Hist

1
Histórico

• Precursores
• Platão
• Turing
• Wiener - Cibernética
• Década de 60
• Inteligência Artificial
• Lógica Matemática
• Anos 70 e 80
• Newell - Sistema de Símbolos Físicos
• Nível do Conhecimento

2
Histórico

• 85 - KL-One (Brachman Schmolze)
• 87 - SOAR (Laird)
• 89 -
• ACT e PUPS (Anderson)
• Inferência Plausível (Collins Michalski)
• 91 -
• Protótipo de uma Teoria da Inteligência (Albus)
• Inteligência sem representação e sem inferência
  (Brooks)

3
Histórico

• Inteligência Computacional
• Sistemas Fuzzy
• Redes Neurais
• Sistemas Evolutivos
• Nas Ciências Humanas
• Piaget, Peirce, Morris
• 95
• InteligênciaEmocional (Goleman)
• 96
• Semiótica Computaciona (Gudwin)
• Análise Semiótica (Meystel)

4
Semiótica e Sistemas Inteligentes

• Inteligência / Sistemas Inteligentes
• termos vagos e amplos
• Fenômeno da Inteligência
• Estudado nas ciências exatas e nas ciências
  humanas
• Ciências Exatas
• Inteligência Artificial
• Cibernética
• Inteligência Computacional
• Ciências Humanas
• Semiótica
• Semiologia

5
Semiótica e Sistemas Inteligentes

• Semiótica
• Cognição
• Comunicação
• Cognição apreensão e compreensão dos fenômenos
  que ocorrem no ambiente
• Comunicação estuda como os fenômenos apreendidos
  e compreendidos podem ser transmitidos entre os
  seres inteligentes

6
Semiótica e Sistemas Inteligentes

• Signo (ou representâmem) -
• qualquer coisa que, sob certo aspecto ou modo,
  representa algo para alguém (Peirce).
• Semiótica estuda
• Como os signos são formados
• Como representam os diferentes aspectos dos
  fenômenos
• Como podem ser utilizados para o armazenamento e
  transmissão de informação.

7
Semiótica e Sistemas Inteligentes

• Inteligência Artificial e Semiótica
• caminhos distintos
• IA Criar estruturas matemáticas que emulassem
  características particulares da inteligência -gt
  sistemas computacionais exibindo comportamento
  inteligente
• S Identificar, classificar e sistematizar as
  diferentes características que, em conjunto,
  podem ser chamadas de inteligência.

8
Semiótica e Sistemas Inteligentes

• Dois tipos de modelos
• IA Modelo Formal (estrutural)
• S modelo descritivo
• Modelos da IA
• mais exatos
• Modelos da S
• mais amplos, porém intuitivos e vagos
• Mapeamento entre modelos

9
Cognição e Semiótica

• Fundamentos
• Mundo povoado por objetos
• Objetos
• criados ou destruídos
• caracterizados por seus atributos -gt modificáveis
• Sistema cognitivo
• A partir da interface de entrada, consegue
  identificar objetos do mundo
• modelo por representação interna

10
Cognição e Semiótica

• Detecta
• modificações nos atributos dos objetos,
• criação de novos objetos e destruição de objetos
• atualização do modelo
• A partir dos modelos internos
• planeja uma alteração nos objetos do mundo e
• atua sobre o mundo, por meio da interface de
  saída

11
Cognição e Semiótica

• Interface de Entrada (sensores) -
• mapeamento parcial do ambiente
• Sistema cognitivo -
• objeto do ambiente
• modelo de si próprio
• Identificação de objetos -
• a partir dos dados sensoriais
• Interpretação -
• reconhecimento de um objeto
• evoca um modelo interno de objeto

12
Cognição e Semiótica

• fonte de informação -
• signo
• representação interna -
• interpretante
• Interpretante -
• pode ser um signo
• cadeia de interpretantes
• processo sígnico (semiosis) -
• (signo, objeto, interpretante)
• fenômeno cognitivo -
• dinâmico (adaptação/aprendizagem)

13
Cognição e Semiótica

• (signo, objeto, interpretante) x (modelo de
  representação, fenômeno, conhecimento)
• analogia parcial
• problema
• interpretante é também signo
• solução
• estrutura ? representa conhecimento ? gera novas
  estruturas ? conhecimento argumentativo

14
Classificação dos Signos

• Signo em relação a seu aspecto como signo
• qualissigno
• sinsigno
• legissigno
• Signo em relação ao seu objeto
• ícone
• imagem
• diagrama
• metáfora
• índice
• símbolo

15
Classificação dos Signos

• Signo em relação ao seu interpretante
• rema (termo)
• dicente (proposição)
• argumento
• dedução
• necessária
• provável
• indução
• abdução
• analogia (indução dedução)

16
Tipos Elementares de Conhecimento

• Signo ? Conhecimento
• fenômenos do ambiente -
• diferentes naturezas
• diferentes tipos de conhecimentos
• diferentes estruturas de representação
• taxonomia dos tipos elementares de conhecimento

17
Tipos Elementares de Conhecimento

• Conhecimento Remático
• interpretação de remas, ou termos
• significado das palavras
• conh. remático simbólico
• nome
• conhecimento remático indicial
• referência relativa, a partir de outro fenômeno
  previamente identificado
• conhecimento remático icônico
• modelo direto do fenômeno

18
Tipos Elementares de Conhecimento

• Conh. remáticos icônicos (específicos ou
  genéricos)
• sensorial,
• objetos
• ocorrências Conhecimento sensorial signo que
  adentra interface de entrada -gt padrão conhecido
• exemplos
• redes neurais artificiais, sistemas de controle
  fuzzy

19
Tipos Elementares de Conhecimento

• Conhecimento sensorial específico
• padrão sensorial em uma instância particular e
  temporal
• conhecimento sensorial genérico
• classe de conhecimentos sensoriais específicos
  com características comuns (semelhança)

20
Tipos Elementares de Conhecimento

• conhecimento de objetos
• conhecimentos sensoriais sugerem a existência de
  um objeto
• conh. de objetos específico
• instância particular e temporal
• conh. de objetos genérico
• classe de conhecimentos de objetos específicos
  com características comuns.
• exemplo
• canal de comunicação e o caracter

21
Tipos Elementares de Conhecimento

• conhecimento de ocorrências (ações)
• conhecimento dos valores dos atributos dos
  objetos do mundo, mudança desses valores em
  função do tempo, geração e destruição de objetos.
• ocorrências em conhecimentos sensoriais
• corporificados como objetos

22
Tipos Elementares de Conhecimento

• conhecimento específico
• instância particular e temporal
• conhecimento genérico
• classe de ocorrências específicas
• objetos (ou sensações)
• específicos ou genéricos
• exemplo
• trajetória de veículo autônomo
• ocorrências
• referenciar múltiplos objetos
• exemplo veículo transporta peça

23
Tipos Elementares de Conhecimento

• Conhecimento Dicente
• interpretação de proposições (termosvalor-verdade
  )
• conhecimento do significado das frases
• valor-verdade
• medida da crença que o sistema cognitivo tem de
  que uma proposição é verdadeira
• valor entre 0 e 1.

