Diapositiva 1

1
RESISTENCIA DE MATERIALES
INGENIERÍA EN PREVENCIÓN DE RIESGOS
PROFESOR JORGE BRAVO G.
2
Introducción

• En Ingeniería, se requiere el uso de materiales
  apropiados para la construcción de obras civiles,
  edificaciones y maquinarias.
• Sin embargo, se requiere también definir un
  sistema de unidades de medida con el que se
  trabajará.

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Sistemas de Unidades

• Existen dos sistemas de unidades principales
• Sistema Métrico Aceptado internacionalmente, se
  conoce por el nombre Sistema Internacional de
  unidades, el cual se abrevia SI.
• Sistema Inglés de uso en los EEUU, cuyo nombre
  es English Gravitational Unit System (EGU). Lo
  que significa unidades gravitacionales inglesas.

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Unidades
TABLA Nº 1. DIMENSIONES BÁSICAS EN EL SISTEMA SI Y EGU. TABLA Nº 1. DIMENSIONES BÁSICAS EN EL SISTEMA SI Y EGU. TABLA Nº 1. DIMENSIONES BÁSICAS EN EL SISTEMA SI Y EGU.
MAGNITUD SISTEMA INTERNACIONAL (SI) SISTEMA ANGLOSAJÓN (EGU)
LONGITUD METRO (m) PIE (ft)
TIEMPO SEGUNDO (s) SEGUNDO (s)
FUERZA NEWTON (N) LIBRA (lbf)
MASA KILOGRAMO (kg) SLUG
TEMPERATURA KELVIN (K) ºF
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Fuerzas

• De acuerdo a las Leyes de Newton, a toda acción
  corresponde una reacción.
• Cuando se aplica una fuerza externa a un cuerpo
  sólido y este permanece estático, se produce una
  reacción interna que equilibra la fuerza externa.
• La magnitud de la reacción interna es el esfuerzo
  y la consecuencia inmediata de la existencia de
  un esfuerzo es la deformación.

6
Efecto de una Fuerza sobre un Sólido
7
Efecto de una Fuerza sobre un Sólido

• La magnitud de la reacción en cada enlace depende
  de la magnitud de la fuerza aplicada y de la
  cantidad de partículas que resisten la acción de
  esa fuerza.
• La cantidad de enlaces que soporta tal fuerza
  esta directamente relacionada con el área
  transversal a la dirección en que actúa la
  fuerza.
• La magnitud del efecto es directamente
  proporcional a F e inversamente proporcional a A

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Resistencia de Materiales

• Se ocupa del estudio de los efectos causados por
  la acción de cargas externas que actúan sobre un
  sistema deformable.
• Calcula las deformaciones correspondientes y las
  relaciones que existen entre la acción de las
  cargas externas y las fuerzas internas inducidas.
• En base al análisis, concluye si una pieza es
  capaz de resistir un sistema de cargas propuesto.

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Materiales de Construcción y Montaje

• Los principales materiales de construcción son
• Acero Muy utilizado en instalaciones
  industriales.
• Hormigón Armado Hormigón con barras de refuerzo
  de acero. Muy utilizado en la construcción de
  edificios.
• Madera Se utiliza en instalaciones provisorias
  y como parte de la estructura de viviendas. No
  tiene un uso masivo en Chile.

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Acero

• El acero es una aleación de hierro y carbono,
  donde este último no supera el 2,1 en peso.
• Es un metal muy duro y tenaz, pero también es
  dúctil, es decir, se deforma antes de romperse,
  por lo que es un muy buen material de
  construcción.
• Existen perfiles normalizados para vigas,
  columnas, y otros elementos estructurales.
• Su densidad es de alrededor de 7.850 kg/m3.

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Acero
Ejemplo de estructura de acero
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Hormigón Armado

• El hormigón corresponde a una mezcla de cemento,
  arena, agua y áridos (piedras) con una
  dosificación determinada.
• El hormigón en masa es un material rígido y duro,
  que una vez fraguado resiste esfuerzos de
  compresión considerables.
• No obstante, el hormigón no tiene buena
  resistencia a la tracción, por lo que se combina
  con barras de acero, las que resisten esos
  esfuerzos.

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Hormigón Armado
14
Madera

• La madera es un material estructural
  caracterizado por su ligereza, su resistencia y
  su calidad de recurso renovable.
• La madera es un material anisotrópico, es decir,
  presenta distintas propiedades en cada dirección.
• En la dirección longitudinal a las fibras, su
  resistencia es mucho mayor que en dirección
  transversal.
• Sus desventajas son su poca durabilidad en
  ambientes agresivos y su baja resistencia al
  fuego.

