni, kivéve ezt Ez nem több,
  mint egy puszta szó.
• David Hume, 1739 Értekezés az emberi
  természetrolÁltalánosan elfogadott, hogy semmi
  sem létezik ok nélkül, és a véletlen, ha
  szigorúan megvizsgáljuk, egy pusztán negatív szó,
  és semmi olyan valódi erot nem jelent, amely
  bárhol is létezne a természetben.
• ? a determinisztikus világban nincs helye

15
A statisztikai forradalom

• P.-S. Laplace, 1814 Filozófiai értekezés a
  valószínuségrolMinden esemény, még ha olyan
  jelentéktelen is, hogy látszólag nem követi a
  természet törvényeit, valójában ugyanolyan
  pontossággal következik belolük, mint a nap
  keringései. ? nála az észlelési hibák
  kezelésére kell a val.szám. a dolog a
  tudatlanságunk mértékével áll kapcsolatban
• C.S. Peirce, 1893 Válasz a szükségszeruség
  híveinekA véletlen beszivárog az érzékelés
  minden útján minden dolgok közül ez a
  legszembeötlobb. A legnyilvánvalóbb szellemi
  meglátásunk az, hogy a véletlen abszolút. Hogy
  létezo, élo és tudatos ezt még a racionalitás
  unalmas önképének is aligha van mersze tagadni.
• Hát elég sok minden történt a közben eltelt
  idoben...

16
Statisztika

• a szó eredeti jelentése olyan adatgyujtés, amely
  az állam politikai és gazdasági érdekeit
  szolgálja
• Poroszország, 18. sz. központi statisztikai
  hivatal? korábbi népszámlálások gyarmati
  kolóniák (16. sz-tól)
• Félig öncélú adatgyujtés (Leibniz) emberek
  száma nem szerint, társadalmi rang szerint,
  fegyverviselésre képes férfiak száma,
  házasságképes nok száma, népességsuruség és
  -eloszlás, gyermekhalandóság, várható élettartam,
  betegségek eloszlása, halálozási okok, stb. (56
  kategória)? átfogó és részletes népszámlálások
  (egyre több kategória)
• 1733 az adatokat titkosítják (az ellenségnek
  segítség)
• század második fele a statisztika amator hobbi
  lesz, majd sorra jönnek létre a helyi
  statisztikai intézetek

17
Statisztikus törvények

• Kell hozzá rengeteg adat Napóleon
  államszervezete iszonytató mennyiségut produkál
• Kell hozzá a társadalmi törvény fogalma a
  francia Felvilágosodás racionalista
  hagyományában ? a természetet a természet
  törvényei, az emberi természetet saját törvényei
  igazgatják
• Kell hozzá egy induktivista szemlélet adatokból
  általánosítás programja ? törvények
• a matematika alkalmazása Laplace és Gauss a
  hibák normál-eloszlást mutatnak? sok
  társadalmi adat is ? az emberi természet
  fogalmát felváltja a normális ember fogalma

18
Néhány alkalmazás

• Orvostudomány statisztikus betegség-törvényekEgy
  brit bizottság, 1825 Megállapítható a betegség
  mennyisége, melyet egy átlagos egyén évente átél
  20 és 70 éves kora között.
• Empirikus szociológia születésePl. öngyilkossági
  adatok (orvosok gyujtik, mert az orültség egy
  fajtája) ? az életszínvonal számszeru indikátora
• Bunüldözés a bunözési statisztikák meglepo
  állandósága ? a törvényalkotásnál is figyelembe
  kell venni a devianciát
• Bíróságok összetételeCondorcet, Laplace a
  bírósági tévedés valószínuségének a priori
  meghatározása (pl. 7-5 arányú döntés 1/4 a
  tévedés esélye) ? statisztikai adatok
  biztosabbá teszik a képet