24
Tipos Elementares de Conhecimento

• proposições
• proposições primitivas
• conectivos lógicos
• proposições primitivas
• proposições icônicas
• proposições simbólicas
• proposição icônica
• composição de termos formando uma sentença
• cada termo
• conhecimento remático icônico

25
Tipos Elementares de Conhecimento

• sentença -
• uma ocorrência e um ou mais objetos ou
  conhecimentos sensoriais
• valor verdade da sentença
• crença que o sistema cognitivo tem de que o
  conhecimento contido na proposição icônica
  efetivamente representa o que ocorreu no mundo
  real.

26
Tipos Elementares de Conhecimento

• ocorrência
• verbo (ou predicado)
• objetos (sensações)
• relatos (ou sujeitos)
• número de relatos necessário
• aridade da ocorrência
• proposicões simbólicas
• nomes associados a outras proposições

27
Tipos Elementares de Conhecimento

• valor-verdade
• pode ser determinado a partir da interação com
  outras proposições
• proposição simples
• não pode ser decomposta
• proposição primitiva
• proposição composta
• proposições primitivas ligadas por conectivos
  lógicos
• proposição condicional
• SE (proposição antecedente)
• ENTÃO (proposição consequente)

28
Tipos Elementares de Conhecimento

• conhecimento dicente utilizando proposições
  simbólicas
• muito utilizado na lógica clássica
• dispensa detalhes semânticos dos conhecimentos
  remáticos contidos nas proposições icônicas
• conhecimento dicente utilizando proposições
  icônicas
• resolve o problema conhecido na IA como symbol
  grounding
• mais complexa

29
Tipos Elementares de Conhecimento

• Conhecimento Argumentativo
• argumento
• analíticos
• sintéticos
• agente de transformação de conhecimento
• transforma um conjunto de conhecimentos
  (premissa) em um novo conhecimento (conclusão)
• transformação
• função argumentativa
• caracteriza o tipo de argumento

30
Tipos Elementares de Conhecimento

• argumentos analíticos
• conhecimento nas conclusões já se encontra
  implícito nas premissas
• argumento dedutivo
• conclusões nunca entram em contradição com o
  conhecimento das premissas
• argumentos sintéticos
• sintetizam um conhecimento novo, baseado no
  conhecimento existente nas premissas.

31
Tipos Elementares de Conhecimento

• argumento sintético
• pode haver contradição nas conclusões
• utilizado por seres humanos
• aprendizagem e refinamento de conhecimento
  pre-existente
• Podem ser de duas naturezas
• indutivo
• abdutivo

32
Tipos Elementares de Conhecimento

• argumento indutivo
• construtivo
• conhecimento nas premissas é utilizado como base
  para a geração do conhecimento nas conclusões,
  por meio de pequenas modificações.
• exemplo
• conclusão a respeito da cor dos feijões em um
  saco baseada em uma amostra.

33
Tipos Elementares de Conhecimento

• argumento abdutivo
• destrutivo
• conhecimento nas premissas é utilizado para
  refutar possíveis conhecimentos candidatos
  (gerados por qualquer método que seja) e
  selecionar dentre estes, os melhores candidatos.
• exemplo
• descoberta da equação que rege o movimento dos
  planetas, por Kepler.

34
Tipos Elementares de Conhecimento

• argumentos indutivos e abdutivos
• podem atuar cooperativamente
• conhecimentos nas premissas e conclusões
• podem ser de quaisquer tipo.
• argumentos dedutivos, indutivos e abdutivos
• utilizados implicitamente em todos os sistemas
  que envolvem aprendizado.

35
Conhecimento Aplicado

• Classificação ortogonal
• Finalidade do conhecimento em um sistema
  cognitivo
• Conceitos introduzidos por Charles Morris
• estudo dos interpretantes
• Tipos de Interpretantes
• designativo
• apraisivo
• prescritivo

36
Conhecimento Aplicado

• Conhecimento Designativo
• conhecimento utilizado para modelar o mundo real
• conhecimento descritivo
• originado por percepção sensorial memória
• pode utilizar qualquer tipo elementar de
  conhecimento
• tipo de conhecimento mais usualmente utilizado

37
Conhecimento Aplicado

• Conhecimento Apraisivo
• utilizado como uma avaliação, um juízo, um
  julgamento, uma apreciação, diante de um
  propósito
• Sistemas naturais
• propósitos gerais
• reprodução,
• sobrevivência do indivíduo,
• sobrevivência da espécie,
• aumento de conhecimento sobre o mundo

38
Conhecimento Aplicado

• Múltiplas formas
• desejo, repulsa, medo, cobiça, ódio, amor,
  prazer, dor, conforto, desconforto, etc.
• inteligência emocional
• sensação, objeto ou ocorrência
• boa ou ruim para o propósito relacionado
• sistemas artificiais
• propósitos podem ser quaisquer

39
Conhecimento Aplicado

• característica inata
• capaz de aprendizagem
• balizada pelo conhecimento inato
• associado a sensações
• avaliação não vinculada a nenhum objeto
  (intuição)
• relacionado a algum objeto
• objeto é fonte de prazer ou desprazer
• relacionado a ocorrência
• determinada ação evoca o conhecimento apraisivo

40
Conhecimento Aplicado

• Múltiplos propósitos
• conhecimento apraisivo ambíguo
• conhecimento apraisivo global
• ponderação
• Conjunto de conhecimentos apraisivos
• sistema de valores
• fundamental para que o sistema cognitivo atinja
  seus propósitos.

41
Conhecimento Aplicado

• Conhecimento Prescritivo
• conhecimento para atuar sobre o mundo real
• traçar planos de ação e atuar efetivamente, por
  meio dos atuadores do sistema.
• Relação com outros conhecimentos
• julgados por conhecimentos apraisivos
• determinados por conhecimentos designativos

42
Conhecimento Aplicado

• regulam o próprio estado do sistema cognitivo
• aprendizagem e adaptação
• Comando
• decomposto em subcomandos, progressivamente
• Comando de alto nível
• diversos comandos a nível de atuadores
• execução
• tempo de latência
• problemas de sincronismo

43
Conhecimento Aplicado

• exemplo
• comando enviado para atuação e em seguida,
  enquanto está sendo processado vem um segundo
  comando
• estratégias
• abortar o primeiro comando
• comandos em fila
• prioridades nos comandos e filas
• comandos em paralelo

44
Conhecimento Aplicado

• atuadores
• sem comandos
• comportamento padrão
• diferentes estratégias
• manter valor anterior
• valor padrão
• trajetória periódica
• valores aleatórios
• modificações aleatórias
• programável
• previsão do comportamento futuro do sistema

45
Teoria dos Objetos

• Modelo formal
• conceito de objetos
• Veículo de formalização
• diferentes tipos de conhecimento
• Teoria Geral dos Objetos
• sistemas orientados a objetos
• Objeto
• intimamente relacionado ao pensamento humano
• mente humana
• preparada para identificar, representar e
  utilizar objetos

