Histoire des sciences

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Histoire des sciences 2Les probabilités et
statistiques leur histoire, leurs enjeux.

• Alain Bernard, UPEC/ESPE, Centre A. Koyré.
• alain.bernard_at_u-pec.fr
• M1 MEEF 2nd degré, parcours CAPLP UE5, S2
  20.9.2013

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Plan de la séance

• Introduction la place des statistiques et
  probabilités dans les nouveaux programmes de
  lycée professionnel
• La place des statistiques et probabilités dans
  lhistoire des mathématiques, des sciences et des
  techniques.
• Pourquoi cette histoire est-elle importante pour
  nous ? Les enjeux épistémologiques et
  didactiques.
• Les statistiques et probabilités  un outil
  mathématique pour voir et penser le monde.
• Statistiques ET probabilités  pourquoi les
  associer  ?
• Enseigner les statistiques et probabilités aux
  20ème et 21ème siècles quels enjeux?

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(No Transcript)
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Antiquité et Moyen-Age les prémisses dune
science de lincertain

• Pas de science de lincertain, ni de
  dénombre-ments à grande échelle, mais
• Une science des causalités complexes dans les
  phénomènes humains lastrologie.
• Une approche juridique des situations de choix
  dans lincertain.
• Au Moyen-Age, dans les arithmétiques pour
  commerçants discussion de problèmes de
  répartition de gains en cas dinterruption dun
  contrat. Exemple (t1)

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La Renaissance le temps des réformes et de
linvention en sciences.

• Les réformes religieuses un temps de schisme
  religieux et dincertitude morale.
• Les réformes dans la vision du monde et de
  lhistoire
• Les réformes techniques armes à feu, imprimerie,
  outils de navigation.
• Les réformes dans la conception des sciences
• Rapport nouveau de lhomme au savoir et à la
  politique
• Importance de linvention en sciences et
  techniques.
• Un premier texte théorique sur les jeux de
  hasard le De Ludo Aleae de J. Cardan. Exemple
  (texte 2)

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Le 17ème siècle les premières théorisations
réussies de lincertain.

• G. Galilée (1620) la résolution dun paradoxe
  dit  du duc de Toscane  lié à un jeu de dés
• B. Pascal le problème des partis et la fondation
  dune  géométrie du hasard 
• C. Huygens (1657) De ratiociniis in ludo aleae
  introduction de la notion despérance
• Leibniz (1665) élaboration dune théorie
  générale des inférences juridiques probables

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Le 17ème siècle politique la gouvernance des
Etats modernes

• Nécessité doutils de gouvernances, fondés sur
  une connaissance des Etats (populations,
  richesses..)  arithmétique politique ,
  ancêtre de la statistique.
• Développement du commerce (maritime notamment),
  développement des assurances, des opérations
  financières..

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Le 18ème siècle

• De Moivre (1718) Doctrine of Chances
• Jacques Bernoulli (1713) Ars Conjectandi
  première approche rigoureuse de la  loi faible
  des grands nombres  quest-ce?
• P.S. Laplace 1812 Théorie analytique des
  probabilités, 1814 Essai philosophique sur les
  probabilités.

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Le 18ème siècle politique, industriel,
commercial.

• Développement du commerce, des assurances, de
  lindustrie naissante
• Campagnes dinoculation contre la variole
  problème de gestion du risque
• Développement de  larithmétique politique ,
  devenue fin 18ème statistique science de lEtat
• Premiers outils de visualisation statistique, par
  exemple chez Playfair (1804) Exemple

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Le premier 19ème siècle

• Développement et prestige de la théorie des
  probabilités (Laplace, Legendre, Gauss..)
  développement de la théorie des erreurs de
  mesure.
• Lidée dappliquer le calcul des probabilités à
  des questions sociales ou humaines, est avancée
  (Laplace, Condorcet..) mais nest pas
  généralement acceptée.
• En général statistiques et probabilités restent
  distinctes, on ne cherche pas à les combiner.

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Le second 19ème siècle et la naturalisation de
concepts statistiques

• Développement denquêtes statistiques à grande
  échelle, avec une méthodologie appropriée.
• Le sens donnée aux statistiques à grande échelle
  change avec A. Quételet notion dhomme moyen et
  dune  science de lhomme .
• La démarche influence bientôt la biologie
  (Mendel) ou la physique (Boltzmann).

