Ecuaciones diferenciales parciales

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Ecuaciones diferenciales parciales

• Optimización, programación dinámica y la ecuación
  de Hamilton- Jacobi- Bellman.

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Qué es la optimización?

• En muchas situaciones de la vida cotidiana se
  busca una forma adecuada (según nuestras
  necesidades, restricciones y objetivos), de
  abordar un problema de forma que se alcance el
  objetivo deseado, de la mejor manera posible. Un
  ejemplo de esto es buscar el mejor camino para
  desplazarse de un punto A a un punto B dentro de
  una ciudad. Aquí hay muchas formas de interpretar
  la frase mejor camino para algunos, el mejor
  camino será en el que se recorra menos tiempo
  para otras personas será el de consumo de menos
  gasolina, etc.

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• Un problema clásico es el problema de la princesa
  fenicia Dido y la leyenda de la fundación
  de
• Cartago
• En este problema se requiere maximizar
• el área que se pueda formar con una piel de toro.
• La solución una circunferencia.

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• La optimización es el acto de obtener el mejor
  resultado bajo condiciones dadas (fijas).
• El acto de optimizar presenta frecuentemente un
  problema matemático de tal forma que se intenta
  maximizar o minimizar una cierta función de
  varias variables con algunas restricciones
  impuestas en las variables mismas dicha función
  que representa el criterio de ejecución del
  sistema es llamada función objetivo.
• El optimizador tiene bajo control algunas
  variables a las que llamaremos variables de
  decisión. Su problema es el de encontrar valores
  para las variables de decisión considerando las
  restricciones del problema en cuestión, y de esa
  forma poder maximizar o minimizar la función
  objetivo
• La secuencia de decisiones que tome el
  optimizador la llamaremos política óptima.

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• Técnicas de Optimización.
• Éstas son algunas técnicas de optimización
• Método directo de cálculo.
• Método del cálculo diferencial clásico.
• Programación lineal y no lineal.
• El Cálculo de las variaciones.
• Teoría de Control Óptimo.
• Programación Dinámica.

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El cálculo de las variaciones.
El Cálculo del as variaciones es un método
analítico clásico de optimización en donde lo que
se desea minimizar o maximizar es una funcional
del tipo Dos aplicaciones del Calc. De las
Var. son el problema de la Braquistocrona el
teorema de Bonnet- Myers (Geom Riemmaniana).
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Teoría de Control Óptimo.

• Muchos fenómenos naturales con una evolución
  temporal son modelados con sistemas dinámicos.
  Las fuerzas que actúan sobre estos sistema pueden
  ser divididas en dos aquellas que dependen del
  estado y del sistema y aquellas que no.
• El proceso de modificar aquellas fuerzas que
  pueden ser reguladas para obtener un objetivo
  deseado es conocido como proceso de control.
• Problemas en los cuales se seleccionan controles
  para optimizar la ejecución del sistema dinámico
  son conocidos como problemas de control óptimo.

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• En este caso nuestro problema es el de encontrar
  un
• (control) tal que

Sea máximo o mínimo. Lo que distingue a los
problemas de control óptimo de los del cálculo de
las variaciones es el hecho de que solo podemos
regular el estado del sistema por medio de los
controles y no directamente. El cálculo de las
variaciones estudia fenómenos donde la naturaleza
ya ha hecho el control y la optimización, y nos
deja a nosotros encontrar el estado óptimo. En
el control óptimo se busca manipular las
variables de tal forma que se pueda llegar al
estado óptimo.
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Programación dinámica.

• El origen del término programación dinámica tiene
  muy poco que ver con el de escribir un código.
  Richard Bellman fue el primero en dar esta
  definición en la década de 1950, cuando el uso de
  las computadoras era muy escaso. En aquella época
  el término programación significaba planeación, y
  la prog dinámica fue desarrollada para planear
  óptimamente procesos multi-etápicos.

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Veamos un ejemplo Una persona desea desplazarse
del punto A al punto B de la mejor manera posible.
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(No Transcript)
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El Principio de Optimalidad. Una secuencia
óptima de decisiones (política óptima) de un
proceso de decisión multi-etápico, tiene la
propiedad de que cualquiera que haya sido el
estado y la decisión inicial, el resto de las
decisiones deben constituir una secuencia de
decisiones óptima para el resto del problema, es
decir cualquier subsecuencia debe ser también
óptima.
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• Deducción de la Ecuación de HJB.
• Veremos que la ecuación de HJ se sigue de
  manera simple del principio de optimalidad, en
  conjunto con el principio de Hamilton de que una
  partícula se mueve de forma que miniimiza el
  lagrangiano
• Sea x, un vector que describe el estado del
  sistema (x es un punto en el espacio de
  configuración) y sea x la variable de decisión
  que se quiere escoger de manera óptima. Lo que se
  busca es transforma el estado
  al de forma que minimice al
  lagrangiano en T.

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• Consideremos la función
• con el valor mínimo de la
  integral del punto
• a .
• Luego si partimos el intervalo en
  y
• la ecuación anterior podrá ser vista como

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• En el tiempo t
• implica que si definimos a como el
  momentum P
• 
  .
• En el tiempo general T,

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• Definiendo el hamiltoniano
• 
  como
• la ecuación anterior se convierte en la EDP de
  Hamilton- Jacobi- Bellman

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• La ecuación de HJB es muy importante en la teoría
  de control óptimo puesto que es una condición
  suficiente para que un control sea óptimo.
• Si podemos resolver HJB entonces podemos
  encontrar un control u que alcanza el mínimo.
• Este método también puede ser generalizado al
  caso estocástico de gran importancia para las
  aplicaciones de teoría de control.