Presentaci

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4. Variable aleatoria discreta
El mismo Doob explicaba el origen del término
variable aleatoria (random variable) "Cuando
estaba escribiendo mi libro Stochastic
Processes tuve una discusión con William Feller.
Él aseguraba que todo el mundo decía "variable
aleatoria" (random variable), mientras que yo
sostenía que se usaba "variable al azar" (chance
variable). Obviamente, debíamos usar el mismo
nombre en nuestros libros, así que optamos por
tomar la decisión mediante un procedimiento
aleatorio lanzamos una moneda y él ganó".
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Variable aleatoria
Una variable aleatoria X es una función que
asocia a cada suceso del espacio muestral E de
un experimento aleatorio un valor numérico real
Llamar variable a una función resulta algo
confuso, por ello hay que insistir en que es una
función. La variable aleatoria puede ser
discreta o continua. Veremos en este capítulo el
caso discreto.
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Ejemplo de variable aleatoria discreta Número
de caras al lanzar 3 monedas.
Elementos del espacio muestral
C C C CC CC CC
CCC
Ley de correspondencia
Nº reales ( de caras)
0 1 2
3 caras
Establecer una variable aleatoria para un
experimento aleatorio no es más que una manera
de asignar de "manera natural" números a los
eventos.
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Función de probabilidad
Voy a pensar un número entero del 1 al 100.
Qué numero será?
Intentaremos representar el estado de
incertidumbre mediante una función matemática la
función de probabilidad.
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Distribución uniforme discreta
En muchos casos asumimos que todos los resultados
de un experimento aleatorio son igualmente
posibles. Si X es una variable aleatoria que
representa los resultados posibles del
experimento, decimos que X se distribuye
uniformemente. Si el espacio muestral consta de
n sucesos simples, 0 lt n lt 8 , entonces la
función de probabilidad discreta se define como
p(x) 1/n para todo x del espacio muestral. En
un ordenador podemos generar una distribución de
valores con esta probabilidad con 1 int
n (rnd)
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Supongamos que me preguntáis si es par. Y
respondo que no. Cómo modifica la función?
P
1/50
........
1 2 3
99 100 X
Os pido una pregunta de modo que mi respuesta
genere una función de incertidumbre, de
probabilidad, tal que los valores del espacio
muestral posibles (con probabilidad distinta de
cero) no tengan todos la misma probabilidad.
Son válidas Tiene dos cifras el número? o
Es un número primo? ?
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Función de probabilidad o distribución
Una vez definida una variable aleatoria X,
podemos definir una función de probabilidad o
distribución de probabilidad asociada a X, de la
siguiente forma
La función de probabilidad debe cumplir
(Suma sobre todos los posibles valores que puede
tomar la variable aleatoria).
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Función de probabilidad discreta

