El problema de la propagaci

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Contenido

• El refinamiento de mallas triangulares no
  estructuradas.
• Particiones de triángulos en 2D.
• El problema de la propagación del refinamiento.
  Definiciones.
• Comportamiento asintótico y propiedades
  fractales.
• Pruebas numéricas.
• Conclusiones.

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El refinamiento de mallas en 2D
Aplicación de un modelo de evolución no lineal a
la propagación del fuego.
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El refinamiento de mallas en 2D
Aplicación de un modelo de evolución no lineal a
la propagación del fuego.
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El refinamiento de mallas en 3D
BOLA-3D
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Particiones de símplices en 2D
Similar Bisección Simple 4T-LE Baricéntrica
G.F. Carey, 1976
Rosenberg, 1975
Rivara, 1984
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Estrategias de refinamiento

• 1. Inserción de puntos Delaunay
• Ángulos interiores degeneran

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Extensión por conformidad
Definición (Conformidad) Una malla es conforme si
la intersección de dos triángulos disjuntos es un
vértice o un lado.
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Propagación del Refinamiento
El problema de la propagación al refinar por el
lado mayor
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Camino de Propagación por el Lado Mayor
Definición (Camino de Propagación por el Lado
MayorLEPP) LEPP (Longest Edge Propagation Path)
de un triángulo t0. Lista ordenada de triángulos
adyacentes t0,t1,..., tn tal que ti es vecino
de ti-1 por el lado mayor de ti-1
Rivara, 1997
t0
t1
t2
LEPP(t0)t0,t1,t2
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Definiciones previas
Definición (Vecindad de Conformidad, Vc(t) ) Sea
una malla triangular. Al refinar un triángulo
t, la Vecindad de Conformidad Vc(t) es el
conjunto de triángulos que se han de refinar
para cumplir la conformidad.

• Definiciones (M1 y M2)
• M1 Número de triángulos en Vc(t)
• M2 Longitud máxima de los LEPPs de un triángulo
  específico.
• Radio de la Vecindad de Conformidad con
  centro t.

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Definiciones previas
Definición (Par de Triángulos Terminales) Son los
triángulos que comparten una arista mayor
común. En otro caso decimos que son triángulos
simples.
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Mallas equilibradas
Definición (Malla equilibrada) Una malla es
equilibrada si está compuesta de pares de
triángulos terminales.
Malla equilibrada Malla no equilibrada
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Grado de equilibrio

• Definición. Grado de equilibrio.
• Cociente entre el número de pares de triángulos
  terminales (TT) y el número total de triángulos
  en una malla (T)
• Proposición
• Sea una malla equilibrada. Entonces para todo
  triángulo interior, M15 y M22.
• M15 ? M22.
• Si M15 y M22, entonces la malla de los
  triángulos interiores es equilibrada.

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Propiedad Asintótica de la partición

• Proposición
• La aplicación sucesiva de la partición 4T-LE a
  los triángulos de una malla hace que el grado de
  equilibrio tienda a 1.
• Corolario
• La aplicación sucesiva de la partición 4T-LE a
  los triángulos de una malla hace que M15 y M22.
• Metodología de demostración
• Analizar los distintos casos posibles de
  triángulos a refinar
• Caso triángulo rectángulo
• Caso triángulo acutángulo
• Caso triángulo obtusángulo (dos tipos)

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Análisis de la demostración
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Propiedad Asintótica. Consecuencias

• 1. Las mallas generadas por refinamiento 4T-LE
  son cada vez más equilibradas
• 2. En las mallas equilibradas, la propagación del
  refinamiento es mínima.
• 3. Se ha obtenido M1?5 y M2?2
• Un límite para el número de triángulos refinados
  al refinar un triángulo concreto (M1 ? 5)
• Un límite para el tamaño de la lista del LEPP de
  un triángulo concreto (M2 ? 2)
• 4. Los ángulos mayores de los triángulos tienden
  a 90º

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Propiedad Asintótica de la partición (cont)
Comportamiento ante el refinamiento Local
Rivara M.C. and Vemere M., Cost Analysis of the
Longest-Side (Triangle Bisection)
RenementAlgorithm for Triangulation, Eng. Comp.
(1996), 12224--234.
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Propiedades Fractales

• El conjunto de Cantor

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Conjunto Fractal de Cantor
Definición (Conjunto Fractal de Cantor) Sea
el conjunto de triángulos no pares terminales
en una malla . Una polilínea será el conjunto
de las aristas mayores de los triángulos en
, y el conjunto de las polilíneas de se
denominará Conjunto Fractal de Cantor de ,
y se denota por .
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Propiedad Fractal

• Proposición
• Sea una secuencia de mallas anidadas
  obtenidas por refinamiento 4T-LE. Si es la
  primera malla en la que tras refinar, no aparecen
  nuevas clases de triángulos, entonces

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Conjunto Fractal de Cantor
Triángulo acutángulo (idem t. rectángulo)
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Conjunto Fractal de Cantor
Triángulo obtusángulo
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Pruebas Numéricas
Objetivo Realizamos refinamientos globales
según la partición 4T-LE a las siguientes mallas
y calculamos el grado de equilibrio, M1 y M2.
Malla Pentagonal arbitraria Malla tipo
Delaunay
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Pruebas Numéricas (cont.)
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Pruebas Numéricas (cont.)
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Pruebas Numéricas (cont.)
Comparamos el grado de equilibrio de ambas mallas
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Pruebas Numéricas (cont.)
REFINAMIENTO LOCAL
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Pruebas Numéricas (cont.)
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Conclusiones

• Se ha caracterizado el problema de propagación
  del refinamiento por conformidad.
• Se ha obtenido
• Un límite para el número de triángulos refinados
  al refinar un triángulo concreto (M15)
• Un límite para el tamaño de la lista del LEPP de
  un triángulo en concreto, (M22)
• Se ha introducido el concepto de mallas
  equilibradas y grado de equilibrio, útiles para
  caracterizar la automejora de la partición 4T-LE
  en el refinamiento global y local.
• Se ha definido el Conjunto Fractal de Cantor del
  refinamiento asociado a una triangulación.

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(No Transcript)