e: A Hist

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e A História de um NúmeroEli Maor
Diogo Guilherme
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Temas presentes no livro

• Origens do logaritmo
• Matemática financeira (juros)
• Limite (do muito pequeno ao infinitamente grande)
• História do cálculo diferencial e integral
• Séries
• Método das Fluxões de Newton
• O cálculo de Leibniz
• Características das funções exponenciais
• A família Bernoulli
• Matemática na Arte e na Natureza
• A catenária e as funções hiperbólicas
• Números complexos
• Os trabalhos de Euler
• Álgebra
• Filosofia dos números

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Sobre o autor

• É um historiador da matemática nascido em 1937 em
  Israel
• Atualmente leciona na Universidade de Chicago
  (Loyola University Chicago)
• É autor de vários livros sobre a História da
  Matemática
• To Infinity and BeyondA Cultural History of the
  Infinite
• The Pythagorean TheoremA 4,000-Year History
• Trigonometric Delights

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Motivação do autor

• O autor conhecia vários livros que retratavam a
  história do número p, mas nenhum que fosse
  dedicado ao número e.
• É um número que está presente em várias áreas da
  matemática e importante para os estudos das
  ciências naturais.
• Crítica à forma com que a Matemática é ensinada
  nas escolas que desconsideram a história de sua
  evolução.

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Muito importante

• O autor sempre alerta aos leitores que existem
  discordâncias entre fontes diferentes e que
  algumas não são muito precisas
• Sempre quando conta apresenta uma história
  fantástica sobre as pessoas, o autor cita a
  fonte e aconselha os leitores a serem críticos

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John Napier (1550-1617) o primeiro personagem
desta história

• Era escocês e teve uma vida voltada à prática
  religiosa
• Era protestante, totalmente contra a Igreja
  Católica, à qual dedicou um livro inteiramente
  para fazer críticas
• Desenvolveu estudos práticos à agricultura
  (adubo, sistema hidráulico)
• Participou de projetos militares para defender
  sua terra natal, mas não se sabe se as máquinas
  imaginadas foram de fato construídas

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(No Transcript)
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O que acontecia nos séculos XVI e XVII?

• Nesta época ocorreu um enorme avanço científico
• O sistema heliocêntrico tinha uma maior aceitação
• Gerhard Mercator viaja o circunavega o mundo e
  faz um novo mapa novo do mundo
• Galileu estabelece os alicerces da Mecânica
• Kepler fazia seus estudos dos movimentos celestes

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O logaritmo

• Os avanços científicos requeriam uma quantidade
  enorme de cálculos numéricos
• Não se tem certeza das intenções de Napier ao
  desenvolver os logaritmos
• A ideia era dado qualquer número positivo,
  podemos escrevê-los em potências de um número
  fixo conhecido (a base) e o produto (ou divisão)
  dos números seria a soma (ou subtração) de seus
  expoentes.

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O que há de novo?

• Para certos números inteiros, este método não era
  necessário.
• Napier construiu uma tabela que usava este método
  para vários números, inteiros e decimais
• O problema foi só a base utilizada para fazer
  seus cálculos.
• A primeira base usada para as tabelas
  logarítmicas foi 0,9999999

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E depois?

• Após a publicação do trabalho sobre os
  logaritmos, Briggs vai à Escócia à procura de
  Napier
• Briggs propõe algumas mudanças na ideia dos
  logaritmos, como o uso da base 10
• Briggs então se prontifica para fazer as tabelas
  com a base 10
• Construção de aparelhos para calcular logaritmos
• Difusão do logaritmo no meio científico

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A primeira aparição do número e

• O número e manifestou-se pela primeira vez
  relacionado com uma das maiores preocupações da
  humanidade até os dias atuais

Se emprestares dinheiro a alguém do meu povo, a
um pobre que vive ao teu lado, não agirás como um
agiota. Não lhe deves cobrar juros. Exôdo 2225
O dinheiro
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Mas como assim?