15
Madera
16
Ensayos Mecánicos
a) Estáticos que simulan el comportamiento del
material con pequeñas velocidades de aplicación
de las cargas                        . Tracción
                       . Compresión             
          . Dureza b) Dinámicos que modelizan
el comportamiento frente a cargas variables con
el tiempo                         . Fatiga
                        . Resiliencia
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Algunos Conceptos

• Ductilidad Es la habilidad de un material para
  deformarse antes de fracturarse.
• Es una característica muy importante en el
  diseño, puesto que un material dúctil es
  usualmente muy resistente a cargas por impacto.
• Tiene además la ventaja de avisar cuando va a
  ocurrir la fractura, al hacerse visible su gran
  deformación.

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Algunos Conceptos

• Elasticidad Es la habilidad que tiene un
  material que ha sido deformado de alguna manera
  para regresar a su estado y tamaño original,
  cuando cesa la acción que ha producido la
  deformación.
• Cuando el material se deforma permanentemente, de
  tal manera que no pueda regresar a su estado
  original, se dice que ha pasado su límite
  elástico.
• Dureza Mide la resistencia a la penetración
  sobre la superficie de un material, efectuada por
  un objeto duro.

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Algunos Conceptos

• Fragilidad Es lo opuesto de ductilidad.
• Un material frágil no tiene resistencia a cargas
  de impacto y se fractura aún en cargas estática
  sin previo aviso.
• Tanto la fragilidad como la ductilidad de un
  material son mediadas arbitrarias, pero puede
  decirse que un material con un alargamiento mayor
  de 5 es dúctil y menor de 5 es frágil.

20
Algunos Conceptos

• Maleabilidad Es la propiedad que permite que un
  material se deforme mediante martilleo, rolado o
  prensado, sin romperse. La maleabilidad, se
  aumenta normalmente cuando el metal esta
  caliente.
• Plasticidad Es la habilidad de un material para
  adoptar nuevas formas bajo la presión y retener
  esa nueva forma.
• Carga Las cargas son fuerzas externas que actúan
  sobre las estructuras. Los tipos de carga más
  habituales son
• 7.1 Los pesos situados sobre las estructuras.
• 7.2 El peso de la propia estructura.
• 7.3 La presión del agua.
• 7.4 La fuerza del viento.

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Algunos Conceptos

• Esfuerzo (s) Fuerza aplicada a un área A
  conocida (kg/cm2).

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Tracción y Compresión
8.1 Esfuerzo de Tensión o Tracción Los extremos
del material son estirados hacia afuera para
alargar al objeto. 8.2 Esfuerzo de Compresión
Los extremos del material son empujados para
contraer al mismo.
TRACCIÓN
COMPRESIÓN
23
Corte
8.3 Esfuerzo de Corte Ocurre cuando sobre el
cuerpo actúan fuerzas que tienden a cortarlo o
desgarrarlo. En este caso, la superficie de
corte es perpendicular a la fuerza aplicada.
CORTE
24
Flexión
8.4 Esfuerzo de Flexión Ocurre cuando sobre el
cuerpo actúan fuerzas que tienden a doblarlo. En
este caso, una parte del cuerpo se comprime y la
otra se tracciona.
FLEXIÓN
25
Torsión
8.5 Esfuerzo de Torsión Ocurre cuando sobre el
cuerpo actúan fuerzas que tienden a retorcerlo.
Un caso es cuando se usa una llave para abrir una
puerta.
TORSIÓN
26
Esfuerzos en la Práctica
27
Deformaciones

• 9. Deformación Unitaria (e)
• Consideremos a la barra de sección constante
  que soportan una carga axial P en su extremo.

Bajo la acción de la carga, la barra sufrirá una
deformación que denominaremos con la letra griega
? (delta)

• (épsilon) deformación unitaria
• deformación total (LF LI )
• Lo longitud original

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Deformaciones

• Deformación Elástica
• Deformación restaurable, debido a un esfuerzo
  aplicado. Se presenta tan pronto como se aplica
  la fuerza, permanece mientras se aplica el
  esfuerzo y desaparece tan pronto como se retira
  la fuerza.
• Deformación Plástica
• Deformación permanente de un material, cuando se
  quita el esfuerzo, el material no regresa a su
  forma original.

