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FACILITADOR JOSE HERIBERTO CRUZ GARCÍA
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J.H.C.G.
III.- MEDIDAS DE DISPERSIÓN. 3.1
Introducción. Como ya se había citado en el
capítulo II, las medidas de dispersión nos ayudan
a determinar que tanta variación ( o dispersión)
existe dentro de un conjunto de datos. Así, estas
medidas nos ayudan a mejorar nuestro conocimiento
respecto al comportamiento de los datos bajo
estudio. Le puede resultar interesante antes de
adentrarnos en el estudio de las principales
medidas de dispersión el observar la siguiente
gráfica para que el lector reflexione sobre
como se pueden complementar ambos grupos de
medidas (de tendencia central y de dispersión).
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3.2 Variabilidad. En la vida cotidiana es
difícil encontrar situaciones en las que no se
presenten variaciones. Por ejemplo, la medición
de la longitud de un estacionamiento por
diferentes personas, producirá diferentes
resultados el peso en gramos de paquetes de
detergentes en un supermercado es posible que no
sean iguales. Tales variaciones pueden ser de dos
tipos las que se producen debido a una causa
determinada (o asignable) y las que se originan
al azar. En el caso de los paquetes de
detergente, la diferencia en peso, puede ser
causada por los tamaños de las cajas ( esto es un
paquete grande contra un paquete mediano). En
este caso el problema es fácil de identificar y
controlar (esto es, compre el tamaño que desee).
Otras posibles causas, pueden ser variabilidad en
la máquina que llena los paquetes, variaciones en
los pesos de las cajas vacías, absorción de
humedad durante el empacado y transporte del
producto. Para el consumidor es difícil detectar
este tipo de variabilidad y su resultado se
refleja en el peso de los paquetes.
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3.3 El rango. El rango como ya se había
señalado en el capítulo I, es la diferencia entre
el mayor y el menor de los valores de un conjunto
de datos. Así puede recordarse en el ejemplo
No. 1.2.4.1 en donde el rango es r valor
mayor - valor menor 5 - 3.2 1.8 Puede
observarse que le rango es fácil de obtener, pero
debe reconocerse su utilidad como medida de
dispersión para un análisis estadístico posterior
es muy limitada. 3.4 Medidas de desviación
promedio. Existen una serie de medidas que
miden la desviación promedio de cada dato
respecto a una medida de tendencia central
(generalmente la media aritmética) de un conjunto
de datos. De hecho, esta serie de medidas que a
continuación se describirán, son de una gran al
momento de proceder a hacer un análisis
estadístico.
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3.5 Obtención de la desviación promedio absoluta,
la varianza y desviación estándar para datos no
agrupados. 3.5.1 La desviación promedio
absoluta. La desviación promedio absoluta mide
la desviación (en valor absoluto) que existe
entre la media y cada uno de los datos del
conjunto de datos, dividiendo finalmente la suma
de tales desviaciones entre el total de datos.
Esta medida de dispersión puede determinarse con
la siguiente expresión

_ D. P.
A. S ½ Xi - X ½ Ec.
3.1
n _
Donde X Media aritmética. Xi
I-ésimo dato del conjunto de datos.
n Número de datos.
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3.5.2 La varianza. La varianza de una muestra
se calcula obteniendo la desviación al cuadrado
de cada dato con respecto a la media y dividiendo
la suma resultante entre el total de datos menos
uno (n - 1). Se ha observado que para inferir la
varianza de una población a partir de la varianza
de una muestra de la misma, se obtienen mejores
resultados usando n - 1 en la expresión
correspondiente, que sólo divide entre n. La
varianza muestral se puede calcular empleando la
siguiente fórmula
_
s2 (X) S ( Xi -
X )2 Ec. 3.2
n
- 1 Por otra parte, la varianza de una
población se obtiene con la siguiente expresión


s2 (X) S ( Xi - m )2
Ec. 3.3
N
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3.5.3 La desviación estándar. La desviación
estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Así,
la desviación estándar para una muestra se
obtiene mediante la siguiente fórmula

