Presentaci

1
Análisis Bayesiano Computacional (métodos MCMC)
Curso Modelización del riesgo y la incertidumbre
en seguros y audutoría
Programa Doctorado-Máster en Economía
María Martel Escobar. mmartel_at_dmc.ulpgc.es Dpto.
de Métodos Cuantitativos en Economía y
Gestión. ULPGC.
2
1 Introducción.

• 2 Métodos MCMC.
• Muestreo de Gibbs.
• Algoritmo de Metrópolis-Hastings.

3 Software WinBUGS.

• 4 Ejemplos y aplicaciones. (coste-efec.,
  ac,credi)
• Diagnóstico de los modelos biparamétricos
  bayesianos en AC

DMCEG ULPGC
3
1 Introducción.
DMCEG ULPGC
4

• Cantidad a posteriori de interés

?(?)f(x?)
?(?1, . . ., ?p)??, ?(?x)

• Eg(?)x

DMCEG ULPGC
5
Por ejemplo

• g(?) ? ? media a posteriori

• g(?) (?i-E?ix)(?j-E?jx) ? covarianza
  entre ?i, ?j a posteriori

• g(?) I??A ? prob. a posteriori de un conjunto

• g(?) f(z?) ? predictiva de z a posteriori

DMCEG ULPGC
6
Pero generalmente,
no adopta una forma funcional conocida (salvo
análisis conjugado),la evaluación del denominador
generalmente no es posible de forma analítica.
2)Eg(?)x implica nuevamente integrales
analíticamente no factibles.
DMCEG ULPGC
7
. . . Y se hace necesario el tratamiento
numérico, aproximado del problema, (salvo
análisis conjugado y familias exponenciales).
Agravado en muchos casos porque la dimensión del
espacio paramétrico es mayor que 1, lo que
implica además la integración sobre espacios de
dimensiones que pueden ser elevadas .
DMCEG ULPGC
8

• Ejemplo 1.

Sup. x1, x2, . . ., xn iid N(?, ?² h-1), para
? N(a0, b0-1), h1/?² G(n0/2, s0/2), ?(?, h),
?(?, hx) ? h((nn0)/2-1) exp(-1/2)b0(?-a0)2
s0hh?i(xi-?)²
no tiene una forma exacta
cómo calcular, por ejemplo, la cantidad?
?
DMCEG ULPGC
9

• En cualquier caso, nos enfrentamos a complicados
  problemas de integración que han
  constituido la principal dificultad del
  análisis bayesiano.

• Distintos métodos de integración
  numérica, mediante aproximaciones
  determinísticas, ver Bernardo y Smith, 1994
  OHagan, 1994 oRobert y Casella, 1999).

• Pero estos métodos no tienen en
  cuenta la naturaleza aleatoria del problema, que
  las funciones implicadas sean densidades
  probabilísticas . . .

DMCEG ULPGC
10

• Si fuera posible generar directamente muestras
  independientes de ?(?x) mediante algún
  método aleatorio de simulación, esto
  conduciría a la obtención de la cantidad a
  posteriori de interés, . . .
• (el Teorema Central del Límite
  aseguraría la convergencia de las
  cantidades muestrales a las cantidades de
  interés).

DMCEG ULPGC
11

• Ejemplo 2. Dadas 1000 observ. de ?(?x),
• es posible

• calcular la media muestral para estimar E?(?x)

• calcular la var. muestral para estimar
  Var?(?x)

• ordenar la muestra y buscar el valor no 250 (1er
  cuartil), o el valor no 500 (mediana), . . .

• obtener la proporción de la muestra mayor que ?0
• (Prob? gt ?0)

DMCEG ULPGC
12

• 1 0.1103
• 2 0.05148
• 3 0.6527
• 4 0.004283
• 5 0.02866
• 6 0.1345
• 7 0.3636
• 8 0.2629
• 9 0.1732
• 10 0.3267
• .
• .
• .

media muestral 0.140097258
varianza muestral 0.025131898
mediana 0.08161
1er cuartil 0.02092
262 mayores que ?0 0.2, (Prob? gt 0.20.262).
moda 0.05148
DMCEG ULPGC
13
?
DMCEG ULPGC
14

• Pero en muchos casos no es posible la simulación
  directa de muestras independientes para ?(?x) .
  . .

