Equil

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Equilíbrio, Arbitragem e Mercados Completos

• Caio Almeida
• calmeida_at_fgv.br

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Conteúdo da Aula

• Equilíbrio.
• Estrutura dos mercados - Mercados completos.
• Arbitragem.
• Probabilidades neutras ao risco.
• Teorema fundamental de finanças.

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Equilíbrio

• Considere uma economia de dois períodos. Suponha
  que existam N ativos negociados hoje e que
  vencem amanhã. Seja X (X1, ..., XN) o vetor
  aleatório que representa o payoff desses N
  ativos. Cada componente de X é uma v.a. cujo
  valor depende de que estado da natureza ocorrerá
  amanhã. Seja q o vetor preço desses ativos.
• Um agente da economia possui renda inicial W0 e
  uma renda contingente amanhã W (que também é
  uma v.a.).
• Seja z (z1, ..., zN) o portfolio de ativos
  desse agente, onde zn representa o número de
  unidades do ativo n negociadas por esse agente.

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Equilíbrio

• Suponha que a renda inicial W0 de um investidor i
  é oriunda de uma dotação inicial de ativos z0??N.
  Isto é, W0 q z0.
• Considere que na nossa economia existem I
  agentes. Logo o problema do investidor i pode ser
  escrito como
• Até agora estávamos supondo que o vetor de preços
  de ativos era dado e igual a q. Na realidade, os
  preços são determinados pelas forças de mercado.
  Isso nos leva ao conceito de equilíbrio

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Equilíbrio

• Um equilíbrio é um vetor de preços dos ativos q e
  um conjunto de portfolios z1, ..., zI tais que
• zi é solução do problema do investidor i 1,
  ..., I.
• (market clearing).
• A definição acima captura a essência das forças
  de mercado (oferta e demanda) na formação dos
  preços dos ativos.
• Um campo muito vasto da teoria econômica consiste
  em determinar quais são as condições que garantem
  a existência de equilíbrio em um certo modelo.

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Equilíbrio

• Se um modelo não pode garantir a existência de
  equilíbrio então ele é inconsistente em certo
  sentido.
• No nosso caso, se as funções de utilidades de
  todos os agentes forem côncavas e crescentes
  então existe equilíbrio (Não vamos demonstrar
  isso! Requer o uso do Teorema de Ponto Fixo de
  Kakutani!). Daqui em diante vamos supor que o
  equilíbrio exista.
• Observe que achar os preços de equilíbrio e os
  portfolios dos agentes consiste em resolver um
  sistema. Como sabemos, um sistema pode ter
  solução única, não ter solução, ou ter infinitas
  soluções.

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Equilíbrio

• Exemplo Considere uma economia de dois períodos
  e com dois estados igualmente prováveis em t 1.
  Existem dois agentes (A e B) ambos com utilidades
  u(x) ln(x). O agente A tem fator de desconto ß
  1/2 e o agente B tem ß 1/3. As dotações de
  renda desses agentes são Para A (19/8, 1, 3) e
  para B (21/8, 5, 3). Existem dois ativos
  negociados em t 0. O ativo 1 é um ativo sem
  risco (payoff unitário em qualquer estado da
  natureza). O ativo 2 paga uma unidade no estado 1
  e nada no estado 2. Ache os preços de equilíbrio.

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Equilíbrio

• Embora as condições de equilíbrio representem a
  solução teórica mais completa para apreçar
  ativos, na forma apresentada elas podem ser pouco
  útil.
• Como visto no exemplo anterior, o cálculo dos
  preços de equilíbrio é muito laborioso mesmo em
  uma economia bem simples.
• O nosso objetivo, a partir de agora, é estudar
  modos alternativos de se obter os preços dos
  ativos.
• Para isso é necessário estudar a estrutura dos
  mercados em mais detalhes.

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Estrutura dos Mercados

• Vamos supor que a incerteza na economia é
  descrita por S estados da natureza em t 1.
  Portanto o payoff do ativo n caso ocorra o estado
  s é Xn(s).
• Logo o payoff de todos os ativos pode ser
  representado por uma matriz V de dimensão S ? N.
• A linha s dessa matriz representa o payoff de
  todos os ativos caso ocorra o estado s da
  natureza, já a coluna n representa o payoff do
  ativo n em todos os estados da natureza.
• Exemplo Ativo livre de risco. Nesse caso, a
  coluna correspondente a esse ativo é toda formada
  por 1s.

