6. OSNOVNI POJMOVI VJEROJATNOSTI

1
6. OSNOVNI POJMOVI VJEROJATNOSTI
2
6.1. DEFINICIJE VJEROJATNOSTI

• pokus je djelatnost (definiran proces, postupak
  mjerenja, opažanja, ...) iz koje izvire neki
  rezultat
• rezultat pokusa naziva se ishodom
• pokus je slucajan ako se u definiranim uvjetima
  može ponavljati, ako postoje barem 2 razlicita
  ishoda te ako se ishodi ne mogu predvidjeti sa
  sigurnošcu
• prostor elementarnih dogadaja S je skup svih
  mogucih razlicitih ishoda slucajnog pokusa
• dogadaj je elementaran ako se ne može rastaviti u
  jednostavnije dogadaje

3

• slucajni dogadaj A je podskup skupa svih
  elementarnih dogadaja
• Neka su A i B slucajni dogadaji definirani na
  skupu S
• unija skupova A i B, oznaka A?B, je dogadaj koji
  nastane ako nastane dogadaj A ili dogadaj B, ili
  oba
• presjek skupova A i B, oznaka A?B, je dogadaj
  koji nastane ako nastane dogadaj A i dogadaj B
• razlika dogadaja A i B, oznaka A\B, je dogadaj
  koji nastane ako nastane dogadaj A, a ne nastane
  dogadaj B
• komplement dogadaja A, oznaka A, je dogadaj koji
  sadrži sve elementarne dogadaje skupa S koji ne
  cine dogadaj A

4

• Vrijedi
• dogadaj S je siguran dogadaj ako obuhvaca sve
  elementarne dogadaje
• dogadaj A je nemoguc dogadaj ako je A Ø
• dogadaji A i B su medusobno iskljucivi ako ne
  mogu nastati istodobno, tj. ako je A?B Ø
• dva slucajna dogadaja ili više njih su medusobno
  iskljucivi ako je presjek svakog para dogadaja
  prazan skup
• Dogadaji A i B neovisni su ako u jednom pokusu
  mogu nastati istodobno, tj. ako je A?B ? Ø

5

• Klasicna definicija vjerojatnosti (vjerojatnost a
  priori)
• Ako su ishodi slucajnog pokusa jednako moguci,
  tada je vjerojatnost nastupa dogadaja A, oznaka
  P(A), jednaka omjeru broja za njega povoljnih
  ishoda m i ukupnog broja ishoda n
• Statisticka definicija vjerojatnosti
  (vjerojatnost a posteriori)
• Ako se broj ponavljanja pokusa izvedenih u istim
  uvjetima povecava u beskonacnost, tada je
  vjerojatnost nastupa dogadaja A granicna
  vrijednost relativne frekvencije povoljnog ishoda
  dogadaja A

6
(No Transcript)
7

• Svojstva vjerojatnosti
• (1) P(A) ? 0
• (2) vjerojatnost nemoguceg dogadaja jednaka je
  nuli (P(Ø) 0), a vjerojatnost sigurnog
  dogadaja jednaka je jedan (P(S) 1), tj.
• 0 ? P(A) ? 1
• (3) vjerojatnost da nece nastupiti dogadaj A
  jednaka je
• , tj.

8

• (4) ako su A1 i A2 dva medusobno iskljuciva
  dogadaja, vjerojatnost da ce nastupiti dogadaj
  A1 ili A2 jednaka je zbroju njihovih
  vjerojatnosti, tj.
• (5) za dogadaje A1 i A2 vjerojatnost nastupa
  barem jednog od njih jednaka je
• (6) vjerojatnost nastupa dogadaja A uz uvjet da
  je nastupio dogadaj B jest omjer vjerojatnosti
  dogadaja A i dogadaja B i vjerojatnosti nastupa
  dogadaja B, tj.

9
PRIMJER 1. Pravilna kocka baca se jedan put.
Odredite vjerojatnost dogadaja (a) dobiven je
broj 5, (b) nije dobiven broj 5, (c) pri bacanju
je dobiven paran broj, (d) dobiven je broj 2 ili
4, (e) dobiven je broj 1 i 4.
10
PRIMJER 2. Test se sastoji od 3 zadatka iz jednog
predmeta. Za svaki zadatak ponudena su 2
odgovora, od kojih je jedan tocan, a drugi
netocan. Ako testu pristupi osoba koja uopce ne
poznaje predmetno podrucje, kolika je
vjerojatnost (a) da ce odabrati 3 ispravna
odgovora, (b) da nece navesti 3 ispravna
odgovora, (c) da ce odabrati jedan ispravan
odgovor?
11
PRIMJER 3.

