Diapositiva 1

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CINEMATICA DEI CONTINUI
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Si consideri un mezzo continuo i cui punti nella
configurazione iniziale C, siano riferiti alla
terna cartesiana ortogonale Oxyz. Si supponga ora
che ciascun punto del corpo subisca uno
spostamento caratterizzabile attraverso le sue
componenti secondo gli assi
u u (x, y, z), v v (x, y, z), w w (x,
y, z).
(1)
A seguito di tale movimento il punto P si
trasporterà in P' ed il corpo assumerà la nuova
configurazione C. Poichè nella trasformazione C
supporremo che non avvengano compenetrazioni e
lacerazioni di materia le funzioni di spostamento
si supporranno continue, con le loro derivate
prime, in tutta la regione definita dal volume V.
Si farà inoltre lipotesi che le u, v, w, a meno
di un eventuale moto rigido globale del corpo,
siano ovunque piccolissime ed assimilabili ad
infinitesimi.
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Ciò posto si consideri il generico punto P di
coordinate (x0, y0, z0) e siano u0, v0, w0 le
componenti dello spostamento ad esso competente.
Detto Q un secondo punto di coordinate (x, y, z)
appartenente allintorno infinitesimo di P e cioè
tale che le quantità
possano essere considerate infinitesime, e dette
u, v, w, le componenti dello spostamento del
punto P può porsi
(2)
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Le precedenti rappresentano lo sviluppo in serie
di Taylor delle relazioni (1) in un intorno del
punto P troncato ai termini del primo ordine,
essendo ?, ?, e ?, infinitesimi. Tali relazioni
possono essere assunte quali leggi di variazioni
delle componenti dello spostamento nellintorno
infinitesimo del punto P.
Chiamiamo con M la matrice con componenti le
derivate parziali delle componenti di spostamento
u, v e w
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In forma matriciale le (2) possono essere scritte
(3)
Avendo indicato con
e
le componenti dello spostamento del punto P e del
punto Q, rispettivamente e
vettore posizione del punto Q rispetto al punto P.
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La matrice M può essere decomposta in una somma
di due matrici E e W definite da
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La matrice E si chiama parte simmetrica di M
mentre W parte emisimmetrica di M.
Le 6 componenti indipendenti della matrice E sono
(4)
Quindi la matrice E sarà
(4)
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Con la decomposizione della matrice M E W, la
(3) può essere scritta
La deformazione che subisce lintorno di un punto
può sempre pensarsi come ottenuta per
sovrapposizione di moto rigido U0, di una
deformazione rappresentata da una matrice
emisimmetrica W, che rappresenta una rotazione
rigida, e di una deformazione rappresentata dalla
matrice E. Ai fini dellanalisi della
deformazione, è evidente che il moto rigido di
traslazione e rotazione dellintorno risulta
essere inessenziale.
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Componenti di moto rigido e componenti di
deformazione La deformazione che subisce
lintorno di un punto interno P può sempre
pensarsi come ottenuta per sovrapposizione di un
moto rigido e di un moto di deformazione pura
responsabile delle variazioni di geometria
dellintorno stesso.
Ai fini dellanalisi della deformazione, il moto
rigido dellintorno risulta essere inessenziale.
E opportuno quindi suddividere le aliquote che
competono al moto rigido da quelle di
deformazione reale.
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Con riferimento ad un elemento lineare
infinitesimo lungo lasse x nella configurazione
iniziale, che indichiamo con dx, di estremi
lorigine O ed il punto A avremo
A
dx
O
O
A
In componenti si ha
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La lunghezza finale risulta
Trascurando i termini quadratici nelle
deformazioni e si ha
la lunghezza iniziale Li è dx, quindi ricavando
la deformazione exx

exx si definisce coefficiente di dilatazione
lineare.
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Per vedere il significato fisico dei termini ad
indice diverso, assumiamo che solo exy sia
diverso da zero. Prendiamo inoltre un elemento
infinitesimo di lati dx e dy.
y
y
B
B
C
C
B
dy
A
x
x
dx
O
O
A
A
Se la deformazione è
Il punto 0 non subisce spostamenti, il punto B si
sposterà in direzione x di (exy dy), il punto A
si sposterà in direzione y di (exy dx) ed il
punto C si sposterà in direzione x di (exy dy) ed
in direzione y di (exy dx).
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In particolare langolo in O del triangolo AOA
risulta
Per le ipotesi fatte di deformazioni
infinitesime, la tangente è approssimabile con il
valore del seno e quindi al valore dellangolo
(in radianti)
Analogamento per langolo in O del triangolo
BOB risulta
e quindi per le ipotesi fatte di deformazioni
infinitesime
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Spesso si parla di scorrimento angolare definito
da
quindi la componente exy del tensore di
deformazione infinitesima E rappresenta la metà
dello scorrimento angolare tra le direzioni x ed
y.
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Quando è assegnata la deformazione mediante una
terna di spostamenti u in direzione x, v in
direzione y e w in direzione z, che sono funzioni
continue con le derivate prime e monodrome è
sempre possibile determinare il tensore delle
deformazioni mediante
Ci si può chiedere se, assegnate comunque ad
arbitrio le 6 deformazioni indipendenti exx, ,
eyz pensate come le componenti di un tensore
delle deformazioni, sia possibile far loro
corrispondere una deformazione effettiva per il
corpo B , ossia un campo di spostamenti a cui
corrispondano le deformazioni stesse in accordo
con le relazioni spostamenti-deformazioni.
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La riposta a tale quesito in generale è no e
risiede evidentemente nella possibilità di
integrare il sistema di equazioni differenziali
alle derivate parziali. Si possono determinare
delle condizioni necessarie per lesistenza di un
campo di spostamenti in grado di individuare una
corrispondenza biunivoca tra le due situazioni
di struttura deformata ed indeformata. Esse sono
state trovate per la prima volta da Saint-Venant
e sono note come equazioni esplicite di
congruenza o anche come equazioni di Saint-Venant.
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Osservazione Si può porre il seguente problema
dato il tensore di deformazione infinitesimo E
verificare se esistono una o più direzioni per le
quali accade che lo spostamento è di pura
deformazione lungo la direzioni stesse.
Si può ripetere quanto detto per le tensioni
costruendo il problema agli valori. Sempre
esistono tre radici reali (eventualmente
coincidenti) che individuano le deformazioni
principali in corrispondenza alle quali si
individuano tre direzioni principali di
deformazione che è semplice mostrare risultano
ortogonali fra loro. Nel caso piano è possibile
costruire un cerchio di Mohr per le deformazioni
in modo simile.