• Sin embargo, puede ser posible simular muestras
  con algún tipo de dependencia, que
  converjan (bajo ciertas condiciones de
  regularidad) a la distribución de interés
  ?(?x),

• construir mediante simulación Monte Carlo una
  determinada Cadena de Markov . . .

DMCEG ULPGC
15
2 Métodos MCMC.
DMCEG ULPGC
16
Desde poco más de 10 años, los métodos basados
en simulación Monte Carlo mediante Cadenas de
Markov, MCMC, permiten la resolución
de problemas que hasta entonces no eran
analíticamente tratables y que precisaban
distintas aproximaciones numéricas para las
integrales implicadas.
Estos métodos permiten muestrear la distribución
a posteriori, aunque ésta sea desconocida,
gracias a la construcción de una cadena
de Markov cuya distribución estacionaria
sea, precisamente ?(?x).
DMCEG ULPGC
17
. . .Muestrear la distribución a posteriori y
calcular la cantidad a posteriori de interés
mediante MCMC son los retos más importantes
de la computación bayesiana más avanzada
. (Chen, Shao e Ibrahin, 2000).
MCMC es, esencialmente, integración Monte
Carlo, haciendo correr por largo tiempo una
inteligentemente construida cadena de Markov
. (Gilks, Richardson y Spiegelhalter, 1996).
DMCEG ULPGC
18

• Algunos aspectos teóricos.

• Una cadena de Markov es una sucesión de vv. aa.,
• X1, X2, . . ., Xt, . . . tal que
• ?t? 0, Xt1 sólo depende del estado actual,
• Xt1 es muestreado de p(?Xt), es decir
• p(Xt1Xt, Xt-1, . . ., X1)p(Xt1Xt).

• p(??) es la probabilidad de transición de la
  cadena.

DMCEG ULPGC
19

• Bajo condiciones de regularidad (invarianza e
  irreducibilidad),
• p(??) no depende de t, y converge a una
  distribución estacionaria ?, de forma que
• Xt ? X ? (t ? ?) ?

(media ergódica)
DMCEG ULPGC
20

• Se trata, por tanto, de simular una cadena de
  Markov sobre ?,
• ?(t) (?t1, . . ., ?tp),
• cuya distribución estacionaria sea ?(?x), se
  tendrá

burn in (evita correlación)
para N suf. grande
DMCEG ULPGC
21

• ya que se verifica que ,

con lo que,
, es una medida del error, donde,
(Ver Gilks et al, 1996, o Robert y Casella,
1999).
DMCEG ULPGC
22
cómo diseñar la cadena, ?(t)?

• Se trata de muestrear iterativamente a partir de
  distribuciones apropiadas (no se puede muestrear
  directamente de ?(?x)).

• Principales métodos de muestreo
• Muestreo de Gibbs
• Algoritmo de Metrópolis-Hastings

DMCEG ULPGC
23

• Muestreo de Gibbs

• Orígenes
• Grenader(1983), Geman y Geman (1984).
• En AB
• Gelfand y Smith (1990), George(1992), Robert y
  Casella (1999).

• Aunque ?(?x)?((?1, . . ., ?p)x) no sea
  estándar, puede que sí lo sean las condicionadas
  a posteriori de cada ?i respecto al resto,
• ?(?i?1, . . . ?i-1, ?i1, . . ., ?p, x) )
  ?(?i?-i, x), para
• ?-i (?1, . . . ?i-1, ?i1, . . ., ?p).
• (full conditional, es una distribución
  univariante!).

DMCEG ULPGC
24

• Esquema general

• Paso 0. Valores iniciales ?(0) (?01, . . .,
  ?0p)

• Paso 1. Para obtener ?(1) (?11, . . ., ?1p)

se muestrea ?11 de ?(?1x, ?02, . . ., ?0p) se
muestrea ?12 de ?(?2x, ?11, ?03, . . ., ?0p) se
muestrea ?13 de ?(?3x, ?11, ?12, ?04, . . .,
?0p) . . . se muestrea ?1p de ?(?px, ?11, . .
., ?1p-1).

