Diapositiva 1

1
Tema 8
El lenguaje algebraico. Ecuaciones.
2
Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico
El largo de un campo de fútbol es el doble del
ancho más 10 metros
Esta información podría expresarse de otra forma
Llamamos x al ancho del campo.
Ancho
El doble será 2 x
Y el doble más 10 m 2 x 10
Largo
Por tanto, 2 x 10 expresa el largo del
campo de fútbol.
Las dimensiones de nuestro campo, expresadas en
forma algebraica, son
El lenguaje algebraico utiliza letras, números y
signos de operaciones para expresar información.
x
2x 10
3
El lenguaje algebraico algunos ejemplos
Lenguaje algebraico
Lenguaje ordinario
Un número aumentado en 2
a 2
(Hemos llamado a al número)
Un número disminuido en 5
c 5
(Llamamos c al número)
Perímetro del cuadrado de lado x
4x
El cuadrado de un número
x2
El cuadrado de un número menos el mismo número
x2 x
El número natural siguiente al número n
n 1
Hoy Antonio tiene 12 años cuando pasen x años
tendrá
x 12
Hoy Laura tiene 13 años hace x años tenía
13 x
4
Expresiones algebraicas
Las fórmulas que se utilizan en geometría, en
ciencias y en otras materia son expresiones que
contienen letras, o números y letras
b
b
a
(t tiempo en horas)
Una expresión algebraica es una combinación de
números y letras unidos por los signos de las
operaciones aritméticas de suma, resta,
multiplicación, división y potenciación.
Observaciones
x2 y1
1 x2 y1
x2 y
x2 y
1. El factor 1 no se escribe.
2. El exponente 1 tampoco se escribe.
5abc3
5 a b c3
3. El signo de multiplicación no suele ponerse.
5
Valor numérico de una expresión algebraica
Observa el cuadrado de lado x. Su área es x2.
x2
Si queremos hallar el área de un cuadrado
concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm de
lado, se sustituye x por 4
A x2 42 16
16 es el valor numérico de la expresión x2
cuando se sustituye x por 4.
Valor numérico de una expresión algebraica es el
número que se obtiene al sustituir las letras de
la misma por números determinados y hacer las
operaciones indicadas en la expresión.
Ejemplos
para x 2, es 5 2 6 10 6 4
1. El valor numérico de la expresión algebraica
5x 6
para x 10, es 5 10 6 50 6 44
2. El valor numérico de la expresión algebraica
5a2 b2 para a 4 y b 10 es
5 42 102 5 16 100 180
6
Suma y resta de expresiones algebraicas
Dos segmentos miden 5x y 3x, respectivamente.
x x x
x x x x x
3x
5x
Cómo podríamos expresar su longitud total?
Suma
Si ponemos un segmento a continuación del otro,
se tiene
x x x x x
x x x
5x 3x 8x
Cómo podríamos expresar la diferencias de sus
longitudes?
Resta
x x x x x
5x 3x 2x
No se pueden sumar 2x x2 Se deja indicado
Para que dos expresiones puedan sumarse o
restarse es necesario que sean semejantes.
Observación
Para que las expresiones algebraicas unidas por
las operaciones suma y resta se puedan reducir a
una expresión más sencilla, sus partes literales
deben ser iguales. Se dice entonces, que son
expresiones semejantes.
7
Igualdades y ecuaciones
La balanza está equilibrada.
10 2 4 8
Tenemos una igualdad numérica
Una igualdad numérica se compone de dos
expresiones numéricas iguales unidas por el
signo igual ().
10 2 4 8
Toda igualdad tiene dos miembros. El primero a la
izquierda del signo igual, y el segundo a la
derecha.
2º miembro
1er miembro
Esta segunda balanza también está en equilibrio
aunque un peso es desconocido le llamamos x
Se tendrá la igualdad x 4 8 4
Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la
incógnita.
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros
hay letras y números relacionados por operaciones
aritméticas.
La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce.
La ecuación es de primer grado si la incógnita
lleva de exponente 1.
