Teoria das Filas

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Teoria das Filas
Avaliação e Controle de Sistemas de Informação

• Guilherme Amaral Avelino
• gavelino_at_gmail.com

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Por que das filas?

• Procura por um serviço maior do que a capacidade
  do sistema de atender ao serviço
• Inviabilidade econômica
• Limitação de espaço

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Teoria das Filas

• A Teoria das Filas tenta através de análises
  matemáticas detalhadas encontrar um ponto de
  equilíbrio que satisfaça o cliente e seja viável
  economicamente para o provedor do serviço
• Exemplos de aplicação
• Fluxo de tráfego
• veículos, aeronaves, pessoas e comunicações
• Escalonamento
• Pacientes em hospitais, processos em um
  computador e jobs em máquinas
• Projetos de atendimentos a serviços
• Bancos, correios, restaurantes fast-foods

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Elementos de uma Fila
Servidor
Clientes
Servidor
Servidor
Fila
População
Atendimento

• Obs
• Servidores, atendentes ou canais de serviços
• Cliente, transação ou entidade

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• Clientes e Tamanho da População
• Um cliente é proveniente da população
• Quando uma população é muito grande, a chegada de
  um novo cliente a fila não afeta a taxa de
  chegada de clientes subseqüentes, taxa de chegada
  independente
• Quando a população é reduzida a taxa de chegada
  pode ser dependente
• Ex Uma mineradora que possui apenas 3 caminhões
  e os 3 estão na fila

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Processo de Chegada

• Podemos quantificar o processo de chegada através
  de sua taxa média de chegadas (?) e/ou seu
  intervalo médio entre chegadas (IC)
• Ex Um posto de pedágio com 5 atendentes, onde
  entre 7 e 8 horas da manha chegam 20 automóveis
  por minuto.
• ?20 veículos por minuto
• IC 3 segundos
• ? e IC são valores médios, em um dado instante
  diferentes valores podem ser observados
• A fim de caracterizar ainda mais uma fila podemos
  definir sua distribuição de freqüências
• Processos com os mesmos valores médios podem
  apresentar grandes variações de seu valores
  individuais durante o tempo observado
• Processos regulares são raros
• Existe situações onde o ritmo de chegadas sofre
  variações durante o dia

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Processo de Atendimento

• Determina como é feito o atendimento aos clientes
  da fila
• Ex
• Observando um atendente, podemos constatar que
  ele atende 6 veículos por minuto ou que gasta 10
  segundos para atender um veículo
• Podemos quantificar o processo de chegada através
  de sua taxa média de atendimento (µ) e/ou seu
  tempo ou duração médio de serviços (TA)
• µ 6 clientes por minuto
• TA 10 clientes por minuto

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Número de servidores

• Uma fila pode possuir um ou mais servidores para
  atender os clientes
• A qualidade do serviço pode ser melhorada
  adicionando convenientemente novos servidores ao
  sistema
• Ex fila de supermecado

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Disciplina da Fila

• Descreve como os clientes são escolhidos para
  entrar em um serviço após a fila ser formada
• First-Come-First-Served (FCFS)
• FIFO
• Filas comuns onde o primeiro a chegar é o
  primeiro a ser atendido
• Last-Come-First-Served(LCFS)
• LIFO
• Aplicado em sistemas de controle de estoque e em
  filas de prioridades
• Filas com Prioridades
• Preemptivo
• O cliente com maior prioridade é servido
  imediatamente
• Não-preemptivo
• O cliente com maior prioridade entra na frente da
  fila, mas deve aguardar se algum cliente já
  estiver em atendimento
• Filas Randômicas

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Tamanho da Fila

• Tamanho Médio
• Característica mais visível de uma fila
• O dimensionamento adequado desta característica
  possibilita um atendimento satisfatório
• Tamanho Máximo
• Área destinada a espera por atendimento
• Ex número de cadeiras em uma barbearia, tamanho
  do buffer, etc
• Dependendo do tamanho e da demanda um cliente
  pode ser recusado
• Ex central telefônica
• Deve ser projetada de forma atender a demanda

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Tempo Médio de Espera na Fila

• Média do tempo gasto por cada cliente desde o
  momento em que chega na fila ao que ele é
  atendido
• Principal causa de irritação dos clientes
• O ideal é que não exista tempo de espera
• Ex
• Se entrarmos em uma fila com 10 pessoas à frente
  o tempo de espera será igual ao somatório dos
  tempos de atendimento cada um dos 10 clientes ou,
  possivelmente, será igual a 10 vezes a duração
  média de atendimento

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Variáveis Randômicas

• São utilizadas para modelar diversos aspectos de
  uma fila
• Quando afirmamos que a duração média de
  atendimento é de 10 segundos não estamos dizendo
  que todo atendimento é de 10 segundos
• Diferentes momentos podem registrar diferentes
  valores
• Caso fosse coletada uma grande quantidade de
  dados poderíamos deduzir que existe um padrão de
  atendimento expresso por uma distribuição de
  probabilidade
• É nula a probabilidade de atender um cliente em
  menos de 5 segundos
• A probabilidade de atender um cliente em 10
  segundos é de 18
• A probabilidade de atender um cliente em 25
  segundos é de 0,5