• Valores Probabilidad
• 0 1/4 0.25
• 1 2/4 0.50
• 2 1/4 0.25

Z
Z
Z
Z
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Requerimientos de una distribución de probabilidad
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Observa que aun si el espacio muestral es
infinito numerable, también podemos definir una
variable aleatoria discreta y una función de
probabilidad. Ejemplo Sea X Número de
lanzamientos de una moneda antes de que aparezca
una cara.
Entonces P(X 1) P(C) 1/2
P(X 2) P(C) 1/2 . 1/2 1/4
P(X 3) P(C) 1/2 . 1/2 . 1/2 1/8
... y en general P(X n) (1/2)n, n
1,2,. Demuestra que está normalizada.
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Sea el experimento lanzar dos dados. Definamos
el espacio muestral E como E
(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6) Definamos
la variable aleatoria discreta X
como con S 2,3,...,12 la suma de
puntos. Una posible función de probabilidad es
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Función de probabilidad de la variable aleatoria X
Observa que cumple las dos condiciones es
siempre positiva y está normalizada.
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Función de distribución (acumulada)
Dada una variable aleatoria discreta X se llama
función de distribución a la función F definida
como
En nuestro ejemplo de los dos dados F(5) P(X
? 5) P(x 2 o x 3 o x 4 o x 5) F(5)
1/36 2/36 3/36 4/36 10/36
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Función de distribución de la variable aleatoria X
F
1,0 0,5 0,028
x
2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12
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Ejemplo Dibuja la función de probabilidad f(x) y
la función de distribución F(x) de una variable
discreta definida como X Número en la cara
de un dado.
X tiene como posibles valores x 1, 2, 3, 4, 5,
6 cada uno con probabilidad 1/6
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Algunos problemas de probabilidad están
relacionados con la probabilidad P(a ltX ? b) de
que X asuma algún valor en un intervalo (a, b.
Observa que P(a lt X ?
b) F(b) - F(a)
Para demostrarlo observa que, como los sucesos
X ? a y alt X ? b son mutuamente excluyentes,
entonces F(b) P(X ? b) P(X ? a) P(a lt X ?
b) F(a) P(a lt X ? b)
En el ejemplo de los dos dados, calcula la
probabilidad de que los dos dados sumen al menos
4 pero no más de 8
P(3 lt X ? 8) F(8) - F(3) 26/36 - 3/36 23/36
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Algunas propiedades de la función de distribución
F es monótona creciente. F es continua por la
derecha la probabilidad de que la variable
aleatoria discreta X tome un valor concreto es
igual al salto de la función de distribución en
ese punto.
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Método de Monte Carlo
Realicemos ahora el siguiente experimento
aleatorio girar la ruleta de la imagen y apuntar
el número del sector que coincide con la flecha.
La variable aleatoria X de este experimento
asocia cada sector a un número entero, como
podemos observar en la imagen. Es una variable
aleatoria discreta. Los resultados posibles son
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Por simetría podemos
establecer una función de probabilidad la
probabilidad de cada resultado es 1/8.       
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Repitamos un experimento aleatorio semejante,
pero ahora con esta nueva ruleta
Ahora el espacio muestral está compuesto por 4
eventos. Establecemos una nueva variable
aleatoria discreta X' que asocia cada sector
(evento) a los números 0, 1, 2, 3.
Ahora teniendo en cuenta el tamaño relativo de
los sectores podemos establecer una función de
probabilidad, que asocia a cada uno de los
valores de la variable aleatoria 0, 1, 2, 3
las probabilidades 1/4, 1/2, 1/8, 1/8,
respectivamente (proporcionales al ángulo del
sector).           
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Método de Monte Carlo
La variable aleatoria X en el primer ejemplo de
la ruleta está uniformemente distribuida, ya que
todos los resultados tienen la misma
probabilidad. Sin embargo, en el segundo ejemplo,
la variable aleatoria X, no está uniformemente
distribuida.
El problema crucial de la aplicación de los
métodos de Monte Carlo es hallar los valores de
una variable aleatoria (discreta o continua) con
una distribución de probabilidad dada por la
función p(x) a partir de los valores de una
variable aleatoria uniformemente distribuida en
el intervalo 0, 1), proporcionada por el
ordenador.
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Cómo simular con el ordenador la distribución de
probabilidad de las ruletas?
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Una vez visto un caso particular, el problema
general puede formularse del siguiente modo Si
X es una variable aleatoria discreta cuyos
posible resultados son x0, x1, x2 , ... xn y
sean p0, p1, p2, ... pn sus respectivas
probabilidades. Al sortear un número aleatorio g,
uniformemente distribuido en el intervalo 0, 1),
se obtiene el resultado xi, si se verifica la
siguiente condición              
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Esperanza matemática o media de una función de
probabilidad discreta