• Zaposleni, njih 128, rade na normu, a izradeni
  proizvodi podložni su
• kontroli kakvoce. U jednom razdoblju 16
  zaposlenih nije ispunjavalo
• normu, kakvoca proizvoda koje su proizvela 24
  radnika bila je
• ispodprosjecna, a 4 radnika nisu ispunjavala
  normu i kakvoca
• izradenih proizvoda bila je ispodprosjecna.
  Zaposleni imaju pravo na
• premiju u visini 20 place ako u odredenom
  vremenu ispune normu
• i ako izrade proizvode prosjecne i iznadprosjecne
  kakvoce.
• Kolika je vjerojatnost da se slucajno odabere
  zaposlena osoba koja
• nema pravo na premiju,
• ima pravo na premiju?

12
PRIMJER 4.

• U nekoj tvornici od 100 proizvedenih caša
  prosjecno je 6
• neispravno, a od ispravnih caša 75 je 1. klase.
  Kolika je
• vjerojatnost da caša iz te tvornice bude 1. klase?

13
6.2. SLUCAJNA VARIJABLA I DISTRIBUCIJE
VJEROJATNOSTI

• Slucajna varijabla X numericka je funkcija koja
  svakom ishodu slucajnog pokusa pridružuje realan
  broj
• Slucajna varijabla je
• Diskretna poprima konacan broj vrijednosti ili
  prebrojivo mnogo njih
• Kontinuirana poprima bilo koju vrijednost iz
  nekog intervala
• Distribucija vjerojatnosti diskretne slucajne
  varijable skup je uredenih parova razlicitih
  vrijednosti te varijable i pripadajucih
  vjerojatnosti

14

• Neka je X slucajna varijabla koja poprima
  vrijednosti x1,x2, ,xk s vjerojatnostima
  p(x1), p(x2), , p(xk). Skup ciji su elementi
  uredeni parovi
• (xi, p(xi)) , i 1,2,.. k
• tvori funkciju (distribuciju) vjerojatnosti
  varijable X
• Svojstva funkcije vjerojatnosti diskretne
  slucajne varijable
• (1) p(xi) ? 0 , i 1,2,.. k
• (2)
• (3)

15
(No Transcript)
16

• Kumulativna funkcija F(xi) pokazuje kolika je
  vjerojatnost da diskretna slucajna varijabla X
  poprimi vrijednost xi ili manju od te
  vrijednosti. Ta funkcija distribucije definira se
  izrazom
• Distribucija vjerojatnosti kontinuirane slucajne
  varijable f (x) opisuje razdiobu vjerojatnosti
  na intervalu vrijednosti varijable
• Svojstva funkcije vjerojatnosti kontinuirane
  slucajne varijable
• (1) f (x) ? 0 , ?x
• (2)
• (3)

17

• Distribucije vjerojatnosti analiziraju se tako da
  im se utvrde statisticko-analiticki pokazatelji.
  Medu osnovnim pokazateljima jest ocekivana
  vrijednost slucajne varijable koja je ekvivalent
  aritmetickoj sredini distribucije numericke
  varijable
• ocekivana vrijednost slucajne varijable X

18

• varijanca slucajne varijable X, cija je
  ocekivana vrijednost
• E(X) µ, dana je izrazom
• standardna devijacija je pozitivni drugi korijen
  iz varijance
• koeficijent varijacije omjer je standardne
  devijacije i ocekivane vrijednosti pomnožen sa 100

19

• r-ti moment oko sredine slucajne varijable X
  opcenito se definira izrazom
• Omjer treceg momenta oko sredine i standardne
  devijacije podignute na trecu potenciju mjera je
  asimetrije distribucije vjerojatnosti, a omjer
  cetvrtog momenta i standardne devijacije na
  cetvrtu mjera je zaobljenosti distribucije
  vjerojatnosti

20
PRIMJER 6. Ekspertna grupa procjenjuje ucinke
investicija na rizicnom podrucju. Ucinak
investicije izražen je u obliku dobiti, odnosno
gubitaka za promašene plasmane. Distribucija
vjerojatnosti ucinka investicija navedena je u
tabeli.
(a) Odredite ocekivanu vrijednost i standardnu
devijaciju distribucije vjerojatnosti.
Interpretirajte dobivene rezultate. (b) Kolika je
vjerojatnost da ce investicija rezultirati
gubitkom? Kolika je vjerojatnost da ce dobit biti
izmedu 100 i 300 tisuca kuna?