_ s
(X) s2 (X) S ( Xi - X
)2 Ec. 3.4

n - 1 Mientras que la desviación estándar
para una población se determina mediante la
siguiente expresión s (X)
s2 (X) S ( Xi - m )2
Ec. 3.5
N
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Es importante recalcar que tanto la varianza como
la desviación estándar son medidas de dispersión
con mayor aplicación en el análisis
estadístico. Adicionalmente se puede agregar que
la desviación estándar nos permite determinar con
cierto grado de certeza, donde estan localizados
los valores de una distribución de frecuencia con
relación a la media. Esto se puede hacer de
acuerdo al teorema de Chebyshev el cual nos dice
que independientemente de la forma dela
distribución, al menos un 75 de los valores
caerán dentro de más o menos dos desviaciones
estándar a partir de la media de la distribución,
y al menos un 89 de los valores caerán dentro de
más o menos tres desviaciones estándar a partir
de la media.
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Fig. No. 3. 2 Localización de las observaciones
alrededor de la media de una distribución de
frecuencia normal. 68 95 99 m m s m -
s m 2s m 3s m - 2s m - 3s
A continuación se ilustrará la aplicación de
estás medidas de dispersión a través del ejemplo
No. 1.2.5.1 del capítulo I, cuyo arreglo se
muestra en la tabla No. 3.5.1
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Se va a suponer para fines de ejemplificar, que
dichos datos son una muestra. Así entonces las
medidas de dispersión son
_ 1) D. P. A. S ½ Xi -
X ½ 6.16 0.616
n 10

_ 2) Varianza s (X) s2
(X) S ( Xi - X )2 5.776
0.64178
n - 1 9 3) Desviación
estándar s (X) s2 (X)
0.64178 0.8011
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3.6 Obtención de la varianza y desviación
estándar para datos agrupados.
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De manera similar que como se hizo con las
medidas de tendencia central, se puede estimar
con una buena aproximación el valor de la
varianza y de la desviación estándar para un
conjunto de datos agrupados. Así se tiene que
para obtener la varianza de una muestra de datos
agrupados, se puede aplicar la siguiente
fórmula.
_ s2 (X) S fi( Xi -
X )2 Ec. 3.6
n -
1 Donde Xi representa la marca
de clase o punto medio de la clase i-ésima.
fi frecuencia de la clase i-ésima.
n total de datos de la
muestra. Mientras que para obtener la varianza
para una población de datos agrupados, se puede
aplicar la siguiente expresión
s2 (X) S fi( Xi - m
)2 Ec. 3.7
N
Donde N total de datos de la
población.
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Por otra parte, para la desviación estándar ya se
sabe que simplemente es extraer la raíz cuadrada
de la varianza A continuación, se ilustrara la
aplicación de estás medidas a través del ejemplo
No. 2.3.2 del capítulo II, que aquí se reproducen.
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Por lo tanto, la media será
_
X S f i Xi 170.12
6.075
n 28 Si además, se
considera que dichos datos forman parte de una
muestra, entonces
_ 1) la varianza s2
(X) S fi( Xi - X )2 132.1771
4.895
n - 1 27 2.) la
desviación estándar s (X) s2 (X)
4.895 2.21
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3.7 Asimetría y kurtosis. En términos de
asimetría, una curva de frecuencia puede ser
1) asimétrica negativa asimétrica con la
"cola" hacia la izquierda 2) positivamente
sesgada asimétrica con la "cola" hacia la
derecha. 3) simétrica. En términos de
kurtosis, una curva de frecuencia puede ser 1)
platikúrtica plana con las observaciones
distribuidas de manera relativamente uniforme en
todas las clases. 2) leptokúrtica puntiaguda,
con las observaciones concentradas en un estrecho
rango de valores 3) mesokúrtica ni plana ni
puntiaguda, en término de los valores observados.
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3.8 Coeficiente de asimetría de Pearson. El
coeficiente de asimetría de Pearson mide la
desviación de la asimetría, expresando la
diferencia entre la media y la mediana con
respecto a la desviación estándar del grupo de
mediciones. Las fórmulas son

Asimetría poblacional 3(m - m)
Ec. 3.8
s
_
Asimetría de la muestra 3(X - m)
Ec. 3.9
s Para una
distribución simétrica, el valor del coeficiente
de asimetría es siempre 0, porque la media y la
mediana son iguales. Para una distribución con
asimetría positiva, la media es siempre mayor que
la mediana y, por ello, el valor del coeficiente
es positivo. Para una distribución con asimetría
negativa, la media es siempre mayor que la
mediana y, por ello el valor del coeficiente es
negativo.
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A continuación se calculará el coeficiente de
asimetría de Pearson para el ejemplo No. 2.3.2
del capítulo II, como sigue Datos _
X
6.075, m 6.355 y s 2.21
_
Asimetría de la muestra 3(X - m) 3(6.075
- 6.355) - 0.38
s
2.21 Así, la distribución de las calificaciones
tiene una ligera asimetría negativa, es decir,
"esta sesgada hacia la izquierda".