• O número e apareceu primeiramente em problemas
  que envolviam juros compostos
• Primeiro, o autor apresenta um problema de juros
  da época dos babilônicos.
• Após explicar a operação de juros compostos, o
  autor apresenta a expressão que fornece o
  montante após um período de aplicação

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• Para uma transação hipotética, onde r 1, t 1
  ano e P R 1,00, a expressão fica simplesmente

• O autor chama a atenção para o caso em que

• Em seguida, ele faz uma tabela da expressão
  acima com o valor de n crescendo

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Um pouco sobre a história do Cálculo

• O livro retorna aos tempos de Arquimedes para
  contar um pouco sobre os métodos desenvolvidos
  para calcular o valor de p e o cálculo de áreas
• Segundo o autor, o desconhecimento da álgebra
  pode ser um dos motivos que não levaram os gregos
  a desenvolver o cálculo.
• Os gregos tinham dificuldades em aceitar que uma
  soma infinita convergia para um limite finito (o
  autor discute um dos paradoxos de Zenão)

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• Dando um grande salto, em 1593 aparece o primeiro
  processo infinito escrito explicitamente como uma
  fórmula matemática
• Várias destas foram criadas para se calcular o
  valor de p
• Kepler fez alguns estudos que envolviam o uso de
  elementos indivisíveis (sua 2ª Lei e volume de
  sólidos)
• Segundo o autor, Kepler deu um grande avanço no
  desenvolvimento do cálculo

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A quadratura da hipérbole entra na história

• Dentro deste contexto, o autor discuti vários
  temas pertencentes à Matemática
• Explicação do processo de quadratura, desde a
  origem
• Preocupação com a quadratura da hipérbole
• As cônicas e as representações após o
  desenvolvimento da Geometria Analítica.
• A vida e obra de Descartes

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• Fermat foi uma das pessoas que se preocuparam com
  a quadratura de curvas cuja equação era y xn,
  com n inteiro positivo
• Fermat chegou a um método que resolvia o problema
  para qualquer função cujo para qualquer valor de
  n, exceto n -1
• Em 1647, Grégoire percebeu que a área sob uma
  hipérbole (y x-1) tem uma relação com a função
  logarítmica (sendo esta, talvez, o seu primeiro
  uso)
• Só faltava ter certeza que a função logarítmica
  realmente dava a área sob a hipérbole

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O grande confronto

• 
  Newton

• Leibniz

X
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Método das fluxões de Newton

• O cálculo de Newton foi caracterizado basicamente
  por um ponto se deslocando sobre um plano
  cartesiano, ou seja, duas variáveis se
  relacionando através de uma equação.
• Após estruturar sua ideia de fluxão, ele pensou
  sobre o processo inverso encontrar o fluente.
  Algo como encontrar aquilo que fluiu no tempo.

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Notação
Para um intervalo de tempo e, ficamos com
Para a função , obtemos
22
Notação
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Idéia sobre o cálculo de Leibniz

• Idéia mais abstrata que a Newton
• Pensava no cálculo como o acréscimo de pequenas
  taxas, os diferenciais.
• Quanto menor forem os diferenciais, mais próxima
  da curva estará a reta tangente.

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Triângulo característico
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Notação
26
Notação
27
Notação
Generalizando
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Disputa pela patente

• Newton não tinha o costume de publicar seus
  trabalhos, sempre os mantinha restrito ao seu
  grupo dentro da universidade
• Leibniz sempre que possível publicava seus
  trabalhos.

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Disputa pela patente

• Segundo o autor, Newton já havia terminado o seu
  cálculo 10 anos antes de Leibniz publicar.
• Pessoas ligadas a Newton mostraram para Leibniz
  uma parte de seu trabalho
• Newton sempre acusou Leibniz de plágio e tentou
  mostrar este ato mesmo após a morte deste.

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Consequências

• Grande escassez na matemática e na ciência
  britânica nos séculos subsequentes, devido ao
  isolamento causado pela disputa.
• Enquanto isto, matemáticos na Europa continental
  aderem à notação de Leibniz que foi mais bem
  difundida.
• Mas mesmo assim, alguns matemáticos e cientistas
  debatiam sobre o autor original do cálculo

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Casos de família

• Oito integrantes da família se empenharam no
  estudo da matemática e da física
• Três deles tiveram grande destaque Jakob I
  (Jacques ou James), Johann I (Jean ou John) e
  Daniel I
• Johann I era irmão de Jakob I Daniel I era filho
  de Johann I
• Johann I foi o professor de LHospital, o mesmo
  da polêmica regra de mesmo nome

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Os integrantes da família Bernoulli
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• Ocorreram várias intrigas entre os familiares,
  principalmente entre Jakob e Johann
• Uma das disputas entre os irmãos envolvia o
  problema de ciclóides encontrar a curva ao
  longo da qual uma partícula deslizará sob a força
  gravitacional no menor tempo possível
  (braquistócrona)

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• O problema, segundo o autor, teve cinco soluções
  diferentes, dados por Newton, Leibniz,
  LHospital e os dois irmãos Bernoulli.
• Porém, a solução de Johann apresentava um erro,
  corrigindo-o usando um dos resultados obtidos por
  Jakob, sem dar mencioná-lo, possivelmente
  piorando assim, a situação entre os dois
• A braquistócrona é um caso particular das
  ciclóides

