Spanning en vervormingen bij buigbalken (2)

1
Sterkteleer ik lust er pap van !
les 5
Spanning en vervormingen bij buigbalken (2)
2
Inwendige buigende koppels
Hoe groot is het buigend koppel Mb ter plaatse
van x?
P
L
3
Inwendige buigende koppels
Haal het gedeelte links van de doorsnede weg.
P
L-
Hoe brengen we het overblijvende deel weer in
evenwicht?
4
Inwendige buigende koppels
Haal het gedeelte links van de doorsnede weg.
L-
P
5
Inwendige buigende koppels
10 N
100
Mb (Nmm)
1000
500
6
Inwendige buigende koppels
10 N
10 N
90
10
Mb (Nmm)
1000
500
7
Inwendige buigende koppels
10 N
10 N
80
20
Mb (Nmm)
1000
500
8
Inwendige buigende koppels
10 N
10 N
70
30
Mb (Nmm)
1000
500
9
Inwendige buigende koppels
10 N
10 N
60
40
Mb (Nmm)
1000
500
10
Inwendige buigende koppels
10 N
10 N
50
50
Mb (Nmm)
1000
500
11
Inwendige buigende koppels
10 N
10 N
40
60
Mb (Nmm)
1000
500
12
Inwendige buigende koppels
10 N
10 N
30
70
Mb (Nmm)
1000
500
13
Inwendige buigende koppels
10 N
10 N
20
80
Mb (Nmm)
1000
500
14
Inwendige buigende koppels
10 N
10 N
10
90
Mb (Nmm)
1000
500
15
Inwendige buigende koppels
10 N
10 N
100
Mb (Nmm)
1000
500
16
Ingeklemde balk met dwarskracht op uiteinde
F
L

• Conclusie
• Aan het uiteinde van een ingeklemde balk is het
  inwendige buigende koppel altijd nul
• Bij de inklemming is het inwendige buigende
  koppel maximaal en gelijk aan de kracht maal de
  lengte van de balk
• Tussen beide punten verloopt het koppel lineair
• De grafiek van het verloop van een koppel langs
  een balk noemt men een buigend moment-lijn. Een
  betere benaming zou zijn buigend koppel-lijn

FL
F
L
17
Oefening 1
5 N
L0,3 m
18
Oefening 2
Teken de buigend-momentlijn voor deze paal,
rechtgehouden door een schoor (de schuine staaf).
Het scharnier zit op de helft van de hoogte.
28 N
1,6 m
30
19
Inwendige buigende koppels
10 N
500 Nmm
10 N
50
50
Mb (Nmm)
1000
500

• Bedenk dat een koppel eigenlijk een samenstel van
  twee krachten is
• even groot,
• evenwijdig,
• en tegengesteld gericht.

20
Inwendige buigende koppels
10 mm
10 N
50 N
50 N
10 N
50
50
Mb (Nmm)
1000
500

• Bedenk dat een koppel eigenlijk een samenstel van
  twee krachten is
• even groot,
• evenwijdig,
• en tegengesteld gericht.

21
Inwendige buigende koppels
50 N
10 N
50 N
22
Inwendige buigende koppels
De situatie van de vorige slide zou van
toepassing zijn op een balk die vrijwel helemaal
is doorgezaagd, op twee uiterste vezels na.
23
Inwendige buigende koppels
In werkelijkheid wordt het inwendige buigende
koppel niet alleen in de uiterste vezels
overgebracht, maar ook ertussenin.
10 N
Het koppel wordt a.h.w. uitgesmeerd tot een
lineair verlopende normaalspanning.
24
Inwendige buigende koppels
10 N
De maximale trek- en drukspanningen hangen af van
het buigende moment ter plaatse. Is het buigende
moment kleiner (dus meer naar het uiteinde) dan
zijn de maximale trek- en drukspanningen ook
kleiner.
25
Inwendige buigende koppels

• NB De buigspanning hangt dus af van
• de x-coördinaat, dus de afstand tot de
  inklemming,
• d e y-coördinaat, dus de afstand tot de neutrale
  lijn.

26
Inwendige buigende koppels
Spanningsanalyse van een ingeklemde balk, gemaakt
met NX Nastran. Afmetingen balk 50 x 8 x1 mm.
(De symbolen voor de inklemming en de kracht zijn
later ingetekend, deze zie je normaal niet) Merk
op dat de spanningsverdeling bij het rechter
uiteinde inderdaad vreemd doet. Er is daar niet
voldaan aan het principe van De Saint Venant.
Helemaal links klopt het ook niet helemaal.
27
Inwendige buigende koppels
Kleuren vormen een alternatieve manier om de
buigspanningen in kaart te brengen. Ze
corresponderen met de pijllengtes.
28
Inwendige buigende koppels
Merk op dat de contour van de spanningsverdeling
hier sterker gekanteld is.
29
Inwendige buigende koppels

• Samenvattend
• De grootte van het inwendige buigende koppel
  langs een ingeklemde balk verloopt van nul bij
  het uiteinde tot maximaal bij de inklemming
• Formule MF(L-x) (waarbij x0 bij
  inklemming)
• De buigspanning over de doorsnede van een
  ingeklemde balk verloopt van maximaal positief
  (trekspanning) via nul op de neutrale lijn naar
  maximaal negatief (drukspanning)
• Formule volgt nog!

