Controlli LS

1
Controlli LS

• Esercitazione 4
• Prima Parte

2
Esempio 11.6 (Khalil)

• Si consideri il sistema del secondo ordine
• dove y è luscita misurata del sistema
• Si vuole che yyR dove yR è un opportuno segnale
  di riferimento
• Problema di tracking mediante output feedback

3
Controllore gain-scheduling

• IDEA utilizzare yR come scheduling variable e
  implementare una legge di controllo
  gain-scheduling per il sistema non lineare
• Utilizzo il procedimento visto a lezione
• HP1 (da teoria) con ? costante
• 1 cerco le soluzioni del sistema
• dove

4
Controllore gain-scheduling

• R1
• 2 Linearizzazione

5
Controllore gain-scheduling

• 2 Linearizzazione
• Infatti

6
Controllore gain-scheduling

• R2 Sistema linearizzato
• Verifica controllabilià

La controllabilità non dipende da ?
7
Controllore gain-scheduling
Losservabilità non dipende da ?

• Verifica osservabilità
• Conclusione
• Posso scegliere un controllore per il sistema
  linearizzato parametrizzato da cui poi ottenere
  la legge di controllo gain-scheduling
• Caso 1
• 1.1 progetto
  Hurwitz
• 1.2 progetto
  Hurwitz

8
Caso 1

• 1 progetto analitico di
• impongo autovalori

Equazione caratteristica
9
Caso 1

• impongo autovalori
• Equazione caratteristica desiderata
• Da cui
• Risultato posso assegnare una coppia desiderata
  di poli complessi coniugati per il controllore

10
Caso 1

• 1 progetto analitico di
• impongo autovalori

Equazione caratteristica
11
Caso 1

• impongo autovalori
• Equazione caratteristica desiderata
• Da cui
• Risultato posso assegnare una coppia desiderata
  di poli complessi coniugati per losservatore

12
Caso 1

• Legge di controllo
• Legge di controllo complessiva
• Controllore gain-scheduling

Osservatore
13
Caso 1

• Per il controllore sintetizzato vale la
  proposizione generale del gain scheduling
• Esercizio valutare le proprietà di robustezza
  della legge di controllo ottenuta
• Perturbo i parametri del sistema

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Caso 1 prove Simulink

• Assegno la dinamica del sistema
• wnC1 wnO6 deltaC0.8 deltaO0.7
• Osservo uscita del sistema (SIMULINK)
• wnC1 wnO6 deltaC0.8 deltaO0.7
• Il valore a regime differisce da quello
  desiderato
• wnC10 wnO50 deltaC0.8 deltaO0.7
• Il valore a regime è più vicino a quello
  desiderato
• wnC100 wnO400 deltaC0.8 deltaO0.7
• Il valore a regime è ancora più vicino a quello
  desiderato ma il transitorio peggiora

Il sistema con il controllore 1 sembra poter
ottenere un tracking pratico del segnale di
riferimento
15
Caso 2

• Implementazione di una legge di controllo di tipo
  integrale
• Sistema lineare (yR ? cost.)
• Legge di controllo

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Caso 2

• Sistema esteso
• Verifica controllabilià

Controllabile per ogni ?gt0
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Caso 2

• Guadagni suggeriti
• Autovalori
• Controllore
• Osservatore

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Caso 2 (Simulazioni)

• Verifica comportamento ottenuto al gradino e alla
  rampa (vedi SIMULINK)
• Prova di robustezza
• Sistema perturbato
• Risultato la legge di controllo garantisce
  inseguimento asintotico anche in presenza di
  incertezze
• Tracking asintotico di segnali costanti

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Caso 2 (Simulazioni)

• Prova SIMULINK
• Gradino di 0.6 e successivo gradino di 0.2
  (sovrapposizione)
• OSSERVAZIONE
• la risposta del secondo gradino è oscillatoria!
• Patologia dovuta agli zeri del sistema
• Possibile instabilità del sistema a fronte di
  perturbazioni
• Confrontare successione di gradini
• 0.6, 0.2
• 1, 0.2

