vwo B Samenvatting Hoofdstuk 10 - PowerPoint PPT Presentation

1 / 29

About This Presentation

Title:

vwo B Samenvatting Hoofdstuk 10

Description:

vwo B Samenvatting Hoofdstuk 10 Riemannsommen De oppervlakte van het vlakdeel V in figuur a is te benaderen met behulp van rechthoeken. Daartoe verdeel je het ... – PowerPoint PPT presentation

Number of Views:79

Avg rating:3.0/5.0

Slides: 30

Provided by: maerl

Category:

more less

Transcript and Presenter's Notes

Title: vwo B Samenvatting Hoofdstuk 10

1
vwo B Samenvatting Hoofdstuk 10
2
Riemannsommen

De oppervlakte van het vlakdeel V in figuur a is
te benaderen met behulp van rechthoeken.
Daartoe verdeel je het interval 1, 5 in even
lange deelintervallen.
Hiernaast is gekozen voor rechthoeken met lengte
?x 1.
Voor de hoogte van de rechthoeken kun je
de kleinste functiewaarde op het deelinterval
nemen,
je krijgt dan de ondersom, zie figuur b
de grootste functiewaarde op het deelinterval
nemen,
je krijgt dan de bovensom, zie figuur c
de functiewaarde van een willekeurig getal xk
van
het deelinterval nemen, zie figuur d
In het algemeen wordt de som van de oppervlakten
van rechthoeken genoteerd als
Dit heet een Riemannsom. Ook de ondersom en
bovensom zijn Riemannsommen.
Er geldt ondersom O(V) bovensom.

10.1
3
Integralen

Door bij een Riemannsom de limiet voor ?x naar 0
te nemen krijg je een integraal.
De oppervlakte van het vlakdeel V dat boven de
x-as ligt en wordt ingesloten door de
grafiek van f, de x-as en de lijnen x a en x
b
is
Met de GR kun je integralen nauwkeurig benaderen.
Zo is de oppervlakte van het vlakdeel V dat wordt
ingesloten door de grafiek van
f(x) , de x-as en de y-as gelijk
aan
dx
De optie fnInt(TI) of ?dx (Casio) geeft O(V)
1,89.
De oppervlakte van het vlakdeel W dat wordt
ingesloten door de grafiek van f en de
lijnen x 2 en y v2 bereken je met O(W)
O(rechthoek) O(V).
Dus O(W) 2 v2 1,89 0,94.

10.1
4
Oppervlakte van een vlakdeel tussen grafieken

In de figuur hiernaast is f(x) g(x) op het
interval a, b.
Daarom kan de oppervlakte van het vlakdeel V
benaderd
worden met behulp van de Riemannsom
Voor de exacte oppervlakte neem je hiervan de
limiet
voor ?x naar 0. Je krijgt O(V)
vb.
Het vlakdeel W wordt ingesloten door de grafieken
van
f(x) 2x 8 en g(x) -x2
Voer in y1 2x 8 en y2 -x2
Optie intersect geeft x -2,80 en x 2.
De optie fnInt (TI) of ?dx (Casio) geeft
O(W)

22,85
10.2
5
Inhoud van een omwentelingslichaam

Door het vlakdeel U in de figuur hiernaast te
wentelen
om de x-as ontstaat het lichaam L.
I(L)
Door het vlakdeel V in de figuur hiernaast te
wentelen
om de x-as ontstaat het lichaam M.
I(M)
vb.
Het lichaam N ontstaat door het vlakdeel W,
ingesloten door de grafieken van f(x) 2x 8 en
g(x) -x2 , te wentelen om de x-as.
De optie fnInt (TI) of ?dx (Casio) geeft
I(N)

593,4
10.2
6
Primitieven

O(x)
O(x h) O(x) O(groene vlakdeel) f(x) h
O(x)
De functie F is een primitieve
van de functie f als F f.
Als F een primitieve van f is,
dan zijn alle functies F c primitieven van f.
Het getal c heet de integratieconstante.
Voor elke constante a geldt dat a F een
primitieve is van a f.

10.3
7
Regels voor primitiveren

Verder geldt dat als F een primitieve is van f,
dan is een primitieve van f(ax
b).

10.3
8
Oppervlakte en primitieve

O(V)
O(x) F(x) c
O(b) O(a)
(F(b) c) (F(a) c)
F(b) F(a)
F(b) F(a)

10.3
9
Kegel en Bol

Door het vlakdeel ingesloten door de lijn y
de x-as en de lijn x h te wentelen om de x-as
ontstaat een kegel met straal r en hoogte h.
I(kegel) ?pr2h
Door de cirkel c x2 y2 r2 te wentelen om de
x-as
ontstaat een bol met straal r.
I(bol) 1?pr3
Door het vlakdeel ingesloten door de cirkel c, de
y-as en de lijn
x ?r te wentelen om de x-as ontstaat een
bolschijf.
I(bolschijf)

10.4
10
Booglengte

De booglengte van het deel van de grafiek van een
functie f tussen
x a en x b is
Bij de functie f(x) krijg je de booglengte
van het deel van de grafiek
tussen x 1 en x 4 als volgt.
f(x) geeft
booglengte
De optie fnInt (TI) of ?dx (Casio) geeft
booglengte 3,150.
Dus de omtrek van het vlakdeel V in de figuur
hiernaast is
3 f(1) f(4) booglengte 7,400.