• Paso k. Actualizar ?(k) (?k1, . . ., ?kp)
• a partir de ?(k-1) .

DMCEG ULPGC
25

• Ejemplo 3.
• Supongamos x1, x2, . . ., xn iid N(?, ?²
  h-1), para
• ? N(a0, b0-1), h1/?² G(n0/2, s0/2),
  ?(?, h), con
• ?(?, hx) no estándar, pero las condicionadas se
  obtienen de

DMCEG ULPGC
26

• de donde,

DMCEG ULPGC
27

• muestreo de Gibbs

• Paso 0. Valores iniciales ?(0) (?0, h0)

• Paso 1. Para obtener ?(1) (?1, h1)

se muestrea ?1 de ?(?hh0, x), (se genera un
valor de la distr. Normal) se muestrea h1 de
?(h? ?1, x), (se genera un valor de la distr.
Gamma) se actualiza (?0, h0) a (?1, h1),

• Paso k. Actualizar ?(k) (?k, hk), a partir de
  ?(k-1) .

?
DMCEG ULPGC
28

• Después de N realizaciones ?(0), ?(1), . . ..,
  ?(N),
• se obtiene que ?(t) es una cadena de Markov
  cuyas probabilidades de transición son
• p(?(t1)?(t))? ?(?t1i ?tj, jgti, ?t1j, jgti,
  x), de donde,
• ?(t) ? ? ?(?x) (t ? ?).

(ver Roberts ,1996)
Así, para N suficientemente grande . . .
DMCEG ULPGC
29

• la serie ?(0), ?(1), . . .., ?(N), puede
  analizarse casi como una muestra independiente de
  ?(?x), y por tanto, cantidades muestrales
  estimarán las cantidades a posteriori respectivas
  (media muestral para la media a posteriori,
  cualquier momento o percentil muestral para el
  correspondiente a posteriori, o la curva descrita
  por el histograma de valores para un parámetro ?i
  aproxima la forma de la curva de la distribución
  marginal ?(?ix)).

DMCEG ULPGC
30
por qué casi?
Puede presentarse una fuerte correlación entre
las realizaciones muestrales, que puede
corregirse desechando las m primeras muestra
burn in,
?(0), ?(1), . . ., ?(m), ?(m1), . . ., ?(N).
análisis muestral
burn in

• El valor del error,

, el análisis de la traza de
la serie (gráfica de los valores muestrales), de
los coeficientes de autocorrelación de la misma
pueden ayudar a determinar m y N, (no es
fácil).
DMCEG ULPGC
31

• Algoritmo de Metrópolis-Hastings

• Orígenes
• Metropolis et al (1953) y Hastings (1970).
• Más recientes
• Tierney(1994), Chib y Greenberg (1995), Robert y
  Casella (1999)

• Para construir la cadena ?(t), las prob. de
  transición p(?(t1)?(t)) vendrán dadas por una
  distr. arbitraria, (distribución generadora de
  candidatos),
• q(?,?) tal que ?q(?,?)d? 1,
• dados el valor actual ?, y el valor candidato,
  ?.

DMCEG ULPGC
32

• Paso 0. Valores iniciales ?(0) (?01, . . .,
  ?0p)

• Paso k. Para obtener ?(k) (?k1, . . ., ?kp), se
  genera un
• candidato ? de q(?(k-1), .), y se actualiza
  según

?(k) ?, con prob. ?(?(k-1), ?) ?(k)
?(k-1), con prob. 1-?(?(k-1), ?),
DMCEG ULPGC
33

• donde,

se evalúa este cociente

• Es decir, una vez calculada ?(?(k-1), ?), se
  muestrea
• un valor u de una distribución U(0,1), y si

u ? ?(?(k-1), ?) ? ?(k) ? (la cadena se
mueve)
u gt ?(?(k-1), ?) ? ?(k) ?(k-1) (la cadena no
se mueve).
DMCEG ULPGC
34

• En cada paso, la cadena va actualizándose
  componente a componente, se actualiza o no una
  coordenada ?i sin considerar el resto,
• ?-i (?1, . . . ?i-1, ?i1, . . ., ?p),
• ?(k) (?i, ?-i).