30
Oefenopgave
maten in m
A
Gegeven Een tandartslamp van 8 kilogram hangt
aan het plafond van een tandartspraktijk. De
balken zijn massief met een vierkante doorsnede
van 40 x 40 mm. Gevraagd a. Het verloop van de
buigend-momentlijn b. Het verloop van de
normaalspanning in balk A-B c. Het verloop van de
normaalspanning in balk B-C (NB bij b en c
wordt gevraagd het verloop van de normaalspanning
te schetsen, niet te berekenen. De formules zijn
immers nog niet bekend)
2,25
B
C
alleen horizontale draaimogelijkheid
1,50
31
Oefenopgave
maten in m
A
Stap 1 Bepaal de dwarskracht in C. Dit is het
gewicht van de lamp, dus F mg 89,81 78,48 N
2,25
B
C
alleen horizontale draaimogelijkheid
78,48 N
1,50
32
Oefenopgave
maten in m

• Stap 2
• Omdat de horizontale balk in B star verbonden is
  met de verticale balk (er is geen
  scharniermogelijkheid in het vlak van het
  papier), werken er in B in principe
• een horizontale kracht (blijkt 0 te zijn)
• een verticale kracht
• een koppel
• We vinden
• SFx0 HB0
• SFy0 VB78,48 N
• SM0 MB117,72 Nm

B
C
117,72 Nm
78,48 N
78,48 N
1,50
33
Oefenopgave
maten in m
Stap 3 In B is het buigend koppel 117,72 Nm. In C
moet het nul zijn, dit is immers een vrij
uiteinde. We kunnen nu de M-lijn gaan intekenen
in de figuur. Om de grafiek straks niet door de
(nu weggelaten) verticale balk te laten gaan
tekenen we hem onder de balk.
78,48 N
B
C
117,72 Nm
78,48 N
117,72 Nm
1,50
34
Oefenopgave
maten in m
A
Stap 4 We willen nu weten hoe de buigend koppel
lijn in het verticale deel verloopt. We maken
daartoe een doorsnede in een punt ergens boven B.
2,25
B
C
78,48 N
1,50
35
Oefenopgave
maten in m
A
Stap 4 (vervolg) We brengen dit deel weer in
evenwicht door een verticale kracht en een
buigend koppel toe te voegen. Het benodigde
buigend koppel bedraagt 78,48 1500 117720
Nmm
78,48 N
2,25
117720 Nmm
B
C
78,48 N
1,50
36
Oefenopgave
maten in m
A
Stap 4 (vervolg) Wanneer we de doorsnede hoger
(bijvoorbeeld vlak onder A) maken vinden we
hetzelfde resultaat. Het benodigde buigend
koppel bedraagt ook daar 78,48 1500 117720
Nmm Kennelijk is het inwendige buigende koppel
langs de hele balk gelijk aan 117720 Nmm.
117720 Nmm
2,25
B
C
78,48 N
1,50
37
Oefenopgave
maten in m
117,72 Nm
A
Stap 5 We voegen nu het verwijderde verticale
deel van de constructie weer toe, en tekenen de
bijbehorende M-lijn in. Het is verder
gebruikelijk om met boogjes aan te duiden hoe de
buiging zal zijn.
B
C
78,48 N
117,72 Nm
38
Berekenen van drie soorten spanningen
Nieuw!
39
Berekenen van een buigspanning
buigend moment
F
op x mm van de inklemming
bij de inklemming
Nieuw!
weerstandsmoment tegen buiging Dit is een
oppervlakte-eigenschap die afhangt van de vorm en
grootte van de doorsnede.
40
Stappenplan voor het berekenen van de maximale
buigspanning in een balk

• stap A Voor de hele, ongedeelde constructie
• Teken een VLS en bereken reactiekrachten en/of
  -koppels

• stap B Voer per balk de volgende stappen uit
• Teken een VLS en bereken reactiekrachten en/of
  -koppels
• creëer balkelementen door de balk vlak naast een
  tussenkracht of tussenkoppel door te snijden

41

Voorbeeld 1
maten in m
340 N
A
C

• Gevraagd
• Bereken de maximale buigspanning in nevenstaande
  balk
• Teken het verloop van de buigspanning in de
  hoogst belaste doorsnede.