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Estrutura dos Mercados

• O retorno do ativo n é uma variável aleatória
  definida pelo quociente entre a coluna n de V e o
  preço desse ativo.
• Exemplo Considere 3 estados da natureza e 2
  ativos. O ativo 1 é livre de risco e o ativo 2
  tem payoff (1, 2, 2). Quem é V? Se q1 0,8 e q2
  1,25, qual é o retorno dos ativos?
• Se z é um portfolio então o custo de z é qz e o
  seu payoff é Vz.
• Exemplo Seja V uma matriz 2 ? 2 formada por
  ativos de Arrow-Debreu. Considere o portfolio z
  (2, 3). Qual seu custo e seu payoff? Suponha q1
  0,8 e q2 0,6.
• Função básica do mercado financeiro transferir
  renda entre os estados da natureza. Os
  instrumentos para isso são os ativos.

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Estrutura dos Mercados

• Suponha que um investidor queira obter 4 unidades
  em t 1 se ocorrer o estado 1 e uma se ocorrer o
  estado 2. Qual portfolio ele deve comprar em t
  0?
• Exemplo V 1 01 11 1. Determine z para que o
  payoff seja (1, 2, 3).
• Se Y y1, ..., yk é um conjunto de vetores do
  ?M então o span de Y é o conjunto de todas as
  combinações lineares dos vetores de Y, isto é,

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Mercados Completos

• Exemplo Sejam (1, 1, 0) e (0, 1, 0) dois vetores
  do ?3. Determine o span desses vetores. Pergunta
  (0, 0, 1) pertence a esse span? Qual a dimensão
  desse conjunto?
• O espaço coluna de uma matriz é o espaço gerado
  pelas colunas dessa matriz, ou seja, é o conjunto
  de todas as combinações lineares das suas
  colunas, ou ainda o span das colunas da matriz.
• Para a matriz V, o espaço coluna é o conjunto de
  todos os vetores de ?S que podem ser escritos
  como Vz, para algum z de ?N.

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Mercados Completos

• Exemplo Determine o espaço coluna das matrizes V
  dos exemplos anteriores.
• Repare que se a matriz V tem S linhas a dimensão
  de seu espaço coluna será no máximo S.
• Um mercado é dito completo se span (colunas de V)
  ?S. Ou seja, existe sempre um portfolio que
  permite aos agentes fazer qualquer transferência
  de renda entre os estados da natureza. Você pode
  fazer o hedge que você quiser!

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Mercados Completos

• Observe que se o mercado é completo então N ? S.
• Exemplo Suponha uma economia constituída por 3
  ativos de Arrow-Debreu. Considere um agente com a
  seguinte renda no segundo período (3, 3, 0).
  Determine que portfolio ele deve comprar para
  homogeneizar perfeitamente a renda em t 1.
• Um ativo é dito redundante se seu payoff pode ser
  obtido como combinação linear dos payoffs de
  outros ativos.
• Exemplo Suponha V -1 1 12 1 0. O ativo 3 é
  redundante?
• Se existem mais ativos do que estados da natureza
  (N gt S) então certamente existem ativos
  redundantes.

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Mercados Completos

• Portanto se não existem ativos redundantes e o
  mercado é completo então a matriz de payoff V é
  quadrada, isto é, N S.
• Exemplo Verifique, para as matrizes V dos
  exemplos anteriores, se existem ativos
  redundantes.

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Arbitragem

• Máquina de fazer dinheiro.
• Definição Uma oportunidade de arbitragem é um
  portfolio z tal que pelo menos uma das condições
  seguintes é satisfeita
• qz ? 0 e Vz gt 0 (todas as componentes 0 pelo
  menos uma estritamente positiva)
• qz lt 0 e Vz ? 0 (todas as componentes 0)
• Um par (q, V) é livre de arbitragem se não existe
  oportunidade de arbitragem. Nesse caso o preço q
  é dito livre de arbitragem.
• Exemplo V 2 10 1 e q 1 1. Existe
  oportunidade arbitragem? Se sim, monte uma.
• Exemplo Faça o mesmo para V 1 00 1 e q
  0,8 0,7.

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Arbitragem

• E se q 0,5 0,6 com V 1 00 1 ?
• Observe que os preços de equilíbrio são
  necessariamente preços de não arbitragem. Isto é,
  se q é um preço de equilíbrio então q é preço de
  não arbitragem. Mas não vale a volta!
• Teorema Suponha que exista equilíbrio. Se dois
  ativos possuem o mesmo payoff em qualquer estado
  da natureza em t 1, então eles devem possuir o
  mesmo custo em t 0.
• Exemplo (Apreçando uma call modelo binomial).
  Economia com dois ativos e dois estados da
  natureza. V 1 31 1 e q 0,5 1. Qual o
  preço de uma call sobre o ativo 2 com strike
  igual a 2?