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Duração do Atendimento
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Observando a Dinâmica de uma Fila

• Cenário
• Fila de um banco formada por pessoas que deseja
  um novo talão de cheques
• Chegada
• No período de meia hora chegaram ao sistema 12
  pessoas
• Onde
• Intervalo tempo entre uma chegada e outra
• Momento instante de chegada de um novo cliente
• Definir
• ?
• IC

Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 2 5 8 11 16 16 17 22 23 27 28 30
24 clientes por hora
2,5 minutos
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Observando a Dinâmica de uma Fila

• Atendimento
• Dados anotados para cada atendimento em minutos
• Determinar
• µ
• TA

Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
30 clientes por hora
2 minutos
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Gráfico do Funcionamento da Fila
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 2 5 8 11 16 16 17 22 23 27 28 30
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
Atendimento
Fila
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Observando a Dinâmica de uma Fila

• O primeiro cliente chegou ao banco no inicio do
  segundo minuto e seu atendimento durou 1 minuto
• O quinto cliente chegou ao banco no inicio do 17?
  minuto e seu atendimento durou 3 minutos
• O sexto cliente chegou ao banco simultaneamente
  com o quinto cliente no 17? minuto e, então,
  esperou na fila até completar o atendimento do
  quinto cliente, o que ocorreu no final do 19?
  minuto
• O sétimo cliente chegou ao banco no 19? minuto e
  encontrou o atendente ocupado e o sexto cliente
  na fila
• Além dos clientes de número 6 e 7, também os
  clientes de número 9 a 12 tiveram que esperar em
  fila
• O último cliente (12?) saiu do atendimento no
  final do 35? minuto
• ...

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Conclusões

• Tempos de fila
• Total de clientes atendidos
• Tempo Médio na Fila (TMF)
• Número Médio na Fila (NMF)
• Mesmo sendo a capacidade de atendimento (µ)
  superior ao ritmo de chegada (?) foi observada a
  formação de filas
• Em um sistema de filas, geralmente, tanto o
  processo de chegada como o de atendimento não são
  regulares

Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 0 0 0 0 0 3 4 0 3 1 3 2
12
(343132)/12 1,33 minutos
(343132)/35 0,46 cliente
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Sistemas Estáveis

• A abordagem matemática de filas pela Teoria das
  Filas exige que exista estabilidade no fluxo de
  chegada e no processo de atendimento
• Ex fluxo de chegada de clientes em uma fila de
  banco durante o dia
• Não existe estabilidade para o ritmo de chegada
  no período de 1000 às 1600
• Para analisar utilizando a Teoria das Filas
  faz-se o uso do artifício de retalhar o período
  global em períodos parciais

Período 10 às12h 12 às 14h 14 às 16h
Fluxo Médio Alto Médio
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Sistemas Estáveis

• Outra exigência para que o processo seja estável
  é que os atendentes sejam capazes atender ao
  fluxo de chegada
• µ gt ?
• Filas ocorrem porque
• Em um dado instante podem chegar mais clientes
  que a capacidade de atendimento naquele momento
• O atendimento de um dado cliente pode demorar
  mais que o normal
• Em sistemas estáveis, todas as características
  randômicas das filas se mantêm estáveis, oscilam
  em torno de um valor médio

• Sistemas Estáveis
• Fluxo médio de entrada (?) constante
• Ritmo medio de atendimento (µ) constante
• µ gt ?

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Dimensionando Filas

• Objetiva prestar um melhor serviço aos clientes
  ou obter uma redução de custos do funcionamento
  do sistema
• Tipo de fila e qualidade de serviço
• Fila e servidor único
• Fila única e diversos servidores
• Diversas filas com servidores correspondentes
• Filas especiais
• Alteração dinâmica no sistema de atendimento
• A escolha do tipo de fila depende das
  características do sistema
• Fila de banco x supermercado

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Exercício

• Considere um sistema em que navios chegam a um
  porto para carregar algum produto. Abaixo estão
  anotados os valores entre chegadas (em horas)
  para 20 navios
• As durações da carga (em horas) de cada navio são
  as seguintes
• Calcule
• O intervalo médio entre chegadas
• A duração média da carga
• Monte o desenho de funcionamento do sistema
• O tamanho médio da fila
• O tempo médio de espera na fila

Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Intervalo 10 2 13 7 02 8 8 8 10 9 1 14 14 1 10 9 9 9 8 14
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Duração 10 2 13 7 02 8 8 8 10 9 1 14 14 1 10 9 9 9 8 14
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Características dos Processos de Filas