46
Teoria dos Objetos

• Uso de objetos pela mente humana
• aplicações orientadas a objetos
• sistemas orientados a objetos
• linguagens orientadas a objetos
• Objetivo
• modelar idéia de objetos em estruturas de
  programação
• Conceitos
• mais próximos do modo como a mente humana os usa.
• Maior facilidade na elaboração de programas

47
Teoria dos Objetos

• Apesar de largamente utilizados
• inexistência de um modelo formal adequado
• Propostas
• Wang, 1989
• carece de um embasamento simples, claro e
  consistente
• Wolczko, 1988
• especificação de uma semântica uniforme para
  linguagens de programação - meta-linguagem
• Gudwin, 1996
• modelo formal baseado na teoria de conjuntos

48
Definições Preliminares

• Função
• f A ? B
• f ? A ? B
• Ênupla
• q (q1 , q2 , ... , qn )
• produto cartesiano conjunto de ênuplas
• ênupla não é um conjunto
• componente da ênupla qi
• Ênuplas Complexas
• q (q1 , (q21 , q22 , q23 ), q3 , q4 )
• q2 (q21 , q22 , q23 )
• q (q1 , q2 , q3 , q4 )

49
Definições Preliminares

• Ênupla Unária
• (q) q
• Aridade de uma ênupla
• diz respeito à ênupla principal e não a ênuplas
  internas
• q (q1 , q2 , ... , qn )
• Ar(q) n
• Exemplos
• q (a,b,c), Ar(q) 3
• q (a,(b,c),d), Ar(q) 3
• q ((a,b,c),(d,(e,f),g)), Ar(q) 2

50
Definições Preliminares

• Índice de Referência
• utilizado para a localização de uma componente em
  uma ênupla
• Exemplos
• s (a,b,c), S SA ? SB ? SC i1 ? si a, Si
  SA i2 ? si b, Si SB i3 ? si c, Si SC
• c (a,(b,d)), C CA ? (CB ? CC ) i1?ci a,
  Ci CA i2?ci (b,d), Ci CB ? CC i(2,1) ?ci
  b, Ci CB i(2,2) ?ci d, Ci CC
• c (a,(b,(s,d,(e,f),g),h) ), C CA ?(CB ? (CC
  ? CD ? (CE ? CF ) ? CG ) ?CH ) i(2,1)?ci b,
  Ci CB i(2,2,3) ? ci (e,f) , Ci CE ?
  CF i(2,2,3,2) ? ci f, Ci CF i(2,3) ? ci
  h , Ci CH i2? ci (b,(s,d,(e,f),g),h) , Ci
  CB ? (CC ? CD ? (CE ? CF ) ? CG ) ? CH

51
Definições Preliminares

• Fórmula de Indução
• Sejam uma ênupla q (q1 , q2 , ... , qn ) e k
  uma expressão definida pela seguinte sintaxe
• k ? i
• i ? i , i
• i ? i , i
• i é um índice de referência de q.
• A expressão k é chamada de uma fórmula de indução
• Exemplos
• k i1 , i2 , i3 , i4 , i5
• k i1 , i2 , i3 , i4 , i5
• k i1 , i2 , i3

52
Definições Preliminares

• Indução de uma ênupla
• geração de uma nova ênupla a partir de uma ênupla
  original e de uma fórmula de indução
• Exemplos
• q (a,b,c,d), Q Q1 ? Q2 ? Q3 ? Q4, k
  1,3,4,2 ,q(k) (a,c,d,b), Q(k) Q1 ? Q3 ? Q4
  ? Q2
• q (a,b,c,d), Q Q1 ? Q2 ? Q3 ? Q4 , k
  4,1, q(k) (d,a), Q(k) Q4 ? Q1
• q (a,b,c,d), k 1, 2, 3 , 4 , q(k) (a,
  (b,c), d), Q(k) Q1?(Q2 ? Q3 )?Q4
• q (a,(b,c),d), Q Q1?(Q2 ? Q3 )?Q4 ,k
  1,(2,1),(2,2),3, q(k) (a,b,c,d), Q(k) Q1 ?
  Q2 ? Q3 ? Q4
• q (a, (b,c), d), Q Q1?(Q2 ? Q3 )?Q4 , k
  3,2, q(k) (d,(b,c)), Q(k) Q4 ? (Q2 ? Q3 )
• q (a, (b,c), d), Q Q1?(Q2 ? Q3 )?Q4 , k
  3,2,(2,1), q(k) (d,(b,c),b), Q(k) Q4 ? (Q2
  ? Q3 ) ? Q2

53
Definições Preliminares

• Sub-ênupla
• Sejam q uma ênupla e k uma fórmula de indução
• uma ênupla q(k) formada pela indução de q segundo
  k é chamada de uma sub-ênupla de q se
• cada índice em k é um índice unário
• aparece uma única vez na fórmula
• fórmula só possui um par de colchetes

54
Definições Preliminares

• Relação
• R1 , ... , Rn ? conjuntos
• R (ri1 , ... , rin ) , i 1, ... , M, n gt
  1 tal que?i ? 1, ... ,M, ?k ? 1, ... , n,
  rik ? Rk ,
• R, R ? R1 ? ... ? Rn é uma relação em R1 ? ...
  ? Rn,

55
Definições Preliminares

• Projeção
• R ri , ri (ri1 , ... , rin ) é uma relação
  em U R1 ? ... ? Rn
• k é uma fórmula de indução com índices unários k
  k1,k2,...,km, ki ? 1, ... , n, ki ? kj, se
  i ? j, i 1,...,m , j 1,...,m, m ? n.
• A projeção de R em U(k), R? U(k) (ou R(k)) é a
  relação obtida pela união de todas as sub-ênuplas
  ri(k) de R originadas pela indução das ênuplas ri
  de R segundo k
• R(k) ? ri(k).

56
Definições Preliminares

• Exemplo de Projeção
• A 1, 2
• B a,b,c
• C ?, ?, ?).
• R(1,a,?),(2,c,?),(2,b,?),(2,c,?)
• R ? A ? C (1,?),(2,?),(2, ?)
• R ? C ? B (?,a),(?,c),(?,b),(?,c)

57
Definições Preliminares

• Projeção Livre
• R ri , ri (ri1 , ... , rin ) é uma relação
  em U R1 ? ... ? Rn
• k é uma fórmula de indução
• A projeção livre de R em U(k) , R ? U(k) (ou
  R(k) ) é a relação obtida pela união de todas as
  sub-ênuplas ri(k) originadas pela indução das
  ênuplas ri de R segundo k.
• R(k) ? ri(k)

58
Definições Preliminares

• Extensão Cilíndrica
• R (ri1 , ri2 , ... , rin ) é uma relação em
  U R1 ? ... ? Rn
• A extensão cilíndrica P de R em P1 ?... ? Pm , P
  R? P1 ?...? Pm , onde ?k ? 1, ... , n ?Pj
  Rk , 1 ? j ? m, é a maior (no sentido de maior
  número de elementos) relação P ? P1 ?... ? Pm tal
  que P ? R1 ? ... ? Rn R.

