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Tema 7 Uso de la probabilidad en la
investigación psicológica 1. Introducción. 2.
Variables aleatorias. 3. Funciones de
probabilidad y de distribución..
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1. Introducción Principales conceptos
preliminares Experimento aleatorio Es cualquier
operación cuyo resultado no puede ser predicho
con certeza Por ejemplo, tirar un dado, efectuar
una tarea de TR, o un test de rendimiento, el
número de accidentes un fin de semana. Espacio
muestral (E) Es el conjunto de todos los
posibles resultados de un experimento
aleatorio. Por ejemplo, si lanzamos un dado
tenemos 6 posibles resultados.
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• Dependiendo del número de elementos del espacio
  muestral distinguiremos 3 tipos de espacios
  muestrales
• Espacio muestral discreto finito. Consta de un
  número finito de elementos. (v.g., el ejemplo del
  dado).
• Espacio muestral discreto infinito. Consta de un
  número infinito numerable de elementos. (v.g.,
  lanzar un dado hasta que salga un 6)
• Espacio muestral continuo. Consta de un número
  infinito no numerable de elementos. (v.g., número
  posible de puntos alcanzables en un experimento
  de lanzar flecha a diana)

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• Suceso. Es cualquier subconjunto de un espacio
  muestral
• Tipos de sucesos (de acuerdo con el número de
  elementos del espacio muestral)
• Suceso simple (o elemental), que es el que consta
  de un único elemento
• Suceso compuesto, que consta de dos o más
  elementos
• Suceso seguro (o cierto), que consta de todos los
  elementos del espacio muestral
• Suceso imposible, que es el que no consta de
  ningún elemento del espacio muestral

Representación de los sucesos---Diagramas de Venn
son útiles
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Probabilidad ENFOQUE FORMAL Axioma 1. La
probabilidad del suceso seguro es 1 Axioma 2.
La probabilidad de cualquier suceso S es no
negativa Axioma 3. La probabilidad de la unión
de dos sucesos (S1 y S2), mutuamente excluyentes,
es la suma de sus probabilidades
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Teorema. La probabilidad de la unión de un
conjunto infinito numerable de sucesos mutuamente
excluyentes es igual a la suma de sus
probabilidades Probabilidad condicional Llamamos
probabilidad condicional de A dado/supuesto B a
la expresión Teorema del producto
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Sucesos independientes. Dos sucesos A y B son
estadísticamente independientes si y sólo si se
verifica
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2. Variables aleatorias Una variable aleatoria
es toda función que atribuye un número real, y
solo uno, a cada suceso elemental de E es decir,
toda función real definida sobre E. Notación
las vv.aa. se designan con letras mayúsculas
latinas, mientras que los valores atribuidos a
los sucesos estarán con letras minúsculas
latinas. Variable aleatoria discreta Aquella que
sólo puede tomar un número finito o infinito
numerable de valores Variable aleatoria
continua Aquella que puede tomar un número
infinito no numerable de valores
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3. Funciones de probabilidad y de distribución
Función de probabilidad de X (v.a. discreta) Es
aquella función que asigna a todo número real,
xi, la probabilidad de que la variable aleatoria
X asuma ese valor, salga xi Propiedades
son los valores asumibles por la v.a. X
1.
2.
3. Siendo altbltc, el suceso AaXb y el suceso
BbltXc son mutuamente excluyentes. Se cumple
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Función de distribución de X (v.a. discreta) Es
aquella función que asigna a todo número real,
xi, la probabilidad de que la v.a. X sea igual o
menor que xi
Propiedades
1.
4.
2.
5.
3.
es una función no decreciente
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Función de densidad de probabilidad (v.a.
Continua) Es aquella función, f(x), que verifica
las siguientes dos condiciones
La curva, que es la representación de f(x), no
tiene puntos por debajo del eje de abscisas
1.
2.
El área TOTAL bajo la curva vale 1
Observad que con vv.aa. continuas f(x) no es una
probabilidad, es una DENSIDAD de probabilidad.
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Función de densidad de probabilidad (v.a.
Continua). Ejemplo Examinar si f(x) es una
verdadera función de densidad de probabilidad
0 en otro caso
Es claro que f(x) será siempre mayor o igual que 0
Observad que f(x) puede ser mayor que 1 f(1)325
Luego sí lo es.
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Función de distribución de X (v.a. Continua) Es
aquella función que asigna a todo número real, x,
la probabilidad de que la v.a. X sea igual o
menor que x
Propiedades
1.
4.
2.
5.
3.
es una función no decreciente
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VV.AA. discretas vs. VV.AA. continuas.
COMPARACIÓN 1. En una v.a. discreta, P(Xx)0
para todo x. En una v.a. continua, P(Xx)0 para
todo x. 2. En una v.a. discreta, f(x) representa
una probabilidad, en concreto, P(Xx) y, nunca
puede valer más de 1. En una v.a. continua, f(x)
no representa la probabilidad, sino la densidad
de probabilidad (esto es, puede valor más que
1). 3. En una v.a. discreta, empleamos puntos
para introducir la probabilidad. En una v.a.
continua empleamos intervalos (recordad que la
probabilidad de cada punto es 0). 4. En una v.a.
discreta, cualquier probabilidad es la suma de
probabilidades asociadas a puntos. En una v.a.
continua, cualquier probabilidad es una integral
definida, asociada a un intervalo.