APROXIMACI

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APROXIMACIÓN NUMÉRICA A LAS ECUACIONES DE FLUJO
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ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

• Las ecuaciones de simulación de yacimientos, son
  en general ecuaciones diferenciales parciales no
  lineales.
• De las técnicas numéricas aplicables a la
  solución de ecuaciones diferenciales parciales,
  la Técnica de las Diferencias Finitas es las más
  utilizada.
• Entre las técnicas adicionales se tiene el método
  de Galerkin y el método del Elemento Finito.

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ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

• En matemáticas una ecuación en derivadas
  parciales (a veces abreviado como EDP) es una
  relación entre una función u de varias variables
  independientes x,y,z,t,... y las derivadas
  parciales de u respecto de esas variables.
• Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean
  en la formulación matemática de procesos de la
  física y otras ciencias que suelen estar
  distribuidos en el espacio y el tiempo.

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ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

• Una ecuación en derivadas parciales muy simple
  puede ser
• donde u es una función de x e y. Esta relación
  implica que los valores de u(x, y) son
  completamente independientes de x. Por lo tanto
  la solución general de esta ecuación diferencial
  es
• donde f es una función arbitraria de y.

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ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

• La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la
  EDP, pero con funciones de una variable) análoga
  es
• que tiene la siguiente solución
• Donde c es cualquier valor constante
  (independiente de x).

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ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

• Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones
  generales de las ecuaciones diferenciales
  ordinarias se mantienen con constantes, pero las
  soluciones de las ecuaciones diferenciales en
  derivadas parciales generan funciones
  arbitrarias.
• Una solución de una ecuación en derivadas
  parciales generalmente no es única de esta forma
  se tienen que proporcionar condiciones
  adicionales de contorno capaces de definir la
  solución de forma única.
• Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la
  función f(y) puede determinarse si u se
  especifica sobre la línea x 0.

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Clasificación de las EDP de segundo orden

• Las EDP de segundo orden se clasifican
  habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que
  son de interés fundamental, a continuación se dan
  ejemplos de estos cuatro tipos

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Clasificación de las EDP de segundo orden

• Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación
  de segundo orden del tipo
• Se dice que es elíptica si la matriz tiene un
  determinante
• mayor a 0.
• Se dice que es parabólica si la matriz tiene un
  determinante igual a 0.
• se dice que es hiperbólica si la matriz tiene un
  determinante menor a 0.

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TÉCNICA DE LAS DIFERENCIAS FINITAS

• El método de diferencias finitas es un clásica
  aproximación para encontrar la solución numérica
  de las ecuaciones que gobiernan el modelo
  matemático de un sistema continuo.
• Básicamente, en una solución por diferencias
  finitas, las derivadas son reemplazadas por
  aproximaciones en diferencias finitas,
  convirtiendo entonces un problema de ecuaciones
  diferenciales en un problema algebraico
  fácilmente resoluble por medios comunes
  (especialmente matriciales).

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TÉCNICA DE LAS DIFERENCIAS FINITAS

• Una diferencia finita es una expresión matemática
  de la forma f(x b) - f(x a).
• Si una diferencia finita se divide por b - a se
  obtiene una expresión similar al cociente
  diferencial, que difiere en que se emplean
  cantidades finitas en lugar de infinitesimales.

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TÉCNICA DE LAS DIFERENCIAS FINITAS