DMCEG ULPGC
35

• Casos especiales

• Muestreo de Gibbs q(?,?) ?(? ?, x)
• ( ?(?i?1, . . . ?(i-1), ?i1,
  . . ., ?p, x) ?(?i?-i,x )
• ? ?(?, ?)1
• (siempre se actualiza la cadena)

• Muestreo de Metropolis q(?,?) es simétrica, i.
  e.,

(ej. q(?,?) f. densidad N(?, ?²) para ?).
DMCEG ULPGC
36

• Muestreo de camino aleatorio q(?,?) f(?-?),
  donde f es una función arbitraria (uniforme,
  normal o t de Student).
• Si f es simétrica ? muestreo de Metropolis.

• Muestreo con independencia q(?,?)f(?), donde
  f es una función arbitraria (? se actualiza sin
  utilizar su valor actual)
• ?(?, ?) min1, w(?)/w(?), para w(?) ?(?x)
  /f(?).

DMCEG ULPGC
37

• Ejemplo 4.
• Sup. x1, x2, . . ., xn iid St(?, h, ?0), para
• ? N(a0, b0-1), h1/?² G(n0/2, s0/2), ?(?, h)

• ?(?, hx) ?

DMCEG ULPGC
38

• ni la posteriori ni las condicionadas tienen
  forma estándar ? no se puede aplicar
  muestreo de Gibbs
• ? Metropolis-Hastings

• utilizando muestreo de Metropolis, será
  q(?, ?) distribución normal para ? y para
  h, respectivamente.

• Paso 0. Valores iniciales ?(0) (?0, h0) . . .

DMCEG ULPGC
39

• Paso k. Actualizar ?(k) (?k, hk), a partir de
  ?(k-1) .

• se muestrea ? de N(?k-1, ?1²) ? ?k?, con
  prob.
• Min(1, C1), donde

hhk-1
C1
??k-1

• si ? es rechazado, ?k?k-1

DMCEG ULPGC
40

• se muestrea h de N(hk-1, ?2²) (hgt0!)
• ? hkh, con prob. Min(1, C2), donde

??k
C2
hhk-1

• si h es rechazado, hkhk-1 .

DMCEG ULPGC
41

• Variables auxiliares (data augmentation)

• (Ver Tanner y Wong (1987).)

La introducción de parámetros auxiliares puede
simplificar el problema ?(?x) ? ?(?, ?x)
de simulación más sencilla
? se simula ?(?, ?x) y sólo se usan las muestras
para ?.

• Ejemplo 5.
• Sup. x1, x2, . . ., xn iid St(?, h, ?0), para
  
• ? N(a0, b0-1), h1/?² G(n0/2, s0/2), ?(?, h)

DMCEG ULPGC
42

• reparametrizar la t de Student como una mixtura
  de distribuciones normales

xi N (?, (?ih)-1), para ?i G(?0/2, ?0/2),
i1, . . ., n ? f(xi?, h) St(?, h, ?0), i1, .
. ., n, por tanto
?(?, h) ? (?, ?) (?, h, ?1, ?2, . . ., ?n),
f(x?) y ?(?x) son las mismas, pero las
condicionadas son ahora

• ?(?h, ?, x) Normal
• ?(h?, ?, x) Gamma
• ?(??, h, x) producto de Gammas.

? se puede aplicar muestreo de Gibbs.
DMCEG ULPGC
43
3 Software WinBUGS.
DMCEG ULPGC
44

• El Proyecto BUGS
• Spiegelhalter, D., Thomas, A. y Best, N.
• MRC Biostatistics Unit, Institute of Public
  Health,Cambrigde Department of Epidemiology and
  Public Health, Imperial College School of
  Medicine at
• St. Marys Hospital.
• http//www.mrc-bsu.cam.ac.uk/bugs

DMCEG ULPGC
45
DMCEG ULPGC
46

• BUGS, Bayesian Inference Using Gibbs Sampling es
  un software diseñado para el análisis de modelos
  bayesianos usando MCMC.

• WinBUGS, es su versión Windows, que incorpora un
  menú de representación gráfica del modelo,
  Doodle, y utiliza Metropolis-Hastings.