59
Definições Preliminares

• Exemplo de Extensão Cilíndrica
• A 1, 2
• B a,b,c
• C ?, ?, ?).
• R (1,a), (2,c)
• R ? A ? B ? C (1,a,?), (2,c,?), (1,a,?),
  (2,c,?), (1,a,?), (2,c,?)
• R ? C ? A ? B (?,1,a), (?,2,c), (?,1,a),
  (?,2,c,), (?,1,a,), (?,2,c,).

60
Definições Preliminares

• Junção de Relações
• R e S duas relações em R1?...? Rn e S1 ? ... ? Sm
  , respectivamente, e P P1 ? ... ? Po um
  universo onde ?i ? 1, ... , n ?Pk Ri , e ?j
  ? 1, ... , m ?Ph Sj , o ? n m
• Junção de R e S sob P
• R S P
• R S P R? P ? S ? P.
• Observação Se ?i,j , Ri ? Sj , então R S P
  ? R1 ? ... ? Rn R e R S P ? S1 ? ... ? Sm
  S.

61
Definições Preliminares

• Exemplos de Junção
• A 1, 2
• B a,b,c
• C ?, ?, ?).
• R (1,a), (2,c)
• S (a,?), (b,?)
• R S A ?B ?C (1,a,?)
• R S A ?B ?B ?C (1,a,a,?), (1,a,b,?),
  (2,c,a,?), (2,c,b,?)

62
Definições Preliminares

• Variável
• N n - conjunto enumerável relacionado a
  alguma medida de tempo
• U - universo, e X ? U.
• Uma variável x de tipo X é uma função x N ? X .
  
• Note que uma função é também uma relação, e por
  isso pode ser expressa por meio de um conjunto.
  Portanto x ? N ? X.

63
Definições Preliminares

• Exemplos de Variáveis
• N 1, 2, 3, X a, b, c ,
• x(1) a, x(2) b, x(3) c
• x (1, a), (2, b), (3, c)
• N 1, 2, 3, , X a, b, c
• x(1) a, x(2) b, x(3) c, ...
• x (1, a), (2, b), (3, c), ...

64
Definições Preliminares

• Variável Composta
• Seja x uma variável de tipo X. Se os elementos de
  X são ênuplas não unárias, a variável x é chamada
  uma variável composta ou estrutura
• Exemplos
• N1, 2, 3,X1a,b, X2 c,d
  XX1?X2(a,c),(a,d),(b,c),(b,d)
• x (1,(a,c)), (2,(a,d)), (3, (a,d))
• x ? N ? X1 (1,a) , (2,a), (3, a)
• x ? N ? X2 (1,c) , (2,d), (3, d)

65
Características dos Objetos

• Os objetos são únicos e identificados por seu
  nome.
• Cada objeto possui um conjunto de atributos e/ou
  partes.
• Um objeto pode possuir um conjunto de funções de
  transformação.
• Um objeto do sistema pode consumir outro objeto
  do sistema.

66
Características dos Objetos

• Um objeto do sistema pode gerar outro objeto do
  sistema.
• Os objetos podem ser classificados
  hierarquicamente em função de seus atributos e
  funções de transformação.
• A interação entre objetos se limita ao consumo e
  geração de novos objetos por objetos do sistema.

67
Características dos Objetos

• Segundo Snyder
• Os objetos são abstrações
• Os objetos provêm serviços
• Objetos clientes fazem requisições de serviços
• Os objetos são encapsulados
• As requisições identificam os métodos a serem
  utilizados
• As requisições podem referenciar seus objetos de
  origem
• Novos objetos podem ser criados
• Métodos podem ser genéricos
• Objetos podem ser classificados em termos de seus
  serviços
• Objetos podem ter uma implementação comum
• Objetos podem partilhar a implementação
  parcialmente

68
Atividade dos Objetos
Portas de Saída
Portas de Entrada
Objeto
Estados Internos
Funções de Transformação
Interface de Entrada
Interface de Saída
69
Interação entre Objetos

• Objetos Distintos
• Mesmo Objeto

Objeto já existente
Objeto novo
?
70
Definição Formal

• Classe
• Uma classe C é um conjunto cujos elementos ci são
  ênuplas do tipo
• (v1, v2 , ... , vn , f1, f2 , ... , fm ) ,n ? 0,
  m ? 0
• onde vi ? Vi , e fj são funções
• fj
• Pj ? 1, ... , n e Qj ? 1, ... , n são
  definidos para cada função fj , p/ cada ênupla
  (v1, v2 , ... , vn ) ? V1 ? ... ? Vn deve
  existir uma ênupla correspondente em C.

71
Definição Formal

• Objeto
• C é uma classe não vazia.
• c é uma variável de tipo C.
• c é objeto da classe C.
• Objeto Primitivo n 1, m0
• Objeto Ativo m gt 0
• Objeto Passivo m 0
• Atributos e Partes
• Vi é uma classe ? parte
• Unicidade
• nome

72
Definição Formal

• Instância de um Objeto
• c um objeto de uma classe C.
• instância de um objeto em um instante n
• o valor de c nesse instante c(n).
• Lembrando-se que C é um conjunto de ênuplas, a
  instância de um objeto será um elemento de C, no
  caso, uma ênupla.
• Observe que a instância de um objeto c em um
  instante n é um elemento de C.

73
Definição Formal

• Superclasse e Subclasse
• C é uma classe e k é uma fórmula de indução
  somente com índices unários
• D C(k) , D é uma classe
• D é uma superclasse de C.
• C é uma subclasse de D.
• Classe
• definida a partir de uma ou mais classes
  primitivas.
• gerada por
• extensão cilíndrica de uma classe,
• junção de diversas classes
• extensão cilíndrica da junção de diversas
  classes.

74
Definição Formal

• Hierarquia de Classes
• definição de classe, projeção, extensão
  cilíndrica e junção induzem uma hierarquia de
  classes

75
Definição Formal

• Sub-objeto
• c é um objeto de uma classe C
• d é um objeto de uma classe D,
• D é uma superclasse de C, determinada por uma
  fórmula de indução k.
• Se para todos os instantes n,
• d(n) c(n)(k)
• d é um sub-objeto de c.
• d corresponde à projeção livre de c em N ? D
• d c ? N ? D.

76
Definição Formal

• Interface de Entrada
• c - objeto ativo de uma classe C
• I - superclasse de C, definida por
• Define-se a interface de entrada i do objeto c,
  como o objeto passivo gerado pela projeção livre
  de c em N ? I, ou seja,
• i c ? N ? I

77
Definição Formal

• Interface de Entrada Específica a Função
• c - objeto ativo de uma classe C
• i a interface de entrada de c
• Ij - superclasse de I e de C
• ij - interface de entrada específica à função j
  de c,
• ij c ? N ? Ij i ? N ? Ij
• Tendo C, m funções, existem m interfaces de
  entrada específicas a função.
• Cada ij - sub-objeto de i e de c.

78
Definição Formal

• Interface de Saída
• c objeto ativo de uma classe C
• O - superclasse de C definida por
• Define-se a interface de saída o do objeto c,
  como o objeto passivo gerado pela projeção livre
  de c em N ? O, ou seja,
• o c ? N ? O.