8
Solución de una ecuación
Cuánto pesará el trozo de queso si la balanza
está equilibrada?
Platillo izquierdo
x 100
Platillo derecho
500 200
Como pesan igual, escribimos la ecuación ?
x 100 500 200
La incógnita x tiene que valer 600, pues 600
100 500 200 700
El valor x 600 es la solución de la ecuación.
La solución de una ecuación de primer grado es el
valor de la incógnita para el que se verifica la
igualdad.
Resolver una ecuación de primer grado es
encontrar su solución.
Para comprobar que una solución es correcta hay
que sustituir en la ecuación y ver que se cumple
la igualdad.
La solución de la ecuación 2x 2 x 12 es x
14
Ejemplo
pues 2 14 2 14 12 26
9
Ecuaciones equivalentes
La solución de las dos ecuaciones siguientes es x
3
Sustituyendo
a) 4 4x 25 3x
4 4 3 16 y 25 3 3 16
b) 7x 4 25
7 3 4 25, que es el 2º miembro
Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la
misma solución.
Observa como pueden hacerse ecuaciones
equivalentes a otra dada
Ecuación dada
8x 16
Su solución es x 2. (Es cierto?)
Le sumamos 2 a cada miembro
2ª ecuación
2 8x 2 16
2 8x 18
Restamos 6x a cada miembro
3ª ecuación
2 8x 6x 2 16 6x
2 2x 18 6x
Comprueba que x 2 es la solución de las tres
ecuaciones.
10
Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
Observa si de la balanza de la izquierda se
quita de los dos platillos la pesa 5, el
equilibrio se mantiene.
Para resolver ecuaciones es útil buscar otra
semejante a la dada pero que sea más fácil. Para
ello es necesario conocer algunas reglas.
x 10
x 5 10 5
Luego
Regla de la suma
Si a los dos miembros de una ecuación se suma o
resta un número o una expresión semejante a las
utilizadas en la ecuación, se obtiene otra
ecuación equivalente a la dada.
Ejemplo
Para resolver la ecuación 2x 8 x
25 8
8 8
Restamos 8
2x x 25
x x
Restamos x
x 25
La solución es x 25
11
Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
Resuelve x 5 13.
EJEMPLO
En el primer miembro de la ecuación, 5 se resta
de x. Para aislar x, hay que deshacer la resta
aplicando la operación inversa de sumar 5. Para
mantener el equilibrio, debes sumar 5 a cada lado.
Solución
x 5 13
Escribe la ecuación original.
x 5 5 13 5
Suma 5 a cada lado.
x 18
Simplifica.
? La solución es 18.
? COMPROBACIÓN
x 5 13
Escribe la ecuación original.
18 5 13
Sustituye x por 18.
13 13
La solución es correcta.
12
Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
Resuelve x 4 3.
EJEMPLO
? COMPROBACIÓN
x 4 3
Escribe la ecuación original.
Sustituye x por 7.
x 4 4 3 4
Resta 4 a cada miembro.
x 4 3
x 7
Simplifica.
7 4 3
? La solución es 7.
3 3
La solución es correcta.
Resuelve y 3 14.
EJEMPLO
y 3 14
Escribe la ecuación original.
y 3 3 14 3
Suma 3 a cada miembro.
y 11
Simplifica.
? La solución es 11.
13
Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
Resuelve 3a 7 2a.
EJEMPLO
3a 7 2a
Escribe la ecuación original.
3a 2a 7 2a 2a
Resta 2a a cada miembro.
a 7
Simplifica.
? La solución es 7.
? COMPROBACIÓN
3a 7 2a
37 7 27
Sustituye x por 7.
21 21
La solución es correcta.
14
Resolución de ecuaciones. Regla del producto
Observa las dos balanzas y las ecuaciones que
representan
x 5
4x 20
Hemos dividido por 4
Luego
Regla del producto
Si a los dos miembros de una ecuación se los
multiplica o divide por un número distinto de
cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la
dada.