29
Ensayo de Tensión en Metales

• El Ensayo de Tensión mide la resistencia de un
  material (metales, aleaciones y plásticos) a una
  fuerza estática o aplicada lentamente,
• Este ensayo es utilizado para determinar la
  resistencia, ductilidad y elasticidad del metal.
• El ensayo de tensión se realiza bajo la norma
  ASTM E-8 o bien la norma chilena NCH 200, entre
  otras.

30
Ensayo de Tensión
Probetas que se utilizan en el ensayo de tracción
31
Ensayo de Tensión
Esquema de probetas que se utilizan en el ensayo
de tracción
32
Esfuerzo y Deformación
33
Esfuerzo Real y Deformación Real
Curva típica de tracción hasta la fractura, punto
F. La resistencia a la tracción está indicada en
el punto M.
34
Resistencia a la Tracción (smáx)

• Esfuerzo obtenido con la máxima fuerza aplicada.
• Es el esfuerzo máximo, basado en la sección
  transversal original, que puede resistir un
  material.
• Es el esfuerzo en el cual comienza la estricción
  en los materiales dúctiles.

Estricción Reducción de la sección de la
probeta, momento a partir del cual las
deformaciones continuarán acumulándose hasta la
rotura de la probeta por ese zona. La estricción
es la responsable del descenso de la curva
tensión-deformación
35
Esfuerzo de Ruptura (sr)

• Es el esfuerzo basado en la sección original,
  que produce la fractura del material.
• La deformación se concentra en la zona del
  cuello, provocando que la fuerza deje de subir.
  Al adelgazarse la probeta por estricción, la
  fuerza queda aplicada en menor área, provocando
  la ruptura.

Esquema de la secuencia de ruptura de las
probetas en un ensayo de tracción
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Diagrama Tensión-Deformación
Ensayamos a tracción una probeta de un
determinado material. Para distintos valores de
la carga medimos la tensión (?) y la deformación
unitaria (e) producidas. Representando
gráficamente, se obtiene el siguiente diagrama.
37
Conceptos Tensión-Deformación

1. Zona Elástica Es la parte donde al retirar la
   carga el material regresa a su forma y tamaño
   inicial.
2. Zona de Fluencia Región en donde el material se
   comporta plásticamente es decir, en la que
   continúa deformándose bajo una tensión
   constante.
3. Zona de Endurecimiento Zona en donde el material
   retoma tensión para seguir deformándose va hasta
   el punto de tensión máxima.
4. Zona de Estricción En éste último tramo el
   material se va poniendo menos tenso hasta el
   momento de la fractura.

38
Conceptos Tensión-Deformación

1. Límite proporcional Tensión máxima para la cual
   la deformación es proporcional a la tensión.
2. Módulo de Elasticidad (E) Relación entre la
   tensión y la deformación del acero. Válida hasta
   el límite proporcional.
3. Tensión de Fluencia Tensión para la cual el
   material se comporta plásticamente, el cual fluye
   a un valor constante de tensión.
4. Límite Elástico Tensión máxima para la cual la
   deformación es completamente recuperable. Pasado
   ese valor, queda una deformación permanente.

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Ejemplo Diagrama Tensión-Deformación
Diagrama Tensión-Deformación para una aleación de
aluminio
40
Ley de Hooke

• Para materiales sometidos a esfuerzos
  tensionantes, a relativamente bajos niveles, el
  esfuerzo y la deformación son proporcionales
• La constante E es conocida como el Módulo de
  Elasticidad, o Módulo de Young. Es una medida
  de la rigidez de un material.
• Es medida en MPa y puede valer de 4.5 x 104 a 4
  x 107 MPa

41
Esfuerzo Cortante (t)

• El Esfuerzo Cortante es usado en aquellos casos
  donde se aplican fuerzas puramente torsionantes a
  un objeto y se denota por el símbolo t.
• La fórmula de cálculo y las unidades permanecen
  iguales como en el caso de esfuerzo de tensión.
• Se diferencia del esfuerzo de tensión sólo en la
  dirección de la fuerza aplicada (paralela para
  cortante y perpendicular para tensión).

42
Esfuerzo Cortante y Deformación

• Deformación de Corte o Cizalle (?) es definida
  como la tangente del ángulo ? y, en esencia,
  determina qué extensión del plano fue desplazado.

43
Esfuerzo Cortante y Deformación

• El Esfuerzo Cortante y la Deformación se
  relacionan de manera similar, pero con una
  constante de proporcionalidad diferente.
• La constante G es conocida como el Módulo de
  Corte y relaciona el Esfuerzo Cortante con la
  deformación en la región elástica.