X P(X)
X
P(X)
-.1 .0 .4 .4 .3 1.0
-1 0 1 2 3
.1 .2 .4 .2 .1
Siempre que no genere ambigüedad pasaremos de
arrastrar la variable aleatoria en vez de poner
X xi ponemos directamente xi.
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Calcular la esperanza de la variable aleatoria X
en el ejemplo de los dos dados
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Sean a, b y c constantes. Demuestra que
(1)
(2)
(3)
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Supongamos que tenemos que hacer unos análisis
clínicos de sangre. Queremos detectar una
enfermedad que afecta a 1 de cada 1000 personas.
Los pacientes acuden en grupos de 50. Qué nos
sale económicamente más a cuenta analizar
paciente a paciente o mezclar la sangre de los
50 y analizar la mezcla?
Tomando la mezcla, en promedio tendremos que
hacer unos 21 análisis en vez de 50 por grupo.
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Juegos

• A un juego de azar podemos asignarle una variable
  aleatoria X, cuyos valores son las ganancias
  correspondientes a los posibles resultados. La
  esperanza matemática de la variable aleatoria X
  representa el beneficio medio o ganancia media
• que se obtiene en cada jugada cuando se juega un
  número elevado de veces.
• Si la esperanza matemática es 0 se dice que el
  juego es justo.
• Si es mayor que 0 se dice que el juego es
  favorable al jugador.
• Si es menor que 0 se dice que perjudica al
  jugador y no es favorable.
• Sea el juego que consiste en sacar una bola de
  una urna que contiene 7 bolas rojas y 3 bolas
  negras. Ganamos 50 euros si la bola extraída es
  roja y pagamos 150 euros en el caso de que sea
  negra. Qué podemos esperar si jugamos muchas
  veces?

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Espacio muestral E R, N. Consideramos las
ganancias como positivas y las pérdidas
negativas                                     
                                           
Variable aleatoria X Función de
probabilidad
0,7
50
R
0,3
-150
N
Ganancia media
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Una compañía de seguros domésticos tiene que
determinar el gasto medio por póliza suscrita,
sabiendo que cada año 1 de cada 10000 pólizas
termina en una reclamación de 20 millones, 1 de
cada 1000 en 5 millones 1 de cada 50 en 200.000
y el resto en 0.
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Marc Kac, en Enigmas of Chance (1985), explica
cómo aplicar el concepto de esperanza a la vida
real "Una semana, apareció un anuncio del
Imperial College of Science and Technology
ofreciendo un puesto de profesor de Matemáticas
con un salario de 150 libras anuales ser
ciudadano británico no era requisito necesario.
El salario era tan escaso que supuse que ningún
ciudadano británico respetable estaría interesado
en ese trabajo. Fui a preguntar a Steinhaus si
debía o no optar al puesto. Por entonces no sabía
ni una palabra de inglés, pero estaba dispuesto a
jurar que mis conocimientos eran los suficientes.
"Déjame pensar", me dijo Steinhaus. "Estimaría
que la probabilidad de que consigas el trabajo es
de una entre mil. Si multiplicas esto por ciento
cincuenta libras, tienes tres chelines. Eso es
mucho más de lo que cuesta enviar la carta, así
que deberías hacerlo". Lo hice, pero el trabajo
fue al final para un ciudadano británico (después
de todo, sí que había alguno interesado).
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Momento de orden k de una variable aleatoria
discreta De forma más general podemos definir
la esperanza matemática o media no solo para una
variable aleatoria X, sino para cualquier
función T(X) como
Tomando como casos particulares a las funciones
obtenemos los momentos de orden k centrados en el
origen
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Y tomando como casos particulares a las funciones
obtenemos los momentos de orden k centrados en
la media de X
Observa que
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Varianza y desviación estándar o típica de una
función de probabilidad discreta
Varianza
Desviación estándar o típica
Ambas miden la dispersión de los datos. Observa
que la desviación típica lo hace con las mismas
unidades que los propios datos.
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Ejemplo
X
P(X)
.4 .2 .0 .2 .4 1.2
-1 0 1 2 3
.1 .2 .4 .2 .1
-2 -1 0 1 2
4 1 0 1 4
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Calcula la varianza y desviación típica de la
variable aleatoria X en el ejemplo de los dos
dados
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Algunas propiedades de la varianza
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(No Transcript)