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Les transformations de lindustrie et de la
politique au 20ème siècle

• Poursuite de lindustrialisation, dans un
  contexte de compétition internationale. gt
  développements doutils de gouvernance à grande
  échelle dont les statistiques.
• Puis basculement vers lindustrie de
  linformation (informatique, traitement mécanisé
  des données..) gt nouveaux développements
  théorie des jeux, contrôle de qualité, théories
  des sondages..

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Les spécificités du 20ème siècle

• Nouveaux champs dapplication des probabilités et
  statistiques
• En sciences humaines psychométrie, sociologie
  quantitative..
• En sciences exactes physique des quanta
• En mathématiques basculement vers une théorie
  axiomatique des probabilités (Kolmogorov)
• Naturalisation générale des outils statistiques
  et probabilistes
• Premier développement de leur enseignement (à
  partir de lentre deux guerres)

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Conclusions de lhistorique

• Une histoire récente (17-21è siècles), et très
  récente pour leur enseignement (20-21è siècle)
• Les statistiques et probabilités, aujourdhui
  associées, ont des origines distinctes.
• Une histoire indissociable
• De lhistoire économique, politique, industrielle
  du monde moderne et contemporain
• Du développement des sciences (humaines et
  exactes) et des techniques dans la même période
• Enfin de notre manière dêtre au monde depuis le
  19ème siècle.

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(No Transcript)
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Une devinette doù vient ce texte?

•  L'aléatoire est présent dans de très nombreux
  domaines de la vie courante, privée et publique
  analyse médicale qui confronte les résultats à
  des valeurs normales, bulletin météorologique qui
  mentionne des écarts par rapport aux normales
  saisonnières et dont les prévisions sont
  accompagnées dun indice de confiance, contrôle
  de qualité dun objet technique, sondage
  dopinion
• Or le domaine de laléatoire et les démarches
  dobservations sont intimement liés à la pensée
  statistique. Il savère donc nécessaire de
  former les élèves à la pensée statistique dans le
  regard scientifique quils portent sur le monde,
  et de doter les élèves d'un langage et de
  concepts communs pour traiter l'information
  apportée dans chaque discipline. 

Introduction du programme de collège, 1er thème
de convergence  importance du mode de pensée
statistique dans le regard scientifique sur le
monde 
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Statistiques et probabilités un outil
mathématique pour penser le monde?

• Quelle conception des mathématiques en
  découle-t-il? Comme un  outil ? Ou comme un
  mode de pensée en lien à lexpérience?
• Ce point de vue a été défendu par des
  mathématiciens comme Borel ou Fréchet (texte 7).
• Une façon de concevoir le lien entre mathématique
  et expérience comme une activité de
  modélisation.
• Cela implique aussi de voir statistiques et
  probabilités comme des théories en constante
  évolution. (texte 8)

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Statistiques ET probabilités

• Linterprétation de la probabilité oscille entre
  une approche subjective ou épistémique ou
  bien objective ou inductive
• Dans une approche inductive, la probabilité est
  estimée par une fréquence cest  lapproche
  fréquentiste  (texte 9)
• A partir du moment où les statistiques ne sont
  pas seulement des relevés, mais des outils de
  prévision théorique, elles se combinent aux
  probabilités.

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Quelques enjeux dun enseignement des
statistiques et probabilités.

• Cest une nécessité première en terme de
  citoyenneté ou dentrée au monde Cit. Borel
• Cest une des manières les plus directes dentrer
  dans les problèmes liés à la modélisation
• Comment garder un sens vivant à lactivité
  modélisante?
• Quest-ce que le réel? Comment lappréhendons
  nous? Comment rendre compte de sa complexité?
• A quoi  servent  les mathématiques connues?
• Cest un moyen dappréhender les sciences et
  techniques comme un  tout .
• et les mathématiques en lien à
  lexpérimentation

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(No Transcript)
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Un problème de réparation des gains chez Luca
Pacioli (fin 15ème siècle)

• Une brigade joue à la paume il faut 60 pour
  gagner, chaque coup vaut 10. L'enjeu est de 10
  ducats. Un incident survient qui force les
  soldats à interrompre la partie commencée, alors
  que le premier camp a gagné 50 et le second 20.
• On demande quelle part de l'enjeu revient à
  chaque camp
•  
• Luca Pacioli, Summa de arithmetica,
  geometrica,
• proportionii et proportionalita.