44
Coeficiente de Poisson (?)

• Cuando un cuerpo es colocado bajo un esfuerzo
  tensionante, se crea una deformación acompañante
  en la misma dirección.
• Como resultado de esta elongación, habrá
  constricciones en las otras dos direcciones.
• El Coeficiente de Poisson (?) es la relación
  entre las deformaciones lateral y axial.

45
Coeficiente de Poisson (?)

• Teóricamente, los materiales isotrópicos tienen
  un valor de Coeficiente de Poisson de 0.25.
• El máximo valor de ? es 0.5
• No hay cambio de volumen durante el proceso.
• La mayoría de los metales presentan valores entre
  0.25 y 0.35.
• Se usa además para relacionar los Módulos
  Elástico y de Corte.

46
Resiliencia

• Es la capacidad de un material para absorber
  energía cuando es deformado elásticamente y
  devolverla cuando se elimina la carga (área bajo
  la curva elástica).
• Módulo de resiliencia corresponde a la energía
  de deformación por unidad de volumen, requerida
  para llevar el material desde una tensión cero
  hasta el límite elástico.

47
Tenacidad

• Capacidad de absorber energía en el campo
  plástico, antes de fracturarse (trabajo de
  fractura).
• Se determina como el área bajo la curva
  esfuerzo-deformación ingenieril. Esta superficie
  es una indicación del trabajo total, por unidad
  de volumen que puede realizarse sobre el material
  sin que se produzca rotura

48
Convención de Signos
Esfuerzo Axial Simple
49
Tensión Admisible

• Es un valor que indica el nivel máximo de
  solicitación al cual puede trabajar un material.
• La tensión de trabajo no debe sobrepasar la
  tensión admisible.
• Este valor se determina arbitrariamente, aunque
  procurando no sobrepasar el rango elástico del
  material, pues de otro modo, podría sufrir
  deformaciones permanentes

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Factor de Seguridad

• Es un valor que permite reducir los niveles de
  incertidumbre en los cálculos de Ingeniería.
  Este coeficiente debe ser mayor a 1.
• Este valor relaciona la resistencia que posee el
  material con las cargas a las que va a estar
  sometido.

51
Elasticidad Volumétrica

• Al igual que en el caso lineal, existen módulos
  de elasticidad de área y volumen.
• Para el caso del módulo de elasticidad de
  volumen, se tiene lo siguiente.

B - (?F/A)/ (?V/V)
B - ?P/ (?V/V)
52
Expansión Térmica

• Corresponde a las variaciones de dimensión en un
  material producto de los cambios de temperatura
  en el mismo. Y la ecuación es la siguiente

En donde
Expansión Térmica
Coeficiente de Expansión Térmica
Longitud inicial del miembro
Cambio de temperatura
53
Expansión Térmica

• Coeficiente de expansión térmica (a) es la
  propiedad de un material que indica la cantidad
  de cambio unitario dimensional con un cambio
  unitario de temperatura.
• Las unidades en que se exprese el coeficiente de
  expansión térmica son

E.U.G
SI
54
Deformación que Causa la Expansión Térmica
Esfuerzo Térmico Estos esfuerzos se generan
cuando a un elemento sometido a cambios de
temperaturas se le sujeta de tal modo que impida
la deformación del mismo, esto genera esfuerzos
en la pieza.
Recordando que
Por la Ley de Hooke
En donde
Expansión Térmica
Coeficiente de Expansión Térmica
Módulo de elasticidad
Cambio de temperatura
55
CENTRO DE MASA

• El Centro de Masa es el punto en donde se
  considera que se encuentra concentrada la masa de
  un cuerpo.
• Es un punto único, independiente de la posición y
  orientación del sólido.

56
CENTRO DE MASA

• Para un conjunto de masas puntuales, el Centro de
  Masa se calcula

57
CENTRO DE MASA

• Para una distribución continua de masa, el Centro
  de Masa se calcula

r
58
MOMENTO DE INERCIA
Es la forma en que se distribuye la masa en torno
al eje de giro. Por ejemplo, para una
misma varilla que gira en torno a dos ejes
distintos, los momentos de inercia también son
distintos.
59
MOMENTO DE INERCIA
Se ha definido el momento de inercia de un objeto
con respecto al eje z como
Caso Sistema Discreto (masas puntuales)
Caso Sistema Continuo (masa distribuida)
60
MOMENTO DE INERCIA EJEMPLOS
61
TEOREMA DE STEINER
62
MOMENTO DE INERCIA DE SECCIONES PLANAS

• En general, el momento de inercia es aplicable a
  cuerpos con una masa definida que rotan alrededor
  de un eje.
• Sin embargo, el concepto también es aplicable a
  áreas de secciones de cuerpos.
• En otras palabras, se pueden reemplazar los
  términos de masa por términos de superficie
  cuando lo que rota es una sección completa
  (flexión de una viga, por ejemplo).