• la última versión, 1.4, puede obtenerse desde la
  dirección web, así como el manual, numerosos
  ejemplos, enlaces interesantes, y la subscripción
  a la lista de correo de usuarios.

DMCEG ULPGC
47

• Para empezar a trabajar con un modelo

DMCEG ULPGC
48

• Ejemplo 6 La tasa de éxito de un nuevo
  tratamiento médico, ? Beta(?, ?), si después de
  observar n 20 pacientes se obtuvo
• 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0,
  1, 0, 1, 1, (1? éxito, 0 ? fracaso), calcular la
  media de éxito a posteriori.

• x1, x2, . . ., xn iid Bin(1, ?) ? f(n? ?)
  Bin(n, ?)
• ? Beta(?, ?)

? Si ?0.25, ?0.25, E ?x ? 0.5976 .
? Simulación con WinBUGS . . .
DMCEG ULPGC
49

• Se inicia WinBUGS,

• Se selecciona Doodle del menú, y se crea uno

DMCEG ULPGC
50

• Se abre una ventana doodle

• se crea un doodle con un
• click,

• se borra con CTRL Supr

• se crea un plate con un
• click CTRL, (para subíndices)

• se borra con CTRL Supr

DMCEG ULPGC
51

• Los nodos pueden ser estocásticos, lógicos
  (óvalos)
• y constantes (rectángulos).

• Las relaciones entre nodos se representan por
  flechas, finas para dependencia estocástica,
  huecas para relaciones lógicas.

• Para crear una flecha hay que mantener iluminado
  el nodo hijo haciendo CTRL click sobre el
  nodo padre (lo mismo para borrarla).

DMCEG ULPGC
52

• Se introducen ?, x1, x2, . . ., xn , (nodos
  estocástico), ?, ? (constantes)

• se selecciona el tipo de nodo

• óvalo para nodos estocásticos (se elige
• densidad y se introducen parámetros)

• rectángulos para constantes

• se inserta un plate para las xi

DMCEG ULPGC
53

• Se añaden flechas para las relaciones entre
  nodos, (con xi iluminada, CTRL click en nodo
  padre, ?, ídem para ?, ?, ? )

(flecha fina para dependencia estocástica)

• Una vez escrito el doodle del modelo, puede
  escribirse su código BUGS (mediante Write-Code),
  o también . . .

DMCEG ULPGC
54

• Crear un nuevo documento en el que copiar (CTRL
  C) y pegar (CTRL V) el doodle, para añadir
  los datos escribiendo

list(n 20, alpha 0.25, beta 0.25, xc(0, 1,
0, 1, ...))
y los valores iniciales
list(phi 0.1) (opcional, WinBUGS puede
generarlos).
DMCEG ULPGC
55

• Se elige la opción Model-Specification del menú

1) Revisar el modelo check model.
2) Cargar los datos load data.
3) Compilar el modelo compile model.
4) Cargar los valores iniciales load inits o
gen inits.
1) Revisar el modelo, se marca el doodle (se
marcará el borde)

• Specification tool check model

• aparecerá el mensaje

DMCEG ULPGC
56
2) Cargar los datos, hacer click en list (se
marcará)

• Specification tool load data

• aparecerá el mensaje

3) Compilar el modelo,

• Specification tool compile

• aparecerá el mensaje

DMCEG ULPGC
57
4) Cargar los valores iniciales,

• Specification tool load data (click en list)
• (o hacer que WinBUGS los genere con gen inits)

• aparecerá el mensaje

• el modelo se ha inicializado.

DMCEG ULPGC
58

• Se elige la opción Model-Update del menú

• se llevan a cabo 1000 realizaciones,

• aparecerá el mensaje

• El modelo se ha actualizado, pero no se ha
  almacenado ningún resultado ? burn in.

• Para almacenar las realizaciones de la cadena,
  hay que incluir los nodos de interés (?) en el
  Sample Monitor Tool

DMCEG ULPGC
59

• Se elige la opción Inference-Sample del menú

• se activa Sample Monitor Tool

• se fija el nodo de interés, phi

(click en set ? se activarán todas las
opciones)

• Se vuelve a actualizar (ahora si almacenará la
  cadena)

• 1000 muestras para phi.