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La solution de Pacioli
Source E. Coumet, Le problème des partis avant
Pascal.
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Galilée recherches concernant le jeu de dés
(1620)

• Le fait que dans un jeu de dés certains nombres
  sont plus avantageux que dautres a une raison
  évidente, à savoir le fait que les réalisations
  de ces nombres sont plus aisées et plus
  fréquentes que dautres car ils sont plus à même
  dêtre obtenus par une plus grande variété de
  nombres. () Néanmoins, bien que 9 et 12, peuvent
  être obtenus par le même nombre de manières que
  10 et 11, et quils devraient donc être
  considérés comme de même utilité dans ce jeu, on
  sait déjà par une longue observation que les
  joueurs considèrent 10 et 11 comme plus
  avantageux que 9 et 12. Et il est clair que 9 et
  10 peuvent être composés par une égale diversité
  de nombres () car 9 est composé de 1,2,6 ou
  1,3,5, ou 1,4,4 ou 2,2,5 ou 2,3,4 ou 3,3,3, qui
  sont six triplets, et 10 de 1,3,6 ou 1,4,5 ou
  2,2,6 ou 2,3,5 ou 2,4,4 ou 3,3,4 et pas dautres
  manières, et ces dernières sont aussi six
  triplets.
• Maintenant, a?n dobliger la personne qui ma
  ordonné détudier le problème, je vais exposer
  mes idées, dans lespoir non seulement de
  résoudre ledit problème, mais aussi douvrir la
  voie à une compréhension précise des raisons pour
  lesquelles tous les détails du jeu ont été
  arrangés et ajustés avec grand soin.

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Pascal le problème des partis.

• Pour bien entendre la règle des partis, la
  première chose qu'il faut considérer est que
  l'argent que les joueurs ont mis au jeu ne
  leur appartient plus, car ils en ont quitté la
  propriété mais ils ont reçu en revanche le
  droit d'attendre ce que le hasard leur en
  peut donner, suivant les conditions dont
  ils sont convenus d'abord. ltsils rompent le jeu
  avant son termegt le règlement de ce qui doit leur
  appartenir doit être tellement proportionné à ce
  quils avaient droit despérer de la fortune, que
  chacun deux trouve entièrement égal de prendre
  ce quon lui assigne oui de continuer laventure
  du jeu et cette juste distribution sappelle le
  parti. 
• Traité du triangle arithmétique, 1654

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Pascal la  géométrie du hasard 

• Et puis un traité tout à fait nouveau, d'une
  matière absolument inexplorée jusqu'ici, savoir
  la répartition du hasard dans les jeux qui lui
  sont soumis, ce qu'on appelle en français faire
  les partis des jeux la fortune incertaine y est
  si bien maîtrisée par l'équité du calcul qu'à
  chacun des joueurs on assigne toujours exactement
  ce qui s'accorde avec la justice. Et c'est là
  certes ce qu'il faut d'autant plus chercher par
  le raisonnement, qu'il est moins possible d'être
  renseigné par l'expérience. En effet les
  résultats du sort ambigu sont justement attribués
  à la contingence fortuite plutôt qu'à la
  nécessité naturelle. C'est pourquoi la question a
  erré incertaine jusqu'à ce jour mais maintenant,
  demeurée rebelle à l'expérience, elle n'a pu
  échapper à l'empire de la raison. Et, grâce à la
  géométrie, nous l'avons réduite avec tant de
  sûreté à un art exact, qu'elle participe de sa
  certitude et déjà progresse audacieusement.
  Ainsi, joignant la rigueur des démonstrations de
  la science à l'incertitude du hasard, et
  conciliant ces choses en apparence contraires,
  elle peut, tirant son nom des deux, s'arroger à
  bon droit ce titre stupéfiant La Géométrie du
  hasard.
• Adresse à lacadémie parisienne (1654)

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E. Borel, Le Hasard (1938), préface

•   Mon but principal a été de mettre en évidence
  le rôle du hasard dans les branches diverses de
  la connaissance scientifique ce rôle a beaucoup
  grandi depuis un demi-siècle le moment est venu
  de nous demander si nous navons pas assisté,
  presque sans nous en apercevoir, à une veritable
  révolution scientifique. 