19
Számokba fojtva

• Charles Babbage, 1832 Pillanatnyilag a
  legszükségesebb, kollektív erofeszítéséket
  igénylo tudomány, amely a legtöbb hasznot fogja
  hozni az, amelyet úgy kellene nevezni, hogy A
  természet és a muvészet állandói. Ennek kell
  tartalmaznia mindazokat a tényeket, melyek
  számokkal kifejezhetok.
• Babbage 19 állandó-kategóriájaNaprendszer
  állandói atomsúlyok fémek adatai optikai
  tulajdonságok állatfajok számai emlosök adatai
  emberek adatai emberek munkavégzo-képessége
  növények földrajzi eloszlások légköri
  jelenségek anyagok sebességek (pl. madarak,
  nyíl, fény) földrajzi adatok népességek
  épületek súlyok és mértékek betuk elofordulásai
  különbözo nyelvekben könyvtári könyvek, egyetemi
  hallgatók, intézeti dolgozók, stb. száma

20
A mérték és mérés világa

• Az egész világ számokban kifejezheto
• Figyelem ez nagyon messze van akár a 17. sz.
  geometriai felfogásától!!! ? mérés, mérték
  alapveto
• 18. sz. rengeteg különbözo mértékrendszer (pl.
  Franciaország kb. 800, összesen kb. 250000
  variánssal (?))
• 1790 Súly- és Mértékügyi Bizottság (Lagrange,
  stb.) ? SI
• a fizikai világ számszeru viszonyai matematikai
  viszonyokkal visszaadhatók, pl

(testek, könnyebb, additivitás valós számok,
kisebb, összeadás) ? a ketto között ?
homomorfizmus
21
A statisztikus perspektíva

• A számokba fojtott világ statisztikailag
  értelmezheto
• nemcsak szociológia, kriminológia, stb, hanem
• statisztikus fizika Maxwell, Boltzmann az
  atomok társadalma segítségével újraértelmezi a
  klasszikus fizikai fogalmakat
• evolúcióelmélet
• stb
• 20. sz. kvantumfizika ? a világ eleve nem
  determinisztikus

22
Az ember mérése

• Szemben a szimmetriaviszonyok, stb. mérésével
  (ld. Dürer) a tizenkilencedik század az emberi
  teljesítményt (is)kezdte kvantifikálni
• gyárak (munkaido, teljesítmény, táplálék)
• megfigyelések pontossága (obszervatóriumok, stb.)

23
Reakcióido-mérés

• 1796 Newill Maskellyne királyi csillagász kirúgja
  segédét, mert 800 msec-es késéssel jelezte a
  csillagok áthaladását a greenwichi obszervatórium
  felett
• az áthaladás megítélésén múlt a greenwichi óra
  muködése, az óra muködésétol függött a hosszúsági
  fokok beállítása, s a hosszúsági fokoktól függött
  a Brit birodalom

24
Bessel, 1820

• Csillagászok leolvasási idejeinek szisztematikus
  összevetése szisztematikus eltérések
• személyi egyenlet A-S0,202
• (Algerander átlagosan 0,202 mp-vel késobb látta
  az áthaladást, mint Strube)
• De mi volt a valódi áthaladás? Nincs biztos pont

25
A kronoszkóp / kronográf

• Mesterséges idogenerálás
• csillagáthaladások mesterséges modellhelyzetei
• de ki kell zárni az egyéb hatásokat (ezek növelik
  a reakcióidot és a készülék maga is hangot ad)
• személy-egyenlet, hangszigetelo fülke a
  kísérleti pszichofizika megszületik

26
Irodalom

• Ian Hacking The Emergence of Probability.
• Ian Hacking The Taming of Chance.
• Loveland, J. Buffon, the Certainty of Sunrise,
  and the Probabilistic Reductio ad Absurdum. Arch.
  Hist. Exact Sci. 2001 (55) 465-477
• Pléh Csaba. A lélektan története. 2000. Osiris