79
Definição Formal

• Interface de Saída Específica a Função
• c - objeto de uma classe ativa C,
• o - interface de saída de c
• Oj uma superclasse de O e de C
• oj - interface de saída específica à função j de
  c,
• oj c ? N ? Oj o ? N ? Oj
• Tendo C, m funções, existem m interfaces de saída
  específicas a função. Além disso, cada oj é um
  sub-objeto de o e de c.

80
Definição Formal

• Existência de um objeto
• Um objeto c é dito existir em um instante n, se a
  função que mapeia as instâncias de c em C é
  definida para n ? N .
• Geração e Consumo de objetos
• Um objeto é dito gerado em um instante n, se ele
  não existe em n e existe em n1. Um objeto é
  consumido em n, se ele existe em n e não existe
  em n1.

81
Definição Formal

• Escopo Habilitante de uma Função
• um objeto ativo c de uma classe C (v1, v2 ,
  ... , vn , f1, f2 , ... , fm ).
• fj , componente dos elementos de C
• ij a interface de entrada específica à função fj
• ? - aridade das instâncias de ij .
• gi - função de indexação de entrada p/ fj
  mapeando cada componente das instâncias de ij em
  uma componente nas instâncias de c.
• gi 1, ... , ? ? 1, ... , n
• B 0,1.
• Um escopo habilitante para esta função será um
  conjunto de ênuplas H (ht ,bt ), t 1, ...
  , ?, onde ht é um objeto de classe Vgi(t) e bt ?
  B é um valor indicando se o objeto ht deve (bt
  1) ou não (bt 0) ser consumido no disparo de c.

82
Definição Formal

• Escopo Gerativo de Uma Função
• um objeto ativo c de uma classe C (v1, v2 ,
  ... , vn , f1, f2 , ... , fm )
• fj , componente dos elementos de C
• oj a interface de saída específica à função fj
• ? - aridade das instâncias de oj
• go - função de indexação de saída p/ fj mapeando
  cada componente das instâncias de oj em um
  componente nas instâncias de c
• go 1, ... , ? ? 1, ... , n,
• Um escopo gerativo para esta função será um
  conjunto de objetos
• S su , u 1, ... , ? , onde su é um objeto
  de classe Vgo(u).

83
Definição Formal

• Habilitação de um Objeto Ativo
• todos os objetos pertencentes a um escopo
  habilitante de uma de suas funções fj existem em
  n.
• A função fj é dita estar habilitada em n.
• Disparo de um Objeto Ativo
• um objeto c de uma classe C.
• c(n) (v1 (n), ... , vn (n), f1 (n), ... , fm
  (n) ).
• fj de c em n, habilitada por H (ht ,bt ).
• S su para fj , tal que, se s ? S, ou s não
  existe em n, ou s ? H.

84
Definção Formal

• Disparo de um Objeto Ativo
• o número de valores p para os quais k ?Pj, k 1,
  ... , n.
• função de indexação de domínio gd (1, ... , p
  ? 1 , ... , n para a função fj que mapeia para
  cada componente do domínio de fj um componente em
  c .
• a projeção de f(.) em Vk , f(.)?Vk.
• ?, ?, gi e go
• O disparo do objeto no instante n corresponde a
• c(n1) f( c(n), h1(n), , ht (n) )

85
Definição Formal

• Disparo de um Objeto Ativo
• vi (n1)
• onde
• bt 1 ? ht (n1) não definido se (ht , bt ) ?
  H.
• Se su(n) não definido, definir su(n1)
• su (n1) vgo(u) (n1)

86
Definição Formal

• Sistema de Objetos
• ci objetos de classe Ci , i 1, ... , ?
• C ci .
• ?i 0, ... , mi , onde mi é o número de
  funções do objeto ci
• B 0,1.
• ?i , 0 ? i ? ?, ? gt 0, funções de seleção ?i N
  ? 2C x B ? 2C ? ?Iprovendo
• Hi, um escopo habilitante
• Si, um escopo gerativo
• índice da função (fi) a ser executada pelo objeto

87
Definição Formal

• Restrições em ?i
• ?(c,b) ? Hi ,
• se b 0 ? (?k ? i)((c,1) ? Hk )
• se b 1 ? (?k ? i)
• (c,0) ? Hk
• (c,1) ? Hk
• ?c ? Si ,
• (?k ? i)(c ? Sk )
• (?k)((c,1) ? Hk )
• Hi é um escopo habilitante e Si é um escopo
  gerativo p/?i (n) ? ?i .
• Se ci é passivo ou, Hi ? ? ou Si ? ?, ou (?k ?
  i) ((ci ,1) ? Hk ) ?i (n) ( ?, ?, 0 ).

88
Definição Formal

• Um sistema de objetos ? é um conjunto de pares
  ?i
• ?i (ci ,?i ), tal que
• ci sejam definidas em um mesmo N.
• Para n0, exista pelo menos um ?i com objeto ci
  definido.
• Para ngt0, todos os objetos ativos ci com ?i (n) ?
  ( ?, ?, 0 ), ou seja, com ?i(n)(Hi,Si,j) sejam
  disparados, conforme Hi e Si , utilizando fj.
• Para ngt0, todos os objetos ci existentes em n com
  suas instâncias (n1) não afetados pelo ítem
  anterior sejam regenerados
• ci (n1) ci (n).

89
Definição Formal

• Sistema de Objetos
• Propriedade Desejável
• Computabilidade
• Natureza recursiva não garante a computabilidade

90
Definição Formal

• Computabilidade de um Sistema de Objetos
• Seja ? um sistema de objetos, definido em N.
• Se,
• ? tiver um número finito de elementos ?i e,
• todas as funções de seleção ?i de ?i forem
  computáveis e,
• todas as funções internas dos objetos ci de ?i
  forem computáveis,
• então ? será computável.
• Condições suficientes
• não necessárias

91
Redes de Objetos

• Tipo especial de sistema de objetos
• restrições são colocadas
• função de seleção
• Objetos
• associados a lugares
• Lugares
• conectados por arcos
• arcos de entrada e saída
• objetos do mesmo tipo

92
Redes de Objetos
93
Redes de Objetos

• Definição Formal
• conjunto de classes ? Ci
• conjunto de objetos C ci , ci objetos de
  classe Ci ,Ci ? ?, 0 ? i ? ?, ? gt 0.
• ? ?i conjunto de lugares ?i
• A um conjunto de arcos A ai
• ? - função de nó ? A ? ? ? ?
• ? uma função de localização ? N ? C ? ?, que
  associa para cada objeto c ? C, em um instante n,
  um lugar ?.

94
Redes de Objetos

• Definição Formal
• F(?) ? ? 2? , F(?) ? ?k onde k ? K, K k
  ? aj ? A tal que ?(aj) (?k,?) .
• V(?) ? ? 2? ,V(?) ? ?k onde k ? K, K k
  ? aj ? A tal que ?(aj) (?,?k) .
• X(?)??2?, X(?)F(?) ? V(?).
• ? ? (?) ? ? ?, ?? ? ?
• p/ cada vi da i.e. de objetos de classe ?(?), vi
  um objeto de classe C, ??k, ?k ? F(?), tal que
  ?(?k ) C, e
• p/ cada vi da i.s. de objetos de classe ?(?), vi
  um objeto de classe C ??k, ?k ? V(?), tal que
  ?(?k ) C.