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Les commentaires des programmes

•  Les motivations 
• Un apprentissage précoce, puis régulier, des
  situations aléatoires est une nécessité pour
  répondre à un besoin social et professionnel de
  plus en plus prononcé dans ce domaine. De plus,
  cet apprentissage de laléatoire favorise la
  comparaison de notre enseignement avec celui
  dautres pays de lOCDE. Lenjeu est
  dimportance. Il sagit de donner un sens
  rationnel aux notions de risque , de sondage
  , de preuve statistique , de différence
  significative ..., aidant à la compréhension de
  situations généralement empruntes dincertitude
  et à la prise de décision en contexte aléatoire.
  Pour décrypter le monde moderne, participer au
  débat démocratique, exercer son esprit critique,
  optimiser ses activités professionnelles,
  lhonnête homme du XXIe siècle doit être éduqué
  aux méthodes statistiques et aux probabilités.

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Les commentaires des programmes (2)

• Les choix généraux
• Les précédents programmes de baccalauréat
  professionnel ne laissaient quune très faible
  place aux probabilités, et avec une approche
  fondée sur le dénombrement des cas possibles.
  Cette approche a montré ses limites face aux
  enjeux décrits précédemment. Les nouveaux
  programmes des sections professionnelles
  sinscrivent donc, dans ce domaine, dans la
  continuité de ceux du collège (). La notion de
  probabilité sapproprie plus aisément par
  lexpérimentation et lobservation des
  fréquences, en répétant indépendamment
  lexpérience aléatoire. Lutilisation des T.I.C.
  favorise cet apprentissage en facilitant
  lobservation de la loi des grands nombres .
  Compte tenu des enjeux quil présente en termes
  de formation de base, le domaine statistique -
  probabilités fait partie du tronc commun des
  différentes spécialités de baccalauréat
  professionnel.

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En résumé..

• Des motivations liées à des enjeux très généraux
  citoyenneté, place dans le monde (société et
  entreprise)
• Continuité explicite avec linitiation aux
  statistiques et probabilités en collège
• Une approche privilégiée lapproche par
  simulation, expérience et observation. La
  probabilité doit apparaître, si possible, comme
  la limite dune fréquence empirique.

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Cardan sur les jeux de dés

• there is one general rule, namely, that we
  should consider the whole circuit, and the number
  of those casts which represent in how many ways
  the favorable result can occur, and compare to
  that number to the remainder of the circuit, and
  according to that proportion should the mutual
  wagers be laid so that one may contend on equal
  terms.
• G. Cardano, Liber de ludo aleae (ca. 1525?)

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La  loi des grands nombres 

• Enoncé intuitif en lycée (ancien programme de 1è
  S) Si on répète k fois, dans les mêmes
  conditions, une expérience E, la fréquence dune
  issue de E se rapproche, lorsque k devient grand,
  de la probabilité que cette issue se réalise lors
  dune seule expérience.
• On peut le comprendre comme la description dune
  expérience possible (et observable), ou bien
  comme un résultat théorique.

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Vers un énoncé rigoureux du résultat théorique?

• On répète n expériences de Bernoulli, de même
  loi (réussite p, échec 1-p), indépendantes entre
  elles.
• On définit X, la variable aléatoire égale au
  nombre de réussites sur ces n expériences.
• On définit Fn, la fréquence de réussite sur les
  n expériences Fn X/n , parfois appelée
  fréquence empirique (bien quelle nait rien
  dempirique)
• Loi des grands nombres, portant sur la fréquence
  Fn Pour tout écart egt0 aussi petit que lon
  veut , P( p e lt Fn lt p e ) tend vers 1 quand
  n tend vers 8

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Diagramme de Playfair, Elements de Statistiques,
1802