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Arbitragem

• Exemplo No exemplo anterior o mercado é
  completo, logo qualquer novo ativo pode ser
  replicado. Usando esse fato, calcule o preço de
  um ativo cujo payoff é c1 no estado 1 e c2 no
  estado 2.

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Neutralidade ao risco

• Definição Um vetor preços de estado para
  estrutura de mercado (q, V) é um vetor ? ? ?S com
  todas as componentes estritamente positivas tal
  que q V?.
• Exemplo Considere os dados do exemplo da call.
  Existe vetor preço de estados? Se sim, qual?
• Exemplo Suponha V 4,5 60 1 e q 3 2.
  Existe vetor preços de estado?
• Portanto, não podemos sempre garantir a
  existência de um vetor preços de estado. Observe,
  no entanto, que existe algo de estranho com o
  mercado do exemplo anterior...
• O ativo 2 domina o ativo 1, mas tem preço menor!
  Temos arbitragem nesse caso!

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Neutralidade ao risco

• Já já vamos provar que a condição necessária e
  suficiente para que exista um vetor preços de
  estado é que não exista arbitragem.
• Antes disso, vamos supor que para o par (q, V)
  exista um vetor preço de estado ? (?1 , ..., ?S
  ). Seja D ?1 ... ?S logo o vetor ? ? /D é
  um vetor de probabilidades. Para qualquer ativo
  temos
• Para o ativo livre de risco Xrf (1, ... , 1).
  Logo, D qrf.

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Neutralidade ao risco

• Logo D é o fator de desconto pela taxa de juros
  livre de risco.
• Isso mostra que, caso exista um vetor de preços
  de estado, o preço de qualquer ativo é o valor
  esperado descontado, como relação as
  probabilidades artificialmente construídas (?1 ,
  ..., ?S), de seu payoff.
• As probabilidades (?1 , ..., ?S) são chamadas de
  probabilidades neutras ao risco. A existência
  dessas probabilidades facilita bastante o
  problema de apreçamento.
• Porém, sob que condições elas existem?

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Neutralidade ao risco

• Como visto anteriormente, probabilidades neutras
  ao risco estão intimamente relacionadas com vetor
  preços de estado que por sua vez dependem da não
  existência de arbitragem. Antes de formalizarmos
  esse ponto, vejamos um exemplo.
• Resolva o problema de apreçamento da call usando
  neutralidade ao risco.

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Teorema Fundamental de Finanças

• Não existe arbitragem se, e somente se, existe
  um vetor preço de estados (isto é, se existem
  probabilidades neutras ao risco).
• A demonstração da volta é trivial (existência
  do vetor preços de estado implica não
  arbitragem), mas a ida requer o uso do Teorema do
  Hiperplano Separador!
• Vejamos uma demonstração analítica em um caso
  mais simples. Considere dois ativos e dois
  estados da natureza. Um dos ativos é arriscado
  com retorno (u, d) onde u gt d. O segundo é um
  ativo sem risco com retorno (r, r), onde r gt 0.
• Não existe arbitragem se u gt r gt d.

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Teorema Fundamental de Finanças

• Usando q V?. Temos
• Que são estritamente positivos se, e somente se,
  u gt r gt d.
• As probabilidades neutras ao risco são

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Teorema Fundamental de Finanças

• Vejamos uma demonstração geométrica do TFF.
• Seja z um portfolio. Considere o vetor do ?S1
  cuja primeira componente é o negativo do custo de
  z em t 0, isto é, -qz e as seguintes são os
  payoff de z em cada um dos estados da natureza em
  t 1. Isto é,
• (-custo de z, payoff de z em s 1, ..., payoff
  de z em s S).
• Exemplo se V 1 00 1, q 1 1 e z 0 1
  então o vetor acima é (-1, 0, 1).
• Seja M o conjunto de todos os vetores acima (faça
  z percorrer todos os portfolios). Esse conjunto é
  chamado de espaço de transferência de renda.

