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PRACTICAS SOBRE LA MODELIZACIÓN DE SERIES
TEMPORALES CON LA METODOLOGÍA DE
BOX-JENKINGS FICO. GR 21
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Ministerio de Economía obtención de series
temporales de variables económicas largas
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Producto Interior Bruto Portugal
Serie Producto Interior Bruto de
Portugal Fuente Ministerio de Economía y
Hacienda Periodicidad Anual
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Metodología Box-Jenkins
La construcción de modelos consta de tres
pasos 1.- Identificación inicial 2.-
Estimación 3.- Validación
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Identificación

• La clase general de modelos de la metodología
  Box-Jenkings es la familia de modelos ARIMA con
  elementos determinísticos (constante, tendencia
  determinística, estacionalidad determinística,
  efecto semana santa, efecto días laborables,
  atípicos, etc)
• En la especificación de estos modelos entran
  distintos tipos de parámetros que capturan
  distintos rasgos de los datos
• El primer paso es determinar si el modelo se debe
  formular con los datos originales o con series
  transformadas. En todo caso, deben recoger
• Evolutividad en varianza
• Evolutividad de la tendencia
• Evolutividad estacional
• El modelo incorporará
• Diferencias regulares
• Diferencia estacional
• Constante
• Factores determinísticos

COMO LA SERIE ES ANUAL NO TIENE ESTACIONALIDAD,
POR TANTO SE PRESCINDE DE LA EVOLUTIVIDAD
ESTACIONAL
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Identificación (gráficos)

• En general, se trabaja con la transformación
  logarítmica de la serie original
• Homogeneización de la varianza. Estacionariedad
  en varianza.
• Relación con las tasas de crecimiento
• Por tanto, procederemos a trabajar con las
  series en logaritmos
• La serie de logaritmos presenta una evolución
  alcista, con crecimiento sistemático, a lo largo
  de la muestra, por tanto, no tiene media
  constante y la serie no presenta un
  comportamiento estacionario. Para obtener
  estacionariedad y eliminar la tendencia, habrá
  que proceder a tomar diferencias.
• La primera diferencia de la serie de logaritmos
  presenta un comportamiento estacionario en torno
  a un valor medio, ligeramente superior a 0.02 (no
  tiene porque ser cero).
• Parece, por tanto, que con una primera diferencia
  ya se ha conseguido la estacionariedad y no
  habría que seguir diferenciando. Veremos también
  si el correlograma y el test de Dickey-Fuller son
  indicativos de que esta transformación es ya
  estacionaria.
• Se observan tres valores atípicos 1982,1991 y
  2009
• En la serie original se reflejan como saltos en
  el nivel de la tendencia
• En la serie diferenciada se muestran como un
  valor atípico puntual, lo que es consecuencia del
  proceso de diferenciación

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Identificación (gráficos)
Producto Interior Bruto Portugal
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Identificación (correlogramas)

• El correlograma de la serie original (en log)
  presenta un perfil en el que las correlaciones
  muestrales disminuyen muy ligeramente a medida
  que aumenta la distancia temporal entre las
  variables, no existe punto de corte. Es por
  tanto, un correlograma característico de series
  no estacionarias.
• Véase la diferencia con la FAC de un proceso no
  estacionario, que por definición no está
  definida, al no existir una media constante y,
  por tanto, la varianza, las covarianzas y las
  correlaciones no están definidas.
• El correlograma de la primera diferencia presenta
  un punto de corte para el primer retardo. El
  resto de correlaciones muestrales no son
  significativamente distintas de cero. Por tanto,
  presenta un perfil coherente con una serie
  estacionaria.