Ejemplo
Para resolver la ecuación 4x 3 2x 9
Restamos 3
4x 2x 6
Restamos 2x
2x 6
__ __ 2 2
Dividimos por 2
x 3
La solución es x 3
15
Resolución de ecuaciones. Regla del producto
Resuelve 3x 15.
EJEMPLO
En el lado izquierdo de la ecuación, x está
multiplicada por 3. Para aislar x, hay que
deshacer la multiplicación con la operación
inversa de dividir por 3.
Solución
3x 15
Escribe la ecuación original.
Divide cada lado por 3.
x 5
Simplifica.
? La solución es 5.
? COMPROBACIÓN
3x 15
35 15
Sustituye x por 5.
15 15
La solución es correcta.
16
Resolución de ecuaciones. Regla del producto
Resuelve 7x 56.
EJEMPLO
? COMPROBACIÓN
7x 56
Escribe la ecuación original.
Sustituye x por 8.
7x 56
Divide cada lado por 7.
7(8) 56
x 8
Simplifica.
56 56
? La solución es 8.
La solución es correcta.
Resuelve
EJEMPLO
Escribe la ecuación original.
? COMPROBACIÓN
Multiplica los dos miembros por 5.
y 60
Simplifica.
? La solución es 60.
17
Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del
producto
En los siguientes ejemplos se utilizan los dos
principios, el de la suma y el del producto.
Resuelve 3x 4 17.
EJEMPLO
3x 4 17
Escribe la ecuación original.
3x 4 4 17 4
Suma 4 a cada miembro.
3x 21
Simplifica.
Divide cada lado por 3.
? COMPROBACIÓN
3x 4 17
Simplifica.
x 7
3(7) 4 17
? La solución es 7.
17 17
18
Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del
producto
Resuelve
EJEMPLO
Escribe la ecuación original.
Resta 8 a cada miembro.
Simplifica.
Multiplica los dos miembros por 5.
25 n
Simplifica.
? La solución es 25.
19
Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del
producto
Resuelve 5 x 7.
EJEMPLO
5 x 7
Escribe la ecuación original.
5 5 x 5 7
Resta 5 a cada miembro.
1x 2
Simplifica.
Divide por 1.
Simplifica.
x 2
? COMPROBACIÓN
5 x 7
? La solución es 2.
5 (2) 7
7 7
20
Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del
producto
Resuelve b 8 18 3b
EJEMPLO
b 8 18 3b
Escribe la ecuación original.
b 3b 8 18 3b 3b
Resta 3b a cada miembro.
b 3b 8 18
Simplifica.
b 3b 8 8 18 8
Resta 8 a cada miembro.
b 3b 18 8
Simplifica.
2b 10
Agrupa.
Divide por 2.
b 5
Simplifica.
? La solución es 5.
21
Transposición de términos en una ecuación
Ya has visto que para resolver ecuaciones lo que
hacemos es eliminar términos sumando, restando,
multiplicando o dividiendo los dos miembros de la
ecuación por un mismo número o expresión. Ese
proceso podemos realizarlo de manera más rápida
haciendo que ese mismo término aparezca en el
otro miembro de forma inversa a como estaba
? Si estaba sumando, aparece restando, y si
estaba restando, aparece sumando.
? Si estaba multiplicando, aparece dividiendo, y
si estaba dividiendo, aparece multiplicando.
Esta técnica se denomina transposición de
términos.
22
Transposición de términos en una ecuación
4x 8 6 2x
4x 8 6 2x
a) Si sumamos a los dos miembros 8,
4x 8 8 6 2x 8
4x 6 2x 8
Esto equivale a pasar directamente el término 8
al segundo miembro como 8.
b) De la misma forma, para eliminar 2x del
segundo miembro lo pasamos al primero como 2x.
2x 14
c) Operamos y, en la ecuación obtenida 2x 14,
pasamos el 2 al segundo miembro dividiendo. Este
último paso se llama despejar la incógnita.
23
Propiedad distributiva (Quitar paréntesis)
a(b c) ab ac
4(5 8)
(6 9)2
45 48 20 32 52
62 92 12 18 30
Con expresiones algebraicas (letras y números)
funciona igual.