63
MOMENTO DE INERCIA DE SECCIONES PLANAS

• Recordando, en el caso de un sistema distribuido
  y continuo, el momento de inercia respecto al eje
  Z es
• Para el caso de secciones, sólo se reemplaza dm
  por dA

64
MOMENTO DE INERCIA DE SECCIONES PLANAS

• Esto significa que si tenemos una superficie o
  sección completa que rota alrededor de un eje,
  los momentos de inercia en X, en Y y en Z serán
  los siguientes
• Se debe notar que el momento de inercia en Z
  corresponde a la suma de los momentos de inercia
  en Y y en X.

65
MOMENTO POLAR DE INERCIA

• A Iz se le denomina Momento Polar de Inercia,
  pues la sección gira en torno al eje Z, es decir,
  gira dentro del plano XY.
• El momento polar de inercia (M.P.I.) se aplica en
  caso de Torsión de un cuerpo (torsión en la
  sección de un cuerpo).

66
(No Transcript)
67
TORSIÓN

• En el caso en que se aplique torsión sobre un
  cuerpo, éste no gira uniformemente alrededor de
  un eje, sino que el giro varía linealmente según
  la longitud del cuerpo.
• Ej Sea un cilindro macizo de sección circular de
  radio R y longitud L, sometida a un momento
  torsor

68
TORSIÓN

• Considerando la igualdad de arcos entre los
  puntos a y b, según el radio R y la generatriz L,
  se deduce lo siguiente
• R? ?L (1)
• Donde ? es el ángulo de torsión, y ? es la
  deformación angular por cortante.
• Para determinar el esfuerzo cortante máximo tmáx
  del material, se puede utilizar la ley elástica
  de Hooke para la torsión, que establece
• tmáx G.? (2)

69
TORSIÓN

• Si los esfuerzos cortantes no sobrepasan el
  límite de proporcionalidad, dicho esfuerzo se
  distribuye linealmente, siendo cero en el eje
  central de la probeta y logrando un valor máximo
  en la periferia.
• Así, es posible utilizar otra fórmula para
  calcular el esfuerzo cortante máximo, la cual
  considera el momento torsor T aplicado y el
  momento polar de inercia J de la sección de la
  pieza que resiste la torsión
• 
  (3)

70
TORSIÓN

• En el caso de secciones circulares macizas de
  radio R, el momento polar de inercia J es
• 
  (4)
• Por lo tanto, el esfuerzo cortante en la
  periferia del cilindro es igual a
• 
  (5)
• Igualando las ecuaciones (2) y (3), finalmente
  permite obtener
• 
  (6)

71
TORSIÓN

• De la ecuación (1) se puede obtener una expresión
  para el ángulo ? en función del ángulo de torsión
  ?, el que se sustituye en la ecuación (4) para
  llegar a

• Este valor se sustituye en la ecuación (4) para
  llegar a
• El valor del ángulo ? es

72
ALGUNOS EJEMPLOS DE M.P.I.
73
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS

• La flexión induce esfuerzos de tensión en las
  vigas, los cuales son muy importantes en
  Ingeniería.
• Consideremos que una viga tiene el siguiente
  sistema de coordenadas
• Los ejes Y y Z son los ejes principales de
  Inercia

74
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
75
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
76
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
Convención de signos para Corte
Convención de signos para Momento en Z
77
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
Convención de signos para Momento en Y
En la práctica, sólo se trabaja con el caso en
que n gt 0
78
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
Convención de signos (caso Mz)
79
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
Convención de signos (caso My)
80
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS

• SUPERFICIE NEUTRA
• Al flexionar una viga, las secciones
  transversales giran y hacen que las fibras
  longitudinales, inicialmente rectas, se curven,
  alargándose o acortándose según su posición en la
  viga.
• Existen fibras que no se alargan ni se acortan,
  éstas son las fibras neutras.
• La superficie que forman las líneas neutras se
  denomina superficie neutra.