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Teorema Fundamental de Finanças

• Observe que não existe arbitragem se, e somente,
  o único elemento de M com todas as componentes
  não negativas é o vetor nulo.
• Por outro lado, da álgebra linear, sabemos que
  dois vetores são ortogonais quando a soma dos
  produtos de suas coordenadas é igual a zero. Isto
  é, (x1, ..., xn) e (y1, ..., yn) são ortogonais
  se x1y1 ... xnyn 0.
• Exemplo (1,1) e (1,-1) são ortogonais. Também o
  são (1,0) e (0,1).
• Da álgebra linear também sabemos que no ?2 uma
  reta passando pela origem é o conjunto de vetores
  múltiplos de um certo vetor fixo.

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Teorema Fundamental de Finanças

• Já no ?3, um plano passando pela origem, é o
  conjunto de vetores formado pela combinação
  linear de dois vetores não colineares.
• Considere, primeiramente, uma economia sem
  incerteza (isto é, S 1) com apenas um ativo
  (ativo sem risco) cujo preço é q. Logo M z(-
  q, 1). Isto é, M é uma reta passando pela
  origem.
• Para que não exista arbitragem devemos ter q gt 0.
  Portanto, existe uma semi-reta perpendicular a M
  passando pela origem situada no primeiro
  quadrante. Tomando o vetor dessa semi-reta com a
  primeira componente igual 1, (1, q), temos o
  vetor preço de estado, que no caso é q.

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Teorema Fundamental de Finanças
M
1
q
(1, Vetor preço de estados)
1
-q
29
Teorema Fundamental de Finanças

• Considere agora o caso de dois ativos e dois
  estados da natureza em t 1. Suponha também que
  os ativos não são redundantes. Nesse caso, o
  espaço de transferência de renda M é
• (-q1z1 q2z2 , X1(1)z1 X2(1)z2, X1(2)z1
  X2(2)z2)
• z1(-q1, X1(1) , X1(2)) z2(-q2, X2(1) ,
  X2(2)) plano formado pelos vetores (-q1, X1(1)
  , X1(2)) e (-q2, X2(1) , X2(2)) .
• Para que não haja arbitragem, esse plano não deve
  interceptar o primeiro octante. Portanto, existe
  um vetor (1, ?1, ?2) com as duas últimas
  componentes estritamente positivas perpendicular
  a esse plano. Logo (?1, ?2) é vetor preço de
  estados.
• Vejamos uma ilustração geométrica.

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Teorema Fundamental de Finanças
(-q1, X1(1) , X1(2))
(1,Vetor preço de estados)
(-q2, X2(1) , X2(2))
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Mercados completos e vetor preços de estado

• Observando a figura anterior, notamos que se os
  vetores (-q1, X1(1) , X1(2)) e (-q2, X2(1) ,
  X2(2)) forem paralelos então eles não determinam
  um plano e sim uma reta. Logo existirá mais de um
  vetor perpendicular ao espaço de transferência de
  renda com todas as componentes positivas. Ou
  seja, as probabilidades neutras ao risco podem
  não ser únicas.
• O problema surge pelo fato de que existem ativos
  redundantes, implicando que os mercados não são
  completos.
• Exemplo Suponha V 1 2 1 0 1 1 e q 0,8
  0,5. Logo qualquer vetor da forma (x, 0,3 x,
  0,5 2x) com 0 lt x lt 0,25 é vetor preço de
  estado.

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Mercados completos e vetor preços de estado

• Claramente, a não unicidade do vetor preços de
  estado no exemplo anterior está relacionada a
  incompletude do mercado.
• Por outro lado, se os mercados são completos e
  desprezando ativos redundantes temos que, se
  existe vetor preços, então esse vetor é único,
  uma vez que o sistema q V? tem uma só solução
  dada por ? V-1q.
• Podemos então enunciar o seguinte resultado
• Suponha que não existe arbitragem e os mercados
  são completos. Logo existe um único vetor preços
  de estado (e portanto, as probabilidades neutras
  ao risco são únicas).

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Mercados completos e Pareto eficiência

• Uma alocação de portfolios entre os agentes da
  economia é dita factível se a soma das dotações
  de todos os agentes ativo a ativo é igual a
  dotação inicial desses ativos na economia.
• Uma alocação factível é dita Pareto eficiente se
  não existe outra alocação factível que melhore ao
  menos um agente sem prejudicar em nada os outros.
  Em outras palavras, a alocação é Pareto eficiente
  quando, para melhorar alguém temos que
  necessariamente que piorar outrem.
• Teorema Se os mercados são completos então a
  alocação de equilíbrio é Pareto eficiente.
• Ou seja, os mercados funcionam!