2(x 4) 2x 24 2x 8
Cuidado con los signos negativos (). Recuerda la
regla de los signos

2(4x 1) 24x 21 8x 2
(y 3)6 y6 36 6y 18
4(x 2) 4x 4(2) 4x 8
2(n 3) 2n (2)( 3) 2n 6
24
Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis.
3(x 7) 5(x 1) 4x
3x 21 5x 5 4x
1º. Quitar paréntesis
3x 21 x 5
2º. Operar 5x 4x
2x 21 5
3º. Restar x
? COMPROBACIÓN
2x 16
4º. Sumar 21
3(x 7) 5(x 1) 4x
x 8
5º. Dividir por 2
3(8 7) 5(8 1) 48
31 57 48
3 35 32
3 3
La solución es correcta.
25
Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis.
Resuelve 6 (4 x) 8x 2(3x 5)
EJEMPLO
6 (4 x) 8x 2(3x 5)
Ecuación original
Quita paréntesis.
6 4 x 8x 6x 10
Simplifica.
x 2 2x 10
Traspones términos.
x 2x 10 2
Agrupa.
3x 12
Divide por 3.
? COMPROBACIÓN
6 (4 4) 84 2(34 5)
x 4
6 8 32 34
2 2
26
Resolución de ecuaciones. Ecuación con
denominadores.
Recuerda cómo se calcula el m.c.m.
1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica
por 12, que es m.c.m.(4, 2, 6)
4 22
3x 30 2x 60
2 2
3x 2x 30
6 23
2º. Restar 30
Para el m.c.m. tomamos los factores comunes y los
no comunes al mayor exponente
x 30
3º. Operar 3x 2x
m.c.m.(4, 2, 6) 22 3 12
27
Resolución de ecuaciones. Ecuación con
denominadores.
EJEMPLO
1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica
por 4, que es m.c.m.(2, 4)
2(x 1) (x 3) 2
2º. Quitar paréntesis.
2x 2 x 3 2
3º. Agrupar términos semejantes.
3x 5 2
4º. Transponer términos.
3x 2 5
5º. Despejar la incógnita.
3x 3
x 1
28
Resolución de problemas
Problema 1 La madre de Jorge tiene 39 años y
dice que tiene 6 años menos que el triple de la
edad de su hijo. Qué edad tiene Jorge?
1º. Interpretación del enunciado
Lenguaje algebraico
x
Edad de Jorge
39
La madre de Jorge tiene 39
y dice que tiene 6 años menos que el triple de la
edad de Jorge
3x 6
3x 6 39
2º. Plantear la ecuación
3x 45
3º. Resolución de la ecuación
Suma 6
x 15
Divide por 3
Jorge tiene 15 años
4º. Comprobación.
3 15 6 45 6 39
Correcto
29
Resolución de problemas
PROBLEMA 2 Cuál es el número que aumentado en
55 es igual a 6 veces su valor inicial?
x
Un número
? 1º. Interpreta el enunciado y exprésalo
algebraicamente.
x 55
El número aumentado en 55
6x
Seis veces el número
? 2º Plantear la ecuación.
x 55 6x
x 55 6x ? 55 6x x 55 5x ? 55/5
x ? x 11
? 3º. Resolver la ecuación.
El número buscado es 11.
? 4º. Comprobación.
Nº aumentado en 55 ? 11 55 66 6 veces el
número ? 611 66
Correcto
30
Resolución de problemas
PROBLEMA 3 La base de un rectángulo es doble que
la altura y el perímetro mide 78 cm. Calcular las
dimensiones del rectángulo.
? 1º. Interpreta el enunciado y exprésalo
algebraicamente.
Lado menor ? x Lado mayor ? 2x
x 2x x 2x 78
? 2º Plantear la ecuación.
6x 78
? 3º. Resolver la ecuación.
x 13
Perímetro 13 26 13 26 78 cm
? 4º. Comprobación.