81
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
SUPERFICIE NEUTRA La superficie que forman las
líneas neutras se denomina superficie
neutra. El eje neutro pasa por el centro
de gravedad de la sección de la viga.
82
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
TENSIONES NORMALES Los ejes Y y Z son los ejes
principales de Inercia. Si existe momento en
ambos ejes, tendemos que la tensión longitudinal
será En el caso en que My 0
83
ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
En el caso en que Mz 0
Y la distribución de tensiones normales para este
caso será
84
RADIO DE GIRO

• El radio de giro de un objeto, respecto de un
  eje que pasa a través del CG, es la distancia
  desde el eje en el cual se puede concentrar toda
  la masa del objeto sin cambiar su momento de
  inercia.
• El radio de giro es siempre medido desde el CG y
  se define como

85
MÓDULO DE RESISTENCIA (W)

• Habíamos visto que en el caso en que My 0

• También tenemos que para las fibra extremas de la
  sección se alcanzan las tensiones máximas de
  tracción y compresión

• Otra forma de expresar la ecuación anterior es la
  siguiente

86
MÓDULO DE RESISTENCIA (W)

• Al denominador de la ecuación anterior le
  llamamos Módulo de Resistencia (W).

• Con lo cual la expresión de la tensión máxima en
  Z queda así

• Análogamente, la tensión máxima en Y queda
  expresada de la siguiente manera
• En que

87
MÓDULO DE RESISTENCIA (W)

• En el caso de una sección rectangular
• Y por tanto

88
MÓDULO DE RESISTENCIA (W)

• En el caso de una sección circular
• Y por tanto

89
TENSIONES ADMISIBLES

• En numerosos materiales los esfuerzos límites de
  tracción y de compresión son diferentes y, en
  consecuencia, serán diferentes sus esfuerzos
  admisibles a tracción sadm,t y a compresión
  sadm,c.
• Para dimensionar una sección transversal
  solicitada a flexión pura utilizando este tipo de
  materiales, se ha de verificar

90
TENSIONES ADMISIBLES

• Cuando se utilizan materiales que tienen el mismo
  esfuerzo límite de tracción y de compresión y,
  por tanto, el mismo esfuerzo admisible, el
  anterior criterio de dimensionamiento se reduce
  a
• smáx sadm
• siendo smáx el máximo esfuerzo normal, ya sea de
  tracción o de compresión.
• Al dimensionar una sección solicitada por el
  momento flector Mz utilizando un material que
  tenga el mismo esfuerzo límite de tracción que de
  compresión, el módulo resistente necesario será

91
TENSIONES ADMISIBLES

• De ella se deduce inmediatamente que las
  secciones más económicas en flexión serán
  aquellas que tengan el mayor módulo resistente Wz
  con el menor gasto de material, lo que se
  consigue situando la superficie de la sección lo
  más alejada posible del eje neutro.
• Esta es la razón de que en flexión tengan
  utilización preferente los perfiles delgados
  esquematizados en la siguiente figura

92
FLEXIÓN PURA LEY DE NAVIER

• Sean DE y CF las trazas de los planos que
  contienen a dos secciones rectas indefinidamente
  próximas de un prisma mecánico, sometido a
  flexión pura.

93
FLEXIÓN PURA LEY DE NAVIER

• Si unas fibras se alargan y otras se acortan, por
  la continuidad de las deformaciones existirá una
  fibra neutra que no experimente variación de
  longitud alguna.

94
FLEXIÓN PURA LEY DE NAVIER

• Sea AB la traza de la superficie neutra, cuyo
  radio de curvatura es rz.
• Es fácil demostrar que los triángulos MNB y ABO
  son semejantes, por lo que se podrá escribir

95
FLEXIÓN PURA LEY DE NAVIER

• Como
• se tiene

96
FLEXIÓN PURA LEY DE NAVIER
En virtud de la ley de Hooke ?dx/dx e
s/E por lo que o lo que es lo mismo
97
FLEXIÓN PURA LEY DE NAVIER

• Como el cociente E/r es constante en cada
  sección, podemos enunciar la Ley de Navier
• En una sección sometida a flexión pura, los
  módulos de las tensiones que se ejercen sobre las
  distintas fibras son directamente proporcionales
  a sus distancias a la fibra neutra.
• La representación gráfica de dichas tensiones
  será lineal y, como era de esperar, las máximas
  tensiones de compresión y de tracción
  corresponden a las fibras extremas.

98
RIGIDEZ A FLEXIÓN

• Por otra parte, puesto que
• se obtiene que
• Según esta expresión, la curvatura de la elástica
  es directamente proporcional al momento flector
  Mz e inversamente proporcional a la magnitud EIz
  , llamada Rigidez a Flexión.
• Rigidez a Flexión Oposición que pone el prisma
  mecánico a deformarse.