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• Os Bernoulli eram defensores dos estudos de
  Leibniz, com quem se correspondiam
• Não bastasse as brigas com o irmão, Johann teve
  um péssimo relacionamento com o filho Daniel, por
  este ter um destaque maior
• É creditado a Daniel a relação entre pressão e
  velocidade de um fluido em movimento

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Spira Mirabilis A espiral logarítmica

• Dentre os estudos de Jakob, encontramos o
  fascínio dele pela espiral logarítmica
• O autor apresenta vários detalhes desta curva
  suas propriedades, particularidades, matemáticos
  que a estudaram

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• Imagine quatro insetos posicionados nos cantos de
  um quadrado. Ao tocar um apito, cada inseto
  começa a se mover em direção ao seu vizinho.
  Quais são as trajetórias dos insetos e onde eles
  irão se encontrar? 

• A trajetória das quatro é uma espiral
  logarítmica.
• Além desta situação, o autor comenta sobre
  outras aplicações da função

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Um encontro fictício

• Dentro do contexto da espiral logarítmica, Eli
  Maor cria uma pequena história, contando como
  seria um encontro entre Johann Bernoulli e Johann
  Sebastian Bach
• Sabastian havia feito estudos referentes às
  frequências das notas musicais da escala maior e
  percebeu que havia algumas incoerências
• Ele então propõe uma escala temperada composta
  por 12 notas no lugar da escala de 7 notas.

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• Após uma breve conversa entre os dois, eles
  concluem a escala musical temperada sendo
  representada por uma espiral logarítmica

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Além da espiral a catenária

• Jakob Bernoulli propõe em 1690, um problema cuja
  solução é uma catenária encontrar a curva
  formada por um fio pendente, livremente suspenso
  a partir de dois pontos fixos
• Apareceram três soluções corretas Huygens,
  Leibniz e Johann Bernoulli.

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• As tensões entre os irmãos pioraram e um tempo
  depois Jakob apresenta uma solução para
  espessuras variáveis
• Na época da resolução do problema, o número e
  ainda não possuía um símbolo
• Apenas em 1757, Riccati apresenta uma notação
  para a catenária, assim como para uma função
  semelhante

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Parecidas mas nem tanto

• Riccati inicia um estudo das funções hiperbólicas
  e percebe que há muitas semelhanças destas com as
  funções trigonométricas

Funções trigonométricas
Funções hiperbólicas
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Funções trigonométricas
Funções hiperbólicas
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• As funções hiperbólicas não apresentam
  periodicidade como as funções trigonométricas
• Os parâmetros x e y não podem ser interpretados
  como ângulos quando nos referimos às funções
  hiperbólicas, mas pode representar o dobro da
  área de um setor hiperbólico
• O autor apresenta uma notação diferente para
  representar

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Um amigo dos Bernoulli

• A família de Leonhard Euler (nascido em
  1707)possuía um laço com os Bernoulli.
• O pai de Euler estudou matemática com Jakob
• Euler teve aulas com Johann e se tornou amigo de
  seus dois filhos, Daniel e Nicolaus.

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Alguns trabalhos de Euler

• Euler desenvolveu estudos sobre a teoria dos
  números (matemática pura) e sobre a mecânica
  analítica (matemática aplicada)
• Fez um trabalho sobre funções, no qual introduziu
  sua definição e sua notação, usada atualmente
• Possivelmente foi o primeiro a usar a letra e
  para se referir ao número 2,71828...
• Representou a função exponencial como uma série
  de potências

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• Segundo o autor, Euler começou a brincar com as
  relações matemáticas, fazendo alguns
  procedimentos não muito corretos
• Primeiramente substitui x na função exponencial
  por ix, obtendo uma função exponencial imaginária
• Escrevendo-a em séries de potências e
  rearranjando os termos, chegou à relação
• A demonstração formal desta relação só ocorreu
  tempos depois

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No campo dos números complexos

• O autor faz um breve histórico referente aos
  problemas que envolviam raiz quadrada de um
  número negativo
• A partir de então ele apresenta vários estudos
  que envolvem o número i
• representações polares
• logaritmo de números negativos ln(-1) e de
  números imaginários ln(i)
• potências imaginárias de números imaginários ii
• funções complexas

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Por fim...

• O autor faz uma discussão sobre a filosofia e
  um histórico dos números, discutindo a visão que
  alguns povos e matemáticos tiveram sobre os
  números, assim como a natureza dos mesmos,
  focando-se mais no número e, apresentando suas
  particularidades e importância à ciência e à
  matemática