DMCEG ULPGC
60

• Se vuelve al Sample Monitor Tool donde se
  analizarán los
• resultados

• click en stats

• media 0.6023 (media teórica 0.5976)

• mediana 0.6027

• intervalo al 95 (0.3879, 0.79)

• error MonteCarlo 0.003256

DMCEG ULPGC
61

• click en trace

(últimas realizaciones)

• click en history

(toda la cadena)

• click en density

(histograma muestral ? densidad de ?x)
DMCEG ULPGC
62

• click en coda

(valores simulados)

• click en quantiles

(media de las realizaciones en un intervalo
de confianza)

• click en autoC

(coef. de autocorrelación)
DMCEG ULPGC
63

• Si actualizamos 10000 realizaciones más

DMCEG ULPGC
64

• Ejemplo 3.
• Sup. x1, x2, . . ., xn iid N(?, ?² h-1),
  para
• N(a0, b0-1), h1/?² G(n0/2, s0/2), ?(?, h).

DMCEG ULPGC
65

• Ejemplo 4.
• Sup. x1, x2, . . ., xn iid St(?, h, ?0), para
• ? N(a0, b0-1), h1/?² G(n0/2, s0/2), ?(?, h).

DMCEG ULPGC
66

• Ejemplo 7 modelo BU
• Modelos biparamétricos en AC.

(Ver Godfrey y Neter (1984), Hernández, Martel y
Vázquez (2001), Martel, Hernández y Vázquez
(1999a, 1999b).)

• una población contable de N ítems de la que se
  extrae una muestra de tamaño n donde se detectan
  m errores con fracción de error zi, i1,,m.
• sean ?, la prob. de error, ? la media de la
  fracción de error en ítems con error, se tiene
• ERROR RBV??.

independientes
DMCEG ULPGC
67

• Dadas

• diferentes de densidades a priori para ? y ?,
• distintas verosimilitudes para m y z1, z2,, zm
  (o para

cantidad a posteriori de interés es
EERRORm,zRBVE??m,z
.
DMCEG ULPGC
68

• Ejemplo 7 modelo BU
• ? Beta(?, ?), ? U(0,1)
• m Bin(n, ?), y z1, z2,, zm Exp(1/?) (o

Exp(m/?))
(truncadas en (0,1) por ser 0?zi?1).

• la distribución a posteriori, ?(?,?z,m) es no
  estándar
• las condicionadas,
• ?(??,z,m) Beta, pero
• ?(??,z,m) es no estándar

• Calcular EERRORm,z con WinBUGS. . .

DMCEG ULPGC
69

• Ejemplo 7 modelo BU

• el doodle es

DMCEG ULPGC
70

• Ejemplo 8 cálculo de ratios coste-efectividad en
  
• pruebas clínicas.

(Ver OHagan, Stevens and Montmartin (1999).)
DMCEG ULPGC
71
4. Diagnóstico de los modelos biparamétricos
bayesianos en Auditoría Contable
72

• Modelos biparamétricos bayesianos en AC.

(Ver Cox y Snell (1979) Godfrey y Neter (1984),
Hernández, Martel y Vázquez (2001), Martel,
Hernández y Vázquez (1999a, 1999b).)

• una población contable de N ítems de la que se
  extrae una muestra de tamaño n donde se detectan
  m errores con fracción de error zi, i1,,m.
• sean ?, la prob. de error, ? la media de la
  fracción de error en ítems con error, se tiene
• ERROR RBV????.

independientes
DMCEG ULPGC
73

• Dadas

cantidad a posteriori de interés es
EERRORm,zRBV?E???m,z
.
DMCEG ULPGC
74
(truncadas en (0,1) por ser 0?zi?1).

• las distribuciones a posteriori de ? y ? son
  como las distribuciones a priori,
• el producto ??? se distribuye como una F de
  Snedecor
• lo que permite obtener, EERRORm,z .

DMCEG ULPGC
75
(truncadas en (0,1) por ser 0?zi?1).

• la distribución a posteriori, ?(?,?z,m) es no
  estándar
• las condicionadas,
• ?(??,z,m) Gamma o Beta, pero
• ?(??,z,m) es no estándar

• Calcular EERRORm,z con WinBUGS. . .