10.4
11
Wentelen om de y-as

Het vlakdeel V ligt rechts van de y-as en
wordt ingesloten door de grafiek
van de functie f, de y-as en
de lijnen y a en y b.
De inhoud van het lichaam L dat ontstaat als V om
de y-as wentelt is
I(L)

10.4
12
vwo B 10.1 Riemannsommen en integralen
13
Riemannsommen

De oppervlakte van het vlakdeel V in figuur a is
te benaderen met behulp van rechthoeken.
Daartoe verdeel je het interval 1, 5 in even
lange deelintervallen.
Hiernaast is gekozen voor rechthoeken met lengte
?x 1.
Voor de hoogte van de rechthoeken kun je
de kleinste functiewaarde op het deelinterval
nemen,
je krijgt dan de ondersom, zie figuur b
de grootste functiewaarde op het deelinterval
nemen,
je krijgt dan de bovensom, zie figuur c
de functiewaarde van een willekeurig getal xk
van
het deelinterval nemen, zie figuur d
In het algemeen wordt de som van de oppervlakten
van rechthoeken genoteerd als
Dit heet een Riemannsom. Ook de ondersom en
bovensom zijn Riemannsommen.
Er geldt ondersom O(V) bovensom.

14
opgave 5
f(x) a f(x) 0 geeft 12 2x 0 -2x
-12 x 6 De middens van de intervallen zijn
0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 en 5,5. O(V)
(f(0,5) f(1,5) f(2,5) f(3,5) f(4,5)
f(5,5)) 1 6,28 b ondersom (f(1) f(2)
f(3) f(4) f(5) f(6)) 1 4,91 bovensom
(f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) f(5)) 1
7,91 Dus 4,91 O(V) 7,91.
15
Integralen

Door bij een Riemannsom de limiet voor ?x naar 0
te nemen krijg je een integraal.
De oppervlakte van het vlakdeel V dat boven de
x-as ligt en wordt ingesloten door de
grafiek van f, de x-as en de lijnen x a en x
b
is
Met de GR kun je integralen nauwkeurig benaderen.
Zo is de oppervlakte van het vlakdeel V dat wordt
ingesloten door de grafiek van
f(x) , de x-as en de y-as gelijk
aan
dx
De optie fnInt(TI) of ?dx (Casio) geeft O(V)
1,89.
De oppervlakte van het vlakdeel W dat wordt
ingesloten door de grafiek van f en de
lijnen x 2 en y v2 bereken je met O(W)
O(rechthoek) O(V).
Dus O(W) 2 v2 1,89 0,94.

16
opgave 9
f(x) 5 geeft 6x x2 5 -x2 6x 5 0 x2
6x 5 0 (x 1)(x 5) 0 x 1 ? x
5 De optie fnInt (TI) of ?dx (Casio)
geeft 30,667 O(V)
30,667 4 5 10,67
17
opgave 10
a f(x) 1 geeft x3 5x2 6x 1 1 x3
5x2 6x 0 x(x2 5x 6x) 0 x(x 2)(x
3) 0 x 0 ? x 2 ? x 3 De
optie fnInt (TI) of ?dx (Casio) geeft
0,583. O(V) 1 1
0,583 0,42 b De optie fnInt (TI) of ?dx
(Casio) geeft
4,667. O(W) 4,667 2 1 2,67
18
vwo B 10.2 Oppervlakten en inhouden
19
Oppervlakte van een vlakdeel tussen grafieken

In de figuur hiernaast is f(x) g(x) op het
interval a, b.
Daarom kan de oppervlakte van het vlakdeel V
benaderd
worden met behulp van de Riemannsom
Voor de exacte oppervlakte neem je hiervan de
limiet
voor ?x naar 0. Je krijgt O(V)
vb.
Het vlakdeel W wordt ingesloten door de grafieken
van
f(x) 2x 8 en g(x) -x2
Voer in y1 2x 8 en y2 -x2
Optie intersect geeft x -2,80 en x 2.
De optie fnInt (TI) of ?dx (Casio) geeft
O(W)

22,85
20
opgave 14
f(x) sin(x) met Df 0, p Voer in y1
sin(x) en y2 ¼ x. De optie intersect geeft x
2,4746. De optie fnInt (TI) of ?dx
(Casio) geeft O(V)
en De lijn y ¼ x verdeelt V niet in twee delen
met gelijke oppervlakte.
21
Inhoud van een omwentelingslichaam

Door het vlakdeel U in de figuur hiernaast te
wentelen
om de x-as ontstaat het lichaam L.
I(L)
Door het vlakdeel V in de figuur hiernaast te
wentelen
om de x-as ontstaat het lichaam M.
I(M)
vb.
Het lichaam N ontstaat door het vlakdeel W,
ingesloten door de grafieken van f(x) 2x 8 en
g(x) -x2 , te wentelen om de x-as.
De optie fnInt (TI) of ?dx (Casio) geeft
I(N)

593,4
22
opgave 21
Voer in y1 -0,1x4 x2 x 3 De optie zero
(TI) of ROOT (Casio) geeft x -3,14 en x
3,83. De optie fnInt (TI) of ?dx (Casio)
geeft I(L)
23
opgave 29
Voer in y1 -?x3 2x2 en y2 x 4 De optie
intersect geeft x -1,11, x 2,22 en x
4,88. De optie fnInt (TI) of ?dx
(Casio) geeft I(beide lichamen)
227,0251 71,1462 748,3616 481,3562
422,88
24
vwo B 10.3 Primitieve functies
25
Primitieven