• Na maioria dos casos podemos descrever um sistema
  de filas através de seu
• Padrão de chegada dos clientes
• Padrões de serviço
• Disciplina de filas
• Capacidade do sistema
• Número de canais de serviços
• Número de estágios de serviços

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Padrão de Chegada dos Clientes

• Padrões de chegadas são processos estocásticos,
  ou seja desenvolvem-se no tempo e no espaço
  conforme leis de probabilidade
• Distribuições probabilísticas
• Tempos de interchegada
• Chegada em batch
• Reações do cliente
• Clientes decepcionados
• Recusa do cliente a entrar na fila
• Clientes impacientes
• Cliente sai após algum tempo
• Cliente muda de fila

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Padrão de Chegada dos Clientes

• O padrão de chegada muda com o tempo?
• Estacionário
• Não-estacionário

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Padrões de Serviço

• Podem ser simples ou em batch
• Pode depender do número de clientes na fila
• Serviço dependente do estado
• Pode trabalhar mais rápido ou se atrapalhar com o
  aumento do número de clientes
• Pode melhorar com o tempo
• Serviço não-estacionário
• Aprendizado como fator de produtividade

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Disciplina de Filas

• Descreve como os clientes são escolhidos para
  entrar em um serviço após a fila ser formada
• First-Come-First-Served (FCFS)
• FIFO
• Filas comuns onde o primeiro a chegar é o
  primeiro a ser atendido
• Last-Come-First-Served(LCFS)
• LIFO
• Aplicado em sistemas de controle de estoque e em
  filas de prioridades
• Filas com Prioridades
• Preemptivo
• O cliente com maior prioridade é servido
  imediatamente
• Não-preemptivo
• O cliente com maior prioridade entra na frente da
  fila, mas deve aguardar se algum cliente já
  estiver em atendimento

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Capacidade do Sistema

• Sistemas de filas podem ter um limite de
  capacidade (filas finitas)
• Quando atingido o limite da fila nenhum cliente
  novo poderá ser adicionado até que um cliente
  desocupe a fila

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Número de Canais de Serviço

• O número de canais correspondem ao número de
  estações de serviços paralelos que podem servir
  os clientes simultaneamente
• Clientes multi-canais podem ser de
• Fila única
• Fila individual

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Estágio de Serviço

• Estágio único
• O atendimento do cliente acontece de um vez só
• Barbearia, supermecado, etc
• Vários estágios
• O cliente passa por vários estágios de
  atendimento, antes de finalizar um serviço
• Durante o atendimento o cliente pode enfrentar
  diversas filas com características diversas
• Exame físico, atendimento serviço público

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Estágio de Serviço
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Descrição de um Sistema de Filas
1.Padrão de chegada
2.Padrão de serviço
3.Disciplina de filas
...
4.Capacidade do sistema
n
5. Número de canais de serviço
6. Estágios de serviços
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Notação de Fila

• Proposta em 1953 por Kendall
• é descrita por um série de símbolos, tais como,
  A/B/m/k/M
• A é a distribuição de inter-chegada de dos
  clientes
• B é padrão de serviço de acordo com um
  distribuição de probabilidade para o tempo de
  serviço
• m é o número de canais serviços paralelos
  (servidores)
• k é a capacidade do sistema
• M é a disciplina de filas
• Em muitas situações só os três primeiros símbolos
  são utilizados, de maneira que, é assumido que o
  sistema tem capacidade ilimitada e possui uma
  disciplina FCFS

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Notação de Fila Tabela A/B/m/k/M
O símbolo G representa uma distribuição de
probabilidade geral, isto é, resultados nestes
casos são aplicáveis para qualquer distribuição
de probabilidade
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• Exemplo
• M/D/2/8/FCFS
• Processo de filas com
• tempos de inter-chegada exponencial
• tempos de serviço determinístico
• dois servidores paralelos
• capacidade ilimitada
• disciplina de fila FCFS

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Medindo o Desempenho do Sistema

• Geralmente existem 3 tipos de respostas de
  interesse do sistema
• medida do tempo de espera que um cliente típico é
  obrigado a esperar
• Tempo gasto na fila X Tempo total no sistema
• Importância de cada tipo depende do sistema
  analisado. Ex Parque de diversão x concerto de
  um equipamento
• medida da maneira como os clientes podem ir se
  acumulando
• Número de clientes na fila X número de clientes
  no sistema
• Auxilia na definição do espaço de espera dos
  clientes
• medida do tempo ocioso dos servidores
• Tempo em que um servidor em particular esta
  ocioso
• Tempo em que o sistema está desprovido de clientes

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Medindo o Desempenho do Sistema

• A tarefa do analista de filas é determinar as
  medidas apropriadas de efetividade de um dado
  processo, ou projetar um sistema ótimo.
• Tempo de espera X ociosidade do sistema
• Tempo de espera X custos
• Cálculo do tamanho da fila de espera
• Uso de métodos analíticos como primeira
  alternativa e simulações onde métodos analíticos
  não forem suficientes

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(No Transcript)