DMCEG ULPGC
76

• Por ejemplo, en el modelo BU

• el doodle es

DMCEG ULPGC
77

• Puede plantearse un estudio de sensibilidad en
  dos
• sentidos,

• Como instrumento que permita al auditor recoger
  imprecisiones de su juicio a priori
• ? medir la sensibilidad a cambios en las
• distribuciones de ?, ?.
• Como medida de las reacciones del modelo a
  desviaciones de la discutible pero esencial
  hipótesis de independencia entre los parámetros
  ?, ?.

DMCEG ULPGC
78

• ROBUSTEZ FRENTE A CAMBIOS EN LAS
• DISTRIBUCIONES DE ?, ?.

• Aproximación uniparamétrica discretizando la
  variable ? ? ?1,?2,...,?k , eligiendo clases
  para la distribución de la variable ? y
  utilizando una medida de robustez invariante para
  cada valor ? ?i

• Pasar de ??? ? ???i, i1,,k, dadas las
  similitudes entre las respectivas distribuciones.

• Se estudian las imprecisiones del juicio del
  auditor sobre la tasa de error, ? para cada valor
  dado de su tamaño, ? ?i.

DMCEG ULPGC
79

• Para ello

• Dada la clase ?e?e(1-?)?0?, ??Q, con
• ?0 ? densidad a priori de ?
• Q ? clase de distribuciones plausibles para ?

• Calcular los extremos de la cantidad a posteriori
  de interés sobre ?e ,

DMCEG ULPGC
80

• Para los modelos GG y GU,
• Q distrib.unimodales con la misma moda que ?0,
  
• g(?) E???ix

• Para el modelo BU,
• Q distrib. con información a priori parcial,
• g(?) prob a posteriori sobre C ???i ?
  UB(1-?,m),
• siendo UB(1-?,m) tal que Prob???i ?
  UB(1-?,m)? .

DMCEG ULPGC
81

• RESULTADOS OBTENIDOS

• En todos los casos, y para diferentes
  situaciones de información a priori y de
  información muestral se obtienen resultados que
  evidencian un sólida robustez.
• Obteniéndose variaciones que como mucho no llegan
  a superar el 23.
• Las aproximaciones uniparamétricas de los modelos
  dadas por la consideración de un valor fijo para
  la cantidad de error se muestran muy poco
  sensibles a fluctuaciones de la distribución de
  la tasa de error.

DMCEG ULPGC
82

1. ROBUSTEZ DE LA INDEPENDENCIA ENTRE TASA Y
   CANTIDAD DE ERROR.

• Si los parámetros ? y ? son independientes,
  determinan una única distribución para el par
  (?,?), y por tanto para el producto ???.

• Se trata de estructurar la no independencia
  considerando clases que contengan otras
  distribuciones con las marginales dadas para ? y
  ?, que corresponden al juicio a priori del
  auditor.

DMCEG ULPGC
83

• Para ello

• Sea la clase ?e?e(1-?)?0?, ??Q, con
• ?0 ?01? ?02 densidad a priori de (?,?), dadas
• ?01, ?02 marginales a priori para ?, ?
• Q ? clase de distribuciones bidimensionales para
  (?,?) con marginales ?01, ?02

• Calcular los extremos de la cantidad a posteriori
  de interés sobre ?e ,

DMCEG ULPGC
84

• Para lo que

• Se recurre a la linealización de la cantidad de
  interés, g(?,?) E???x a través de una función
  lineal con los mismos extremos que g(?,?).

• Se discretiza el espacio paramétrico,
  transformando el problema en problemas
  equivalentes de programación lineal.

(ver Martel,1996, Martel, Hernández y Vázquez,
1999, 2002)
DMCEG ULPGC
85

• RESULTADOS OBTENIDOS

• En todos los modelos estudiados, y para
  diferentes situaciones de información a priori
  y de información muestral se encuentran
  situaciones de fuerte sensibilidad a salidas de
  la hipótesis de independencia.
• Se observan situaciones con variaciones que
  superan hastao el 100, incluso para pequeños
  grados de desconfianza (?0.05).
• En los modelos biparamétricos se puede concluir
  que la hipótesis de independencia entre los
  parámetros no es robusta.

DMCEG ULPGC