95
Redes de Objetos

• Definição Formal
• ii a i.e. de objeto de classe ?(?i ).
• oi a i.s.de objeto de classe ?(?i ).
• ?i o número de campos de ii
• ?i o número de campos de oi
• fpii 1, ... , ?i ? A- função de atribuição
  de portas de entrada p/ objetos em ?i , fpi
  fpii .
• fpoi 1, ... , ?i ? A- função de atribuição
  de portas de saída p/ objetos em ?i , fpo
  fpoi
• ?i 0, ... , mi , onde mi é o número de
  funções do objeto ci

96
Redes de Objetos

• Definição Formal
• ? ?i , 0 ? i ? ?, ? gt 0, ?i são funções de
  seleção ?i N ? 2C x B ? 2C ? ?i
• p/ cada ci , em n, Hi , Si e fi , restritos por
• ?(c,b) ? Hi ,
• ?(n,c) ?, ? ? F(?(n,ci ) ),
• se b 1, (?k ? i)((c,1) ? Hk )
• ?c ? Si
• ?(n,c) ?, ? ? V(?(n,ci ) ),
• (?k ? i)(c ? Sk )
• (?k)((c,1) ? Hk ).
• Hi , Si fk , k ?i (n) ? ?i .
• Se ci é passivo ou Hi ? ? ou Si ? ?, ?i (n) (
  ?, ?, 0 ).

97
Redes de Objetos

• Definição Formal
• Rede de Objetos
• ?(?, ?, ?, A, ?, fpi, fpo, C , ?, ? ),
• Sistema de objetos ? (ci , ?i ) seja
  determinado fazendo-se ci ? C e ?i ? ?, 0 ? i ?
  ?, e
• p/ cada ci ? C com fj disparada em n, se ?(n,ci
  ) ?, então ?(n1,sik ) ?k, ?k é tal que
• ? ( fpo? (k) ) (?,?k )
• ké o índice do k-ésimo campo da interface de
  saída específico à função fi de ci referenciado
  na interface de saída de ci .

98
Redes de Objetos

• Rede de Objetos
• Especificação
• Redes de Objetos Computáveis
• Determinada a partir de uma sequência de redes de
  objetos ?0 , ?1 , ... , onde cada ?i contém um
  número finito de objetos, definidos sobre um
  domínio Ni incremental.
• ?0 - Núcleo da Rede
• Objetos e funções de localização estão definidos
  somente para n0
• ? algoritmo descrevendo ?

99
Redes de Objetos

• Núcleo de uma Rede de Objetos
• ?0(?,?,?,A,?,fpi,fpo,C0,?0,?), onde
• ?, ?, ?, A, ? , fpi e fpo sejam conforme a
  definição de rede de objetos e
• C0 ci - conjunto de objetos definidos apenas
  para n0.
• ?0 - função ?0 N ? C 0 ? ?, definida apenas em
  n0.
• ? - função de seleção computável, determinada a
  partir de um algoritmo ?.

100
Redes de Objetos

• Exemplo de Evolução de Sequência

101
Redes de Objetos

• procedimento PrincipalDefine-se C , composto
  pelos objetos ci dados em C 0 . Define-se a
  função de localização ?, composto pelas ênuplas
  em ?0 Define-se ? ? Faça n variar de n0
  até nfinal Aplique ? para determinar ?(n) e
  atualize ?. Para todos os objetos ativos ci
  existentes no instante n Calcule ?i (n)
  (Hi , Si , f ). Se Hi ?, vá p/ próximo
  objeto Se Hi ? ? execute a função f,
  gerando uma nova instância ci(n1) atualize
  a definição de ci ci ci (n) ? ci (n1).
  Para todo sik ? Si Se sik ? C gere um novo
  objeto vazio e acrescente a C
  calcule o valor de sik (n1) a partir de ci (n1)
  e atualize o objeto sik . determine ?
  (n1,sik ) ? V(? (n,ci )) e atualize ?.
  Para todos os objetos ci tais que
  (ci ,1) não consta de nenhum escopo habilitante
  e ci não consta de nenhum escopo gerativo. ci
  (n1) ci (n).

102
Redes de Objetos

• Procedimento ?Para cada objeto ativo ci
  Para cada função fj do objeto ativo ci Gere
  um escopo habilitante vazio para a função fj
  Para cada campo k da interface de entrada
  correspondentes a fj verifique se no arco
  apontado por fpo(k) existe nenhum objeto, um
  objeto ou mais de um objeto Se não existir
  nenhum objeto, destrua o(s) escopo(s)
  habilitante(s) e vá p/ próxima função
  Se existir apenas um objeto, incorpore-o no(s)
  escopo(s) habilitante(s). Se existirem
  mais de um objeto, para cada escopo habilitante,
  faça tantas cópias deste quanto forem os
  objetos e incorpore um objeto a cada
  cópia. Para cada escopo habilitante,
  calcule um índice de desempenho Para
  cada objeto ativo ci Faça uma lista ordenada
  pelo índice de desempenho, contendo a função e o
  escopo habilitante respectivo Para cada
  objeto ativo ci Escolha o primeiro elemento da
  lista como a função e escopo habilitante p/ o
  objeto Verifique se a escolha não conflita
  com as escolhas dos outro objetos. Se houver
  conflito, use um critério de desempate. O
  perdedor passa a escolher o próximo de sua
  lista. Se o próprio objeto ci pertencer ao
  escopo habilitante de outro objeto, cancele seu
  escopo habilitante e reorganize a
  lista.Para cada objeto ativo ci com escopo
  habilitante diferente de vazio Crie um escopo
  gerativo vazio para ci Para cada campo k da
  interface de saída específica à função fj
  escolhida Se houver um objeto em C não
  definido para n-1 e n da classe desejada,
  coloque-o no escopo gerativo, caso contrário
  crie um novo objeto e inclúa-o. Retorne p/
  cada objeto, o escopo habilitante, o escopo
  gerativo e a função escolhidas

103
Exemplos

• Rede de Petri
• 2 classes
• C1 t - classe dos tokens
• C2 (v1 , v2 , v3 , f1 ) - classe das
  transições de 2 entradas,
• v1 , v2 ? C1 - interface de entrada,
• v3 ? C1 - interface de saída
• f1 C1 ? C1 ? C1 , f1 (a,b) t

104
Exemplos

• Rede de Petri
• ?0 (?,?,?,A,?,fpi,fpo,C0,?0,?)
• ? C1 , C2 ,
• ? ?1 , ?2 , ?3 , ?4 , ?5 , ?6 , ?7 ,
• ? (?1 ,C1 ), (?2 ,C1 ), (?3 ,C2 ), (?4
  ,C1 ), (?5 ,C2 ), (?6 ,C1 ), (?7 , C1 )
• A a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ,
• ? (a1 , (?1, ?3)) , (a2 , (?2, ?3)), (a3 ,
  (?3, ?7)) , (a4 , (?4, ?5)), (a5 , (?5, ?6)) ,
  (a6 , (?7, ?5))
• fip?3 (1) a1,fip?3 (2) a2,
• fop?3 (1) a3, fip?5 (1) a4
• fip?5 (2) a6, fop?5 (1) a5
• C 0 c1 , c2 , c3 , c4 , c5 ,