B
1,10
3,00
42

Voorbeeld 1
maten in m
340 N
A
C
B
1,10
3,00

• stap A Voor de hele, ongedeelde constructie
• Teken een VLS en bereken reactiekrachten en/of
  -koppels

340 N
C
A
B
HA
VA
1,10
VC
3,00
43

Voorbeeld 1
maten in m
340 N
A
C
B
1,10
3,00

• stap A Voor de hele, ongedeelde constructie
• Teken een VLS en bereken reactiekrachten en/of
  -koppels

340 N
C
A
B
HA
215,33 N
124,67 N
1,10
3,00
44

Voorbeeld 1
maten in m
340 N
A
C
B
1,10
3,00

• stap B Voer per balk de volgende stappen uit
• Teken een VLS en bereken reactiekrachten en/of
  -koppels
• creëer balkelementen door de balk vlak naast een
  tussenkracht of tussenkoppel door te snijden

340 N

• De constructie bestaat uit maar één balk, dus
  het VLS van de constructie is gelijk aan het VLS
  van de balk
• We gaan de balk pal rechts van punt B
  doorsnijden. Pal rechts wil zeggen niet in punt
  B maar een oneindig klein stukje rechts van B.

C
A
B
HA
215,33 N
124,67 N
1,10
3,00
45

Voorbeeld 1

• stap C Voer per balkelement de volgende stappen
  uit
• Teken het VLS
• Bereken de krachten en koppels die op de
  uiteinden werken

340 N
VB
B
C
A
HB
HB
215,33 N
MB
MB
VB
124,67 N
1,90
1,10
46

Voorbeeld 1
Alternatief Snij de balk pal links van punt B
door.
340 N
B
B
C
A
HB
HB
MB
215,33 N
MB
VB
VB
124,67 N
1,90
1,10
47

Voorbeeld 1
340 N
215,33 N
215,33 N
C
B
A
236,87 Nm
236,87 Nm
B
124,67 N
- 236,87 Nm
-236,87 Nm
1,90
1,10
215,33 N
340 N
samen te voegen tot
-236,87 Nm
1,10
1,90
Het buigend koppel is ter plekke van de last van
340 N het grootst (in absolute zin) met deze
waarde (236,87 Nm 236867 Nmm) gaan we rekenen
om de buigspanning te vinden.
48

Voorbeeld 1

• Tekenafspraak voor M-lijnen
• Het inwendig buigend koppel is
• negatief wanneer de bolle kant van de balk naar
  onderen wijst, er staat dat een minteken bij de
  y-as

236,87 Nm
236,87 Nm
236,87 Nm
236,87 Nm
49

Voorbeeld 1

• Tekenafspraak voor M-lijnen
• Het inwendig buigend koppel is
• negatief wanneer de bolle kant van de balk naar
  onderen wijst, er staat dat een minteken bij de
  y-as
• positief wanneer de bolle kant van de balk naar
  boven wijst

236,87 Nm
236,87 Nm
236,87 Nm
236,87 Nm
50

Voorbeeld 1
340 N
Tot nu toe gevonden
1,10
1,90

• stap C Voer per balkelement de volgende stappen
  uit
• Bereken het traagheidsmoment van de
  balkdoorsnede
• Bereken het weerstandsmoment tegen buiging
  volgens
• Bereken de maximale buigspanning volgens

51

Voorbeeld 1
Dwarsdoorsnede van de balk
0,10
h
0,20
b
Het traagheidsmoment ten opzichte van de x-as
door het zwaartepunt berekenen we volgens
Eenheid van het traagheidsmoment I mm4
52

Voorbeeld 1
0,10
h
0,20
b
340 N
-236,87 Nm
1,10
1,90
53

Intermezzo Theorie

• Het weerstandsmoment tegen buiging Wb berekenen
  we volgens
• Hierin is e de afstand van de neutrale lijn tot
  het uiterste punt van de doorsnede, dat wil
  zeggen het punt dat het verst verwijderd is van
  de neutrale lijn.
• De neutrale lijn is de lijn die gaat door het
  zwaartepunt van de doorsnede
• Deze afstand wordt ook wel genoemd de uiterste
  vezelafstand en wordt gemeten in mm.
• Bij een doorsnede waarvan het profiel
  symmetrisch (bijvoorbeeld een rechthoek of een
  cirkel) is ten opzichte van de neutrale lijn is
  geldt dat

54

Voorbeeld 1
0,10
e
h
0,20
b
55

Voorbeeld 1
buigspanning op het rechterdeel
buigspanning op het linkerdeel
340 N
-236,87 Nm
1,10
1,90