99
FLEXIÓN SIMPLE CONVENIO DE SIGNOS

• En una viga apoyada en sus extremos A y B, tal
  como la indicada en la figura siguiente, el
  Momento en una sección mn a distancia x de A,
  considerando las fuerzas situadas a su izquierda,
  será
• Mi(x) RAx - P(x - a)
• Y el esfuerzo cortante
• Ti(x) RA P

100
FLEXIÓN SIMPLE CONVENIO DE SIGNOS

• Si consideramos las fuerzas situadas a la derecha
  de la sección, se tendría
• Md(x) RB (a b - x)
• Td(x) -RB
• Evidentemente, se habrá de cumplir
• Mi(x) Md(x)
• Ti(x) Td(x)

101
FLEXIÓN SIMPLE CONVENIO DE SIGNOS

• El esfuerzo cortante y el momento flector serán
  funciones de la abscisa x de la sección
• T T(x)
• M M(x)
• La representación gráfica de estas funciones da
  lugar al diagrama de esfuerzos cortantes y al
  diagrama de momentos flectores,
  respectivamente.

102
FLEXIÓN SIMPLE

• El dimensionado de una viga, exclusivamente a
  flexión, exige el conocimiento de los valores que
  adopta el momento flector en cada sección de la
  viga.
• Vamos, por tanto, a determinar los momentos
  flectores insistiendo especialmente en su valor
  máximo.
• Como norma general, la determinación de momentos
  implica el conocimiento de todas las fuerzas que
  actúan sobre el prisma mecánico.
• Se tratarán los siguientes casos de sustentación
  viga simplemente apoyada y viga en voladizo.

103
MOMENTOS FLECTORES

• Viga simplemente apoyada.
• En todos los casos que se estudian a continuación
  se supone el peso propio de la viga despreciable
  respecto a las cargas que actúan sobre la misma.

104
MOMENTOS FLECTORES CARGA CENTRADA

• a.-Carga centrada y concentrada.
• En primer lugar se determinan las reacciones
  teniendo en cuenta que la suma de componentes
  verticales ha de ser nula
• RA RB - P 0

105
MOMENTOS FLECTORES CARGA CENTRADA

• Tomando momentos respecto del punto medio
• de donde

106
MOMENTOS FLECTORES CARGA CENTRADA

• Haciendo uso ahora de las leyes de los momentos
  flectores

107
MOMENTOS FLECTORES CARGA CENTRADA

• El momento flector máximo se presentará en el
  punto medio de la viga.
• Su valor será

108
MOMENTOS FLECTORES CARGA DESCENTRADA

• b.-Carga descentrada y concentrada.
• En primer lugar se determinan las reacciones
  imponiendo la condición de componente vertical
  nula
• RA  RB - P 0

109
MOMENTOS FLECTORES CARGA DESCENTRADA

• Tomando momentos respecto del extremo B
• RAL - Pb 0,
• de donde

110
MOMENTOS FLECTORES CARGA DESCENTRADA

• Haciendo uso de las leyes de los momentos
  flectores

111
MOMENTOS FLECTORES CARGA DESCENTRADA

• El momento flector máximo tendrá lugar en la
  sección en la que está aplicada la carga y su
  valor se obtiene haciendo x a en cualquiera de
  las ecuaciones de momentos

112
MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME
c.-Carga uniformemente repartida.
113
MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME

• Representaremos por p la carga por unidad de
  longitud.
• Se suele expresar en toneladas por metro lineal
  (ton/m).

114
MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME

• La determinación de las reacciones es muy simple,
  ya que por simetría

115
MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME

• En este caso rige una sola ecuación de momentos
  para toda la viga
• Es la ecuación de una parábola, por lo que el
  diagrama de momentos flectores será un arco de
  este tipo de cónica.

116
MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME

• El momento máximo será

117
MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO

• Vamos a suponerla perfectamente empotrada en un
  extremo (imposibilidad de giro en él) en todos
  los casos que se estudian a continuación

118
MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO

• a) CARGA CONCENTRADA EN EL EXTREMO LIBRE
• La ecuación de momentos puede escribirse
  directamente
• M -Px, válida en 0 x L

119
MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO

• El momento flector máximo se dará en el
  empotramiento y valdrá
• Mmáx - pL
• Se trata de un máximo absoluto.

120
MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO

• b) CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA.
• Sea p la carga por unidad de longitud.
• La ecuación de momentos será

121
MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO

• El momento flector máximo se dará en el
  empotramiento y valdrá
• y como antes, se trata de un máximo absoluto.

122
ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA SIMPLEMENTE
APOYADA
a) Carga centrada y concentrada sobre viga
simplemente apoyada.