105
Exemplo

• Rede de Petri
• c1 c2 (0, (t,t,t,f1 ) ) ,
• c3 c4 c5 (0,t)
• ?0 (0,c1,?3), (0,c2,?5) ,(0,c3,?1), (0,c4
  ,?2) , (0,c5,?4)
• ? é um algoritmo
• ? ?1, , ?5
• ?1(0) ((c3 ,1) , (c4 ,1), c6 , 1)
• ?2(0) ?3(0) ?4(0) ?5(0) (?, ?, 0)
• ?1 (?,?,?,A,?,fpi,fpo,C,?,?)
• ?,?,?,A,?,fpi,fpo, como em ?0
• C,?,? - alterados

106
Exemplo

• Rede de Petri
• C c1 , c2 , c3 , c4 , c5, c6
• c1 c2 (0, (t,t,t,f1 ) ), (1, (t,t,t,f1 ) )
  ,
• c3 c4 (0,t)
• c5 (0,t), (1,t)
• c6 (1,t)
• ? (0,c1,?3), (0,c2,?5) ,(0,c3,?1), (0,c4
  ,?2) , (0,c5,?4), (1,c1,?3), (1,c2,?5)
  ,(1,c5,?4), (1,c6,?7)
• ?2 (1) ( (c5 ,1) , (c6 ,1), c7 , 1)
• ?1(1) ?3(1) ?4(1) ?5(1), ?6(1)(?, ?, 0)
• ?2 (?,?,?,A,?,fpi,fpo,C,?,?)
• ?,?,?,A,?,fpi,fpo, como em ?0
• C,?,? - alterados

107
Exemplo

• Rede de Petri
• C c1 , c2 , c3 , c4 , c5, c6, c7
• c1 c2 (0, (t,t,t,f1 ) ), (1, (t,t,t,f1 )
  ), (2, (t,t,t,f1 ) )
• c3 c4 (0,t)
• c5 (0,t), (1,t)
• c6 (1,t)
• c7 (2,t)
• ? (0,c1,?3), (0,c2,?5) ,(0,c3,?1), (0,c4
  ,?2) , (0,c5,?4), (1,c1,?3), (1,c2,?5)
  ,(1,c5,?4), (1,c6,?7), (2,c1,?3), (2,c2,?5),
  (2,c7,?6)
• ?1(2) ?2(2) ?3(2) ?4(2) ?5(2), ?6(2)
  ?7(2)(?, ?, 0)
• ?3 (?,?,?,A,?,fpi,fpo,C,?,?)
• ?,?,?,A,?,fpi,fpo, como em ?0
• C,?,? - alterados

108
Exemplos

• Rede de Petri
• C c1 , c2 , c3 , c4 , c5, c6, c7
• c1 c2 (0, (t,t,t,f1 ) ), (1, (t,t,t,f1 )
  ), (2, (t,t,t,f1 ) ), (3, (t,t,t,f1 ) )
  
• c3 c4 (0,t) , c5 (0,t), (1,t)
• c6 (1,t) , c7 (2,t), (3,t)
• ? (0,c1,?3), (0,c2,?5) ,(0,c3,?1), (0,c4
  ,?2) , (0,c5,?4), (1,c1,?3), (1,c2,?5)
  ,(1,c5,?4), (1,c6,?7), (2,c1,?3), (2,c2,?5),
  (2,c7,?6), (3,c1,?3), (3,c2,?5), (3,c7,?6)
• ?1(3) ?2(3) ?3(3) ?4(3) ?5(3), ?6(3)
  ?7(3)(?, ?, 0)
• ?4 (?,?,?,A,?,fpi,fpo,C,?,?)
• ?,?,?,A,?,fpi,fpo, como em ?0
• C,?,? - alterados

109
Exemplo

• Rede de Petri
• C c1 , c2 , c3 , c4 , c5, c6, c7
• c1 c2 (0, (t,t,t,f1 ) ), (1, (t,t,t,f1 )
  ), (2, (t,t,t,f1 ) ), (3, (t,t,t,f1 )
  ), (4, (t,t,t,f1 ) )
• c3 c4 (0,t) , c5 (0,t), (1,t)
• c6 (1,t) , c7 (2,t), (3,t), (4,t)
• ? (0,c1,?3), (0,c2,?5) ,(0,c3,?1), (0,c4
  ,?2) , (0,c5,?4), (1,c1,?3), (1,c2,?5)
  ,(1,c5,?4), (1,c6,?7), (2,c1,?3), (2,c2,?5),
  (2,c7,?6), (3,c1,?3), (3,c2,?5),
  (3,c7,?6), (4,c1,?3), (4,c2,?5), (4,c7,?6)
• ?1(4) ?2(4) ?3(4) ?4(4) ?5(4), ?6(4)
  ?7(4)(?, ?, 0)
• ?5, ?6, ?7, - equivalentemente

110
Exemplo

• Rede Neural
• C1 - (v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 , v7 , f1 )
  - classe dos geradores de amostra.
• v1 ? ? , ? representa o tempo
• v2 ? ? , v3 ? ? ,v4 ? ?, v5 ? ? , v6 ? ? e v7 ? ?
  interface de saída
• f1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? - função que para cada
  instante de tempo coloca uma entrada diferente na
  rede neural, e atualiza o campo interno de tempo.

111
Exemplo

• C2 - classe dos números reais ?
• C3(v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 , v7 , v8 , v9 ,
  v10 , f1 ) - classe dos neurônios com três
  entradas.
• v1 ? ?, v2 ? ? e v3 ? ? pesos correspondentes à
  cada entrada do neurônio, e
• v4 ? ? é o offset do neurônio.
• v5 ? ? e v6 ? ? são os parâmetros da sigmóide,
  (amplitude e velocidade de subida)
• v7 ? ?, v8 ? ? e v9 ? ? - interface de entrada do
  objeto, representando cada entrada do neurônio.
• v10 ? ? - interface de saída do objeto,
  correspondendo à saída do neurônio.
• f1 ? ? ? ? ? ? ?
• f1 (x1 , x2 , x3)
• onde
• A v5 , m v6 , w1 v1 , w2 v2 , w3 v3, ?
  v4 - parâmetros da função.

112
Exemplo

• C4 (v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 , v7 , v8 ,
  f1 ), - classe dos neurônios com duas entradas.
• v1 ? ? e v2 ? ? são os pesos correspondentes à
  cada entrada do neurônio
• v3 ? ? é o offset do neurônio
• v4 ? ? e v5 ? ? são os parâmetros da sigmóide,
  (amplitude e velocidade de subida)
• v6 ? ? e v7 ? ? - interface de entrada do objeto,
  representando cada entrada do neurônio
• v8 ? ? - interface de saída do objeto,
  correspondendo à saída do neurônio
• f1 ? ? ? ? ?
• f1 (x1 , x2 )
• onde
• A v4 , m v5 , w1 v1 , w2 v2 , ? v3
  parâmetros da função.