20
Caso 2

• Studio del sistema lineare (di sintesi) closed
  loop
• riscrivo (r?yR-? ,? costante)

21
Caso 2

• Sistema esteso

22
Caso 2

• Gain-scheduling controller
• Non-linear system
• Da teoria
• La linearizzazione attorno allequilibrio
  differisce nella sola matrice B

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Caso 2

• Linearizzazione sistema non lineare (con ingresso
  forzante u?r?)
• Idea implementare unazione in avanti per
  assegnare gli zeri del sistema al variare di ?
  (anche soluzioni euristiche essendo il sistema
  complicato!)

Termini aggiuntivi
24
Caso 2

• Gain-scheduling controller with FF
• ATTENZIONE a causa della presenza del termine di
  feed-forward altero lequilibrio del sistema

Attraverso u influenzo entrambi i termini
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Caso 2

• Analiticamente
• Imposizione degli zeri del sistema lineare di
  progetto (vedi teoria)
• Soluzione di unequazione di progetto
• Non sempre lequazione è risolubile!
• Imposizione analitica degli zeri
• Soluzione di una nuova equazione di progetto che
  tenga conto della nuova scelta di zeri desiderata
• Scelta euristica dellazione in feed-forward
• Mediante considerazioni analitiche e prove
  sperimentali
• Utile solo nei casi in cui analiticamente è
  difficile risolvere il problema
• Esistono alti schemi per la soluzione del
  problema in casi complicati (vedere Khalil)

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Caso 2 (prove simulative)

• Verificare come imponendo un termine aggiuntivo
  nella legge di controllo funzione di yR il
  transitorio del sistema si modifica.
• Cercare (verificando empiricamente) unazione di
  feed-forward che migliori il transitorio
• Esempio
• uff -2yR
• uff 7yR-12yR2

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Controlli LS

• Esercitazione 4
• Seconda Parte

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Esercizio 11.5 (Khalil)

• Obiettivi
• Progetto di un regolatore per un levitatore
  magnetico (sistema non lineare) mediante
  linearizzazione
• Verifica delle proprietà di robustezza del
  sistema ottenuto
• Tipologie di controllo
• Azione integrale
• LQR
• ...

29
Modello del sistema

• 1 DOF Magnetic Bearing

Controllore
v
y
yR
30
Modello del sistema

• Equazione del moto della palla
• m massa, y distanza dallinduttore (y0 implica
  pallina prossima allinduttore), k coefficiente
  di attrito viscoso, F(y ,i) forza
  elettromagnetica generata dal magnete con
  corrente sullinduttore pari a i.

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Modello del sistema

• Induttanza del magnete
• L1, L0 e a costanti positive
• Nota linduttanza cresce quando la pallina è
  vicina allinduttore
• Energia accumulata nellelettromagnete

32
Modello del sistema

• Forza sulla pallina
• Legge di Kirchhoff
• R è la resistenza del circuito e
  è il flusso del campo magnetico

33
Modello del sistema

• Variabili di stato
• Ingresso del sistema
• Modello non lineare

34
Requisito 1

• Sia yRgt0 la posizione desiderata per la pallina,
  trovare i valori Iss e Vss della corrente e del
  voltaggio necessari per mantenere la posizione
  yyR a regime.
• Steady-state yyR

35
Requisito 1

• 1.1
• 1.2

36
Requisito 2

• Analizzare la stabilità del punto di equilibrio
  ottenuto ponendo u vss

37
Requisito 2

• Sistema lineare ottenuto
• dove

38
Requisito 2

• Utilizzo Teorema Indiretto di Lyapunov
• Studio degli autovalori della matrice A
• Lespressione di A è complicata.....
• Introduzione al Symbolic Toolbox di Matlab
• Scopo calcolo di espressioni letterali
• Defizione di una variabile letterale
• Comando syms
• Es syms x solve(x22x1)

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Requisito 2

• Non tutte le funzioni Matlab sono compatibili con
  variabili simboliche!
• Esempio di funzioni utili compatibili
• solve, eig, det
• Idea1
• Applico il comando eig sulla matrice A definita
  mediante variabili di tipo simbolico
• Lespressione ottenuta è comunque molto
  complicata!