• Para una sección mn el valor del esfuerzo
  cortante será la suma geométrica de las fuerzas
  que actúan sobre la viga a uno de sus lados
  (consideraremos las fuerzas situadas a la
  izquierda).

123
ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA SIMPLEMENTE
APOYADA
a) Carga centrada y concentrada sobre viga
simplemente apoyada.
Así tendremos
124
ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA SIMPLEMENTE
APOYADA
b) Carga descentrada y concentrada sobre viga
simplemente apoyada.
125
ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA SIMPLEMENTE
APOYADA
c) Carga uniformemente repartida sobre viga
simplemente apoyada.

• La ley de esfuerzos cortantes será
• La ecuación válida para cualquier sección de la
  viga.

126
ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA EN VOLADIZO
e) Carga uniformemente repartida.

• La ley del esfuerzo cortante es
• T -px, para 0 x L
• La ecuación es válida para cualquier sección de
  la viga.

127
ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA EN VOLADIZO
e) Carga uniformemente repartida.

• El valor máximo corresponde a la sección de
  empotramiento.
• Haciendo x L en la ecuación anterior, se
  obtiene
• Tmáx -pL -P
• Se trata de un máximo absoluto.

128
RELACIONES ENTRE EL ESFUERZO CORTANTE, EL
MOMENTO FLECTOR Y LA CARGA
129
VÍNCULOS Y REACCIONES DE VÍNCULO
1) Biela o Cable Ambos poseen una reacción de
vínculo de carga a lo largo de su eje principal.
2) Apoyo deslizante Posee una reacción en la
dirección restringida, si se halla en un plano.
130
VÍNCULOS Y REACCIONES DE VÍNCULO
3) Articulación o Rótula Posee dos reacciones de
carga en las direcciones restringidas.
4) Empotramiento Posee dos restricciones de tipo
carga y una de tipo momento.
131
ESTRUCTURAS

• Definición Conjunto de elementos unidos entre
  sí, destinado a resistir las fuerzas que actúan
  entre ellos.

132
CONDICIONES DE LAS ESTRUCTURAS
1) Que sea rígida Es decir, que no se deforme o
se deforme dentro de unos límites. Para
conseguirlo, se hace triangulando los elementos
(excepto si es una viga). 2) Que se estable es
decir que no vuelque. Se puede conseguir haciendo
más ancha la base, o colocando tirantes. 3) Debe
ser resistente es decir que cada elemento de la
estructura sea capaz de soportar el esfuerzo al
que se va a ver sometido. 4) Debe ser los más
ligera posible, así ahorraremos en material y
tendrá menos cargas fijas.
133
EQUILIBRIO

• Las condiciones de equilibrio de una estructura
  son
• Suma neta de esfuerzos verticales igual a cero.
• Suma neta de esfuerzos horizontales igual a cero
• Suma neta de momentos igual a cero.
• ECUACIONES DE EQUILIBRIO ESTÁTICO.

134
DETERMINACIÓN ESTÁTICA

• Se habla de que una estructura es ESTÁTICAMENTE
  DETERMINADA cuando posee los apoyos necesarios
  para evitar todos los posibles movimientos de la
  estructura.
• Cuando la estructura posee menos apoyos de los
  necesarios para evitar movimientos en la
  estructura, se dice que es ESTÁTICAMENTE
  INDETERMINADA y se le llama hipostática o
  mecanismo.

135
DETERMINACIÓN ESTÁTICA

• Cuando una estructura es estáticamente
  determinada pueden ocurrir dos casos
• Estructura Isostática Posee los apoyos
  estrictamente necesarios para evitar los
  movimientos de la estructura. Es sencillo
  calcular los esfuerzos, pues hay el mismo número
  de ecuaciones de equilibrio que de incógnitas.
• Ej

Viga con un extremo articulado fijo (2
incógnitas) y otro articulado móvil (1
incógnita). SISTEMA ISOSTÁTICO
136
DETERMINACIÓN ESTÁTICA

• Estructura Hiperestática Posee más apoyos de los
  estrictamente necesarios para evitar los
  movimientos de la estructura. En este caso,
  existen más incógnitas que ecuaciones, por lo que
  se deben ingresar ecuaciones de deformación para
  calcular los esfuerzos.
• El grado de hiperestaticidad es igual a la
  diferencia entre el número de incógnitas y el
  número de ecuaciones.
• Ej

Viga con dos extremos articulados fijos (4
incógnitas). SISTEMA HIPERESTÁTICO DE 1 GRADO.