113
Exemplo

• ?0 (?,?,?,A,?,fpi,fpo,C0,?0,?)
• ? C1 , C2 , C3 , C4 ,
• ? ?1 , ?2 , ?3 , ?4 , ?5 , ?6 , ?7 , ?8 , ?9
  , ?10 ,
• ? (?1 ,C1 ), (?2 ,C2 ), (?3 ,C2 ), (?4 ,C2
  ), (?5 ,C3 ), (?6 ,C3 ), (?7 ,C2 ),
  (?8 ,C2 ), (?9 ,C4 ), (?10 ,C2 ),
• A a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10 ,
  a11 , a12 ,a13 , a14 ,
• ? (a1, (?1, ?2)), (a2, (?1, ?3)),(a3, (?1,
  ?4)),(a4, (?2, ?5)), (a5,(?2, ?6)),
  (a6, (?3, ?5)),(a7, (?3, ?6)),(a8 , (?4, ?5)),
  (a9,(?4, ?6)),(a10, (?5, ?7)),(a11,(?6,
  ?8)),(a12,(?7,?9)), (a13 , (?8, ?9)) ,
  (a14 , (?9, ?10))
• fop?1 (1) a1, fop?1 (2) a2, fop?1 (3) a3,
  fop?1 (4) a1fop?1 (5) a2, fop?1 (6) a3,
  fip?5 (1) a4, fip?5 (2) a6
• fip?5 (3) a8, fop?5 (1) a10, fip?6 (1) a5,
  fip?6 (2) a7
• fip?6 (3) a9, fop?6 (1) a11, fip?9 (1) a12,
  fip?9 (2) a13
• fop?9 (1) a14
• ?0 (0, c1 , ?1 ) , (0,c2 , ?5 ) , (0, c3, ?6
  ) , (0, c4 , ?9 )
• C 0 c1 , c2 , c3 , c4 ,
• c1 (0, (0,0,0,0,0,0,0,f1 ) )
• c2 (0, (w11 , w21 , w31 , ?1 , A1, m1 ,
  0,0,0,0 ) )
• c3 (0, (w12 , w22 , w32 , ?2 , A2, m2 ,
  0,0,0,0 ) )
• c4 (0, (w11 , w21 , ?3, A3, m3 , 0,0,0 ) )
  

114
Exemplos

• ?1(0) (?, c5, c6, c7 , 1)
• ?2(0) ?3(0) ?4(0) (?, ?, 0)
• ?1 (?,?,?,A,?,fpi,fpo,C,?,?)
• ?,?,?,A,?,fpi,fpo, como em ?0
• C,?,? - alterados
• C c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , c7 ,
• c1 (0, (0,0,0,0,f1 ) ), (1, (1, x1,x2,x3,f1 )
  )
• c2 (0, (w11 , w21 , w31 , ?1 , A1, m1 ,
  0,0,0,0 ) ), (1, (w11 , w21 , w31 , ?1 ,
  A1, m1 , 0,0,0,0 ) )
• c3 (0, (w12 , w22 , w32 , ?2 , A2, m2 ,
  0,0,0,0 ) ), (1, (w11 , w21 , w31 , ?1 ,
  A1, m1 , 0,0,0,0 ) )
• c4 (0, (w11 , w21 , ?3, A3, m3 , 0,0,0 )
  ), (1, (w11 , w21 , ?3, A3, m3 , 0,0,0
  ) )
• c5 (1,x1), c6 (1,x2), c7 (1,x3)
• ? (0, c1 , ?1 ) , (0,c2 , ?5 ) , (0, c3, ?6
  ) , (0, c4 , ?9 ), (1, c1 , ?1 ) , (1,c2 , ?5 )
  , (1, c3, ?6 ) , (1, c4 , ?9 ), (1, c5 , ?2 ) ,
  (1,c6 , ?3 ) , (1, c7, ?4 )
• ?1(1) (?, c8, c9, c10 , 1)?2(1) ( (c5
  ,0), (c6 ,0), (c7 ,0), c11, 1)?3(1) ( (c5
  ,1), (c6 ,1), (c7 ,1), c12, 1)?4(1) ?5(1)
  ?6(1) ?7(1) (?, ?, 0)

115
Exemplos

• ?2 (?,?,?,A,?,fpi,fpo,C,?,?)
• ?,?,?,A,?,fpi,fpo, como em ?0
• C,?,? - alterados
• C c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , c7 , c8 ,
  c9 , c10 , c11 , c12 ,
• c1 (0,(0,0,0,0,f1 )), (1,(1, x1,x2,x3,f1 )),
  (2,(2, x1,x2,x3,f1 ))
• c2 (0, (w11 , w21 , w31 , ?1 , A1, m1 ,
  0,0,0,0 ) ), (1, (w11 , w21 , w31 , ?1 , A1, m1
  , 0,0,0,0 ) ), (2, (w11 , w21 , w31 , ?1 , A1,
  m1 , x1,x2,x3, y1) )
• c3 (0, (w12 , w22 , w32 , ?2 , A2, m2 ,
  0,0,0,0 ) ), (1, (w12 , w22 , w32 , ?2 , A2,
  m2 , 0,0,0,0 ) ), (2, (w12 , w22 , w32 , ?2 ,
  A2, m2 , x1,x2,x3, y2 ) )
• c4 (0, (w11 , w21 , ?3, A3, m3 , 0,0,0 )
  ), (1, (w11 , w21 , ?3, A3, m3 ,
  0,0,0 ) ) (2, (w11 , w21 , ?3, A3, m3 ,
  0,0,0 ) )
• c5 (1,x1), c6 (1,x2), c7 (1,x3)
• c8 (2,x1), c9 (2,x2), c10
  (2,x3),
• c11 (2,y1) , c12 (2,y2)

116
Exemplos

• ? (0, c1 , ?1 ) , (0,c2 , ?5 ) , (0, c3, ?6
  ) , (0, c4 , ?9 ), (1, c1 , ?1 ) , (1,c2 , ?5 )
  , (1, c3, ?6 ) , (1, c4 , ?9 ), (1, c5 , ?2 ) ,
  (1,c6 , ?3 ) , (1, c7, ?4 ), (2, c1 , ?1 ) ,
  (2,c2 , ?5 ) , (2, c3, ?6 ) , (2, c4 , ?9 ), (2,
  c8 , ?2 ) , (2,c9 , ?3 ) , (2, c10, ?4 ), (2,c11
  , ?7 ) , (2, c12, ?8 )
• ?1(2) (?, c5, c6, c7 , 1)?2(2) ( (c8
  ,0), (c9 ,0), (c10 ,0), c13, 1)?3(2) (
  (c8 ,1), (c9 ,1), (c10 ,1), c14, 1)?4(2)
  ( (c11 ,1), (c12 ,1), c15, 1)?5(2) ?6(2)
  ?7(2) ?8(2) ?9(2) ?10(2) ?11(2) ?12(2)
  (?, ?, 0)
• ?3 (?,?,?,A,?,fpi,fpo,C,?,?)
• ?,?,?,A,?,fpi,fpo, como em ?0
• C,?,?