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Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht
Kryptologie und Matrizenrechnung
IFB Speyer
1. Februar 2005
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Kryptologie und Matrizenrechnung (I)
Alice (Sender)
Alice (Sender)
Bob (Empfänger)
Bob (Empfänger)
Klartext Lieber Herr ...
Klartext Lieber Herr ...
Geheimtext XYRTRE WREE...
Klartext Lieber Herr ...
Klartext Lieber Herr ...
Geheimtext XYRTRE WREE...
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Kryptologie und Matrizenrechnung (II)
Internet
Unterricht
Public-Key-Kryptographie
Polyalphabetische Verschlüsselung

• öffentlicher Schlüsselaustausch
• - Einwegfunktionen
• Zahlentheorie
• - Rechnen mit großen Primzahlen
• (RSA 124-Bit Zahlen)
• Langzahlarithmetik
• - Faktorisieren großer Zahlen
• - Modulo-Rechnung

• geheimer Schlüsselaustausch
• Grundlagen der Matrizenmuliplikation

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Kryptologie und Matrizenrechnung (III)
Introduction Since this algorithm uses 2 x 2
matrices and ideas due to Purser it is called the
Cayley-Purser Algorithm. The matrices used are
chosen from the multiplicative group G GL(2,
Zn). The modulus n pq, where p and q are both
primes of 100 digits or more, is made public
along with certain other parameters which will be
described presently.
Cayley-Purser-Algorithmus (1999) Der
Cayley-Purser-Algorithmus soll 22 mal schneller
sein als das RSA Verfahren, da er einfachere
mathematische Funktionen verwendet. Flannery hat
mit dem neuen Algorithmus den ersten Preis in
einem Wettbewerb für irische Jungwissenschaftler
gewonnen obwohl (oder weil) sie einen
Schwachpunkt in ihrem Verfahren entdeckte und die
Analyse dazu ebenfalls veröffentlichte.
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Kryptologie und Matrizenrechnung (IV)
2x2 Matrix
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Kryptologie und Matrizenrechnung (V)

A B C D E
1 2 3 4 5
F G H I J
6 7 8 9 10
K L M N O
11 12 13 14 15
P Q R S T
16 17 18 19 20
U V W X Y
21 22 23 24 25
Z   . -
26 27 28 29 30
Buchtipp Marcus du Sautoy - Die Musik
der Primzahlen

• Schritt der
• Verschlüsselung

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Kryptologie und Matrizenrechnung (VI)
Zahlen in 2x2-Matrizen verteilen

2. Schritt der Verschlüsselung
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Kryptologie und Matrizenrechnung (VII)
3. Schritt der Verschlüsselung



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Kryptologie und Matrizenrechnung (VIII)
109153111156085123112160204291031046
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Kryptologie und Matrizenrechnung (IX)
Arbeitsauftrag 1

• Suchen sie sich als

einen
in dieser Gruppe und vereinbaren sie mit ihm
eine geheime ,
diesmal aber von der Dimension 4x4 .

• Überlegen sie sich einen Klartext und wandeln sie
  ihn in mit der
• Tabelle auf dem Arbeitsblatt 1 in einen
  Zahlencode um.
• Verteilen sie den Zahlencode auf entsprechend
  viele 4x4-Matrizen
• und multiplizieren sie jede dieser Matrizen
  mit der geheimen Schlüsselmatrix.
• Schreiben Sie die Zahlen der Multiplikationsmatriz
  en als Geheimtextvektor
• auf den vorgesehenen Abschnitt des
  Arbeitsblattes und geben sie ihn
• unauffällig an weiter.

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Kryptologie und Matrizenrechnung (X)
Entschlüsseln des Geheimtextvektors
Mathematische Überlegungen
Logische Konsequenz algebraisch gut
ausgebildeter Schüler
Division von Matrizen bisher nicht behandelt,
was sagt der TI-Voyage 200 dazu?
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Kryptologie und Matrizenrechnung (XI)
Entschlüsseln des Geheimtextvektors
Weitere mathematische Überlegungen
Die Existenz der Einheitsmatrix als neutrales
Element der Matrizen- multiplikation ist aus dem
vorhergehenden Unterricht bekannt.
Die Frage nach der Existenz eines inversen
Elementes der Matrizen- multiplikation liegt nahe.
?
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Kryptologie und Matrizenrechnung (XII)
Entschlüsseln des Geheimtextvektors
Wenn ja, dann würde nämlich gelten
!
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Kryptologie und Matrizenrechnung (XIII)
Entschlüsseln des Geheimtextvektors
?
Ausgangsgleichung
!
sm-1
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Kryptologie und Matrizenrechnung (XIV)
Arbeitsauftrag 2
Ent-
n sie die Nachricht, die sie von
bekommen haben .
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Kryptologie und Matrizenrechnung (XV)
Weitere Forschungsfragen, die sich aus der
bisherigen Arbeit ergeben
?
Ist jede Matrix als Schlüsselmatrix geeignet ?
Einfache Dimensionsüberlegungen zeigen, dass die
Matrix notwendigerweise quadratisch sein muss.
?
Ist diese Bedingung auch hinreichend ?
Die Matrix muss regulär sein, d.h. die
Determinante der Matrix ist ungleich 0.
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Kryptologie und Matrizenrechnung (XVI)
Weitere Forschungsfragen, die sich aus der
bisherigen Arbeit ergeben
?
Kann man dieses Verfahren knacken ?

• Mit viel Geduld und mit Hilfe des Computers

• Da dieses Verfahren von der Grundidee der
  klassischen
• Verschlüsselung nach Vigenère ähnelt (Matrix
  entspricht dem
• Schlüsselwort), könnte ein Angriff ähnlich dem
  Kasiski-Test
• (Friedrich Wilhelm Kasiski 1805 1881)oder
  dem Friedmann-
• Test (Colonel William Frederik Friedmann 1891
  1969)
• Erfolg versprechend sein.

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Kryptologie und Matrizenrechnung (XVII)
Weitere Forschungsfragen, die sich aus der
bisherigen Arbeit ergeben
?
Kann ich das Knacken erschweren ?

• Vigenère ? Verlängerung des Schlüsselwortes
• Matrizen ? Erhöhung der Dimension

• diese Tabelle nach einem der
  bekannten klassischen
• Verfahren verschlüsseln
  (Cäsar/Polybios )

• Da das Potenzieren von (quadratischen) Matrizen
  möglich ist, nicht
• aber das Radizieren, wäre eine Erschwerung
  durch Quadrieren der
• Klartextmatrizen denkbar, denn umgekehrt ist
  dabei eine zweifache
• Anwendung der inversen Dekodiermatrix
  notwendig.

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Kryptologie und Matrizenrechnung (XVIII)
Literatur und Hinweise links im Internet

• S.Flannery In Code - A Mathematical Journey
• Algonquin
  Books of Capel Hill New York 2002
• ISBN
  1-56512-377-8
• S.Singh Codes Die Kunst der
  Verschlüsselung
• DTV
  (Reihe Hanser) München 2004
• ISBN
  3-423-62167-2
• J.Böhm Matrizenrechnung mit dem TI-92
• Url
  http//www.acdca.ac.at/material/
• Weber/Opitz SELMA (Stationenlernen zur
  Matrizenrechnung)
• Url
  http//www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/

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