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Identificación (correlogramas)
LGDP
(1-L) LGDP
(1-L)2 LGDP
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Identificación (test de Dickey-Fuller)

• Serie original El valor del estadístico t es
  mayor que los valores críticos en tablas para los
  distintos niveles de error. En concreto, toma el
  valor -1.56.
• Por tanto, se acepta la hipótesis de que existe
  una raíz unitaria y es necesario diferenciar la
  serie para obtener la transformación estacionaria
  que elimine dicha raíz unitaria.
• Primera diferencia En este caso el valor del
  estadístico t es menor que los correspondientes
  valores críticos.
• Por tanto, se rechaza la hipótesis de que existe
  una raíz unitaria. Lo cual es indicativo de que
  la correspondiente serie es estacionaria.

• En definitiva, tanto gráficamente, como a partir
  del análisis del correlograma y del test de
  Dickey-Fuller, se concluye que la primera
  diferencia de la serie en logaritmos es
  estacionaria en media.
• Esta será la serie a partir de la cual se
  estimará el modelo
• Se van a estimar AR de orden 1,2,3,4 y será a
  partir de los criterios de información que se
  decidirá que modelo se elige
• Se concluirá con el análisis de los residuos para
  validar el modelo

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Identificación (test de Dickey y Fuller)
LGDP
(1-L) LGDP
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Estimación

• Las siguientes transparencias recogen los
  resultados de estimar sucesivamente modelos
  autorregresivos de distinto orden.
• Se ha incluido una constante en el modelo, porque
  en la etapa de identificación se observó que la
  serie estacionaria oscilaba alrededor de un valor
  medio distinto de cero.
• Si al estimar no fuera significativa se
  eliminaría del modelo (el contraste se realiza
  mediante el estadístico t)
• Con los resultados obtenidos, se presenta un
  cuadro comparativo con los criterios de
  información de Akaike y Schwarz. Se incluye
  además el valor que toma la función de máxima
  verosimilitud a modo de información
  complementaria.

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Estimación del modelo
Modelo AR(4)
Modelo AR(3)
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Estimación del modelo
Modelo AR(2)
Modelo AR(1)
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Validación
En el cuadro adjunto se presentan los valores de
los criterios de información y el valor de la
función de máxima verosimilitud en el máximo. Se
observa que a medida que se ha ido reduciendo el
número de retardos del modelo autorregresivo, han
ido disminuyendo los valores de los criterios de
información y aumentando el valor de la función
en el máximo. Por tanto, se concluye que el
modelo que mejor se ajusta a la serie
estacionaria será un AR(1) con constante. Cabe
señalar que en el resto de modelos estimados los
coeficientes no eran significativos. En
definitiva el modelo de la serie
es (1-0.34L)(1-L) Log DGPt 0.03
at Obsérvese que el valor del autorregresivo
coindice con la correlación muestral de orden 1.
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Diagnóstico
Modelo Criterio de Akaike Criterio de Schwarz Máximo función versosimilitud
AR(4) -4.79 -4.57 91.23
AR(3) -4.88 -4.71 94.27
AR(2) -4.88 -4.75 95.76
AR(1) -4.91 -4.88 97.70
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Validación
El gráfico adjunto recoge los valores que
proporciona el modelo comparado con los datos
reales. También se incluye la serie de
residuos. La serie de residuos presenta un
comportamiento estacionario y aleatorio. Cabe
destacar la presencia de determinados valores
atípicos que se producen en los años 1982, 1991 y
2009, coincidiendo con etapas de crisis económica
en el entorno europeo. Una vez llegados a este
punto, habría que incluir variables dummy para
recoger el impacto de dichos valores atípicos.
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Diagnóstico
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Validación
El gráfico adjunto el correlograma de los
residuos del modelo AR(1) Como se puede observar
las correlaciones para los distintos retardos no
son significativamente distintas de cero. Además
el valor del estadístico Q para los distintos
retardos es menor que el valor en tablas. Por
ejemplo, para el retardo 10, el valor del
estadístico Q es 3.7, mientras que el valor en
tablas (chi-cuadrado con 10 grados de libertad,
al 95 de confianza) es igual a 18.3 Por tanto,
se concluye que los residuos del modelo presentan
estructura de ruido blanco, lo que nos permite
validar el modelo.
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Diagnóstico
Correlograma de los residuos