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Importância de mercados completos

• Em finanças
• Permite transferência de rendas entre quaisquer
  estados da natureza.
• A probabilidade neutra ao risco, quando existe, é
  única.
• Em economia
• A alocação de equilíbrio é Pareto eficiente.

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Um pequeno resumo
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O que acontece em economias mais gerais?

• Em economias mais gerais tais como modelos
  multiperíodos e de tempo contínuo, os resultados
  anteriores, sob certas condições técnicas,
  permanecem verdadeiros.
• Por exemplo, para que não arbitragem seja
  equivalente a neutralidade ao risco em modelos de
  tempo contínuo, temos que fazer algumas
  hipóteses.
• Para esse curso, e também na maioria dos
  trabalhos de finanças empíricas, é admitido que
  essas hipóteses técnicas são verdadeiras.
• Vamos ver exemplos de apreçamento em situações
  multiperíodos e de tempo contínuo.

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Modelo multiperíodo

• Nesse caso existem T 1 datas t 0, 1, ..., T.
  Negociações ocorrem em cada t.
• Definir equilíbrio nesse caso é um pouco mais
  complicado. Porém a intuição é a mesma do caso
  mais simples de dois períodos Dados os preços os
  agentes escolhem suas carteiras de modo a
  maximizar suas utilidades. As forças de mercado
  atuam sobre os preços de modo a garantir que a
  oferta de ativos seja igual a demanda.
• Mais complicado do que definir equilíbrio é
  calcular os preços de equilíbrio. No entanto,
  muitas vezes podemos fazer uso das técnicas de
  não arbitragem e neutralidade ao risco.

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Modelo multiperíodo

• Um modelo multiperíodo muito interessante em
  termos práticos é a árvore binomial. Nesse caso,
  a evolução da economia é tal que, em cada t dado,
  só podem ocorrer dois estados da natureza em t
  1. Ou seja, a árvore binomial é um seqüenciamento
  de economias de dois períodos.
• Exemplo Considere uma ação que não paga
  dividendos com preço corrente igual a R 40,00.
  Ao final de cada mês o seu retorno (preço
  futuro/preço a vista) será de 1,25 ou 0,80 (preço
  segue um movimento binomial geométrico). A taxa
  de juros é de 6 a.a. Determine o preço de uma
  opção de compra européia sobre essa ação com
  strike igual a R 40,00 e prazo 3 meses.

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Modelo multiperíodo
Árvore da ação
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Modelo multiperíodo
Árvore da opção
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Modelo de tempo contínuo

• Neste caso podemos imaginar que o intervalo de
  tempo para o qual ocorrem mudanças no preços dos
  ativos tende a zero. Isto é, as negociações são
  realizadas continuamente.
• Mais uma vez a definição de equilíbrio e a
  matemática tornam-se imensamente complicadas. No
  entanto, podemos ainda, sob certas condições,
  fazer uso da teoria anterior.
• Um caso famoso de apreçamento em tempo contínuo é
  o modelo de Black Scholes (BS). Esse modelo
  serve para apreçamento de opções de compra
  européia.
• BS supõem que o preço do ativo objeto segue um
  movimento browniano geométrico.

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Modelo de tempo contínuo

• Isso significa que o retorno do ativo obedece a
  seguinte equação
• Esta indica como o preço da ação evolui ao longo
  do tempo ele depende de uma componente
  determinística que gera um rendimento contínuo à
  taxa ?, e mais um termo estocástico que depende
  do movimento browniano (W), que devido à
  volatilidade constante, apresenta distribuição
  normal.
• Usando estratégia de não arbitragem entre o ativo
  sem risco (taxa de juros igual a r) e a ação, é
  possível replicar o payoff da opção. O que
  implica no seguinte preço para a opção

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Modelo de tempo contínuo

• Onde K é o strike da opção, ct é seu preço, T é
  a data de vencimento e N representa a
  distribuição normal padrão acumulada.

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Modelo de tempo contínuo

• Esse mesmo resultado pode ser obtido usando
  probabilidades neutras ao risco. No mundo neutro
  ao risco, o preço do ativo obedece a seguinte
  equação
• Portanto o preço da opção é
• Calculando esse valor esperado chegaremos na
  fórmula de BS.

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Referências e leituras adicionais

• Leroy, S. e J. Werner, 2000, Principles of
  Financial Economics, Caps. 1, 3 e 5.
• Duffie, D., 2001, Dynamic Asset Pricing Theory,
  3rd edition. Princeton University Press, Cap. 1,
  2 e 5.