40
Requisito 2

• Idea2
• Definisco un sistema benchmark
• Dalla condizione necessaria del criterio di Routh
  deduco che lequazione non ha soluzioni tutte con
  parte reale negativa. Devo verificare che non
  siano possibili soluzioni con autovalori
  sullasse immaginario.

41
Requisito 3.1

• Progetto controllore lineare per il sistema

42
Requisito 2

• Tabella di Routh

Almeno in questa posizione cambia segno!
43
Requisito 2

• Dal criterio di Routh deduco che un autovalore
  della matrice A ha parte reale positiva
• Dal teorema indiretto di Lyapunov deduco che
  lequilibrio è instabile

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Requisito 3

• Progettare un controllore per linearizzazione nel
  punto di equilibrio che corrisponde al valore di
  yR desiderato.
• Utilizzare state-feedback
• Dati del problema
• m0.01 kg, k0.001 N/m/s, a0.005 m, L0 0.01 H,
  L1 0.02 H, R 10 Ohm yR 0.05 m
• Posso utilizzare differenti modalità di sintesi
  del controllore!
• Controllo lineare per assegnamento degli
  autovalori
• Controllo integrale
• LQR

45
Requisito 3.1

• Verifica controllabilità
• rank(ctrb(A,B))3
• Sistema completamente controllabile
• Progetto una retroazione dello stato
• con K progettato secondo un qualche criterio
  (pole placement, LQR, etc)
• Controllore ottenuto

46
Requisito 3.1

• Verifica delle proprietà di robustezza della
  legge di controllo ottenuta
• Si supponga che la massa m sia differente da
  quella nominale
• Verificare in Matlab cosa accade alla variabile
  di interesse y(t)
• La legge di controllo non è robusta! A fronte di
  incertezze il valore a regime differisce da
  quello desiderato (osservare non robustezza
  intrinseca della data a regime dal
  controllo)
• IDEA estensione del sistema con un integratore

47
Requisito 3.2

• Confronto schemi di controllo (nominal case)
• 1
• 2
• 3
• 4

NOTA siccome è possibile imporre le condizioni
iniziali dellintegratore è possibile rendere
equivalenti i 3 schemi di controllo! (VEDI
SIMULiNK)
48
Requisito 3.2

• Sistema esteso
• Verifica controllabilità
• rank(ctrb(Ae,Be))4
• Sistema completamente controllabile

NOTA il sistema è in equilibrio Se x1 coincide
con yR
49
Requisito 3.2

• Progetto una retroazione dello stato
• Legge di controllo completa
• Nota la legge di controllo per migliorare le
  prestazioni include sia il termine di feedforward
  dovuto allazione integrale che quello nominale

50
Requisito 3.2

• KK1 K2 progettato secondo un qualche criterio
  (pole placement, LQR, etc.)
• In particolare consideriamo un regolatore ottimo
  stazionario con Qeye(4), R1
• Imponiamo inoltre un margine di stabilità di 0.1
  per garantire autovalori a parte reale
  sufficientemente negativa

51
Requisito 4

• Verificare in Matlab/Simulink le proprietà
  ottenute svolgendo considerazioni circa la
  robustezza delle differenti leggi di controllo
• Stimare la regione di attrazione del controllore
  variando lo stato iniziale del sistema

52
Controlli LS

• Esercitazione 5
• Linearizzazione del modello dinamico di una aereo
  a decollo verticale (VTOL)

53
Modello VTOL

• VTOL (Vertical Take-Off and Landing)

x
TM
?1
M massa del velivolo J momento di inerzia
rispetto al centro di massa l lunghezza alare
F
?1
l
F
Mg
y
54
Linearizzazione del modello

• Riscrivo il sistema non lineare
• Equilibrio

55
Linearizzazione del modello

• Cambio di variabili
• Modello linearizzato

56
Linearizzazione modello

• Sistema lineare