ECUACIONES DIFERENCIALES

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ECUACIONES DIFERENCIALES

• Alicia Cecilia Flores Rodríguez
• reg 9310117

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Introducción

• Una ecuación diferencial es una igualdad donde
  intervienen una función incógnita y sus derivadas
  operadas con funciones conocidas.
• Se dice que una ecuación que contiene las
  derivadas de una o más dependientes, con respecto
  a una o más variables independientes, es una
  ecuación diferencial.
• Las ecuaciones diferenciales surgen a partir de
  intentar resolver problemas dinámicos
  principalmente de la física e inicialmente de
  problemas de caída libre.

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Grado de una ecuación diferencial

• Existe si la función incógnita se puede expresar
  como un polinomio en los distintos órdenes, el
  grado de la ecuación diferencial se considera el
  grado mayor en que aparece el orden mayor.
• EJEMPLO
• 3º 2º

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Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

• Las ecuaciones diferenciales se clasifican según
  su tipo, orden y
• linealidad.
• Según su tipo distinguimos entre
• Ecuaciones diferenciales ordinarias estas
  ecuaciones contienen únicamente derivadas
  ordinarias respecto a una sola variable
  independiente.
• Ecuaciones en derivadas parciales contienen
  derivadas parciales respecto de dos o mas
  variables independientes.
• DEF. Se llama orden de una ecuación diferencial
  al orden de la derivada superior que interviene
• en la ecuación.
• DEF. Si F es un polinomio, se define grado de la
  ecuación diferencial como el grado de y(x) y
• sus derivadas.

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Clasificación por TIPO

• Si una ecuación contiene sólo derivadas
  ordinarias de una o más variables dependientes
  con respecto a una sola variable independiente se
  dice que es una ecuación diferencial ordinaria
  (EDO).
• EJEMPLO
• Si F es esta relaciono función la EDO es
• Una ecuación con derivadas parciales de una o más
  variables dependientes, de dos o más variables
  independientes se le llama ecuación diferencial
  parcial (EDP).
• EJEMPLO

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CLASIFCACIÓN SEGÚN EL ORDEN

• Es el orden de la derivada mayor en la ecuación
  ejemplo
• En este ejemplo tendríamos una ecuación
  diferencial de
• Segundo Orden.
• Cuando f es una función continua de valores
  reales se
• denomina forma normal.
• Ejemplo
• forma normal 1orden
• 4xyyx es y(x-y)/4x
• La forma normal 2 orden
• yˆ-y6y0yy-6y

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Clasificación por Linealidad

• Se dice que una ecuación diferencial yn) f(x,
  y, y0, , yn-1)) es lineal cuando f es una
• función lineal de y, y0, ..., yn-1).
• Se puede escribir an(x)yn) an-1(x)yn-1)
  a1(x)y0 a0(x)y g(x)
• Se trata de una ecuación diferencial de grado 1
  en y y en todas sus derivadas.
• Cada coeficiente sólo depende de x.

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Representación geométrica

• La representación geométrica se da cuando la
  solución general representa unas familias de
  curvas. Ejemplo
• x²y²c²
• Hay otra familia, que son las curvas que se
  intersecan formando un ángulo recto, si una
  familia de curvas tiene la ecuación F(x,y,y)0
  la ecuación diferencial de las trayectorias
  ortagonales a ella, es otra familia de la forma
• 
  F(x,y,-1/y)0

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SOLUCIONES

• DEF. Se llama solución (o integral) de la
  ecuación diferencial a cualquier función y y(x)
  que introducida en la ecuación diferencial la
  transforma en igualdad.
• Cualquier función Ø, definida en un intervalo I y
  con menos n derivadas continuas en I, que al
  sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria
  de n-ésimo orden reduce la ecuación a una
  entidad, se considera solución de la ecuación en
  el intervalo.

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Tipos de soluciones

• Solución general
• Una solución de tipo genérico, expresada con una
  o más constantes. La solución general es un haz
  de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo
  a su cantidad de constantes (una constante
  corresponde a una familia simplemente infinita,
  dos constantes a una familia doblemente infinita,
  etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la
  solución general se logra como combinación lineal
  de las soluciones (tantas como el orden de la
  ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta
  de hacer el término no dependiente de y(x) ni de
  sus derivadas igual a 0) más una solución
  particular de la ecuación completa.
• Solución particular
• Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde
  debe pasar necesariamente la solución de la
  ecuación diferencial, existe un único valor de C,
  y por lo tanto de la curva integral que satisface
  la ecuación, éste recibirá el nombre de solución
  particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0),
  que recibe el nombre de condición inicial. Es un
  caso particular de la solución general, en donde
  la constante (o constantes) recibe un valor
  específico.

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Tipos de soluciones

• Solución singular una función que verifica la
  ecuación, pero que no se obtiene particularizando
  la solución general.
• Explicitas La variable dependiente y se expresa
  tan sólo en términos de la variable independiente
  x y constantes.
• Implícitas Se trata de una relación G(x, y) 0
  en la que no se puede despejar y mediante
• funciones elementales. Son soluciones todas las
  y(x) que cumplen G(x, y) 0.
• Una ecuación diferencial puede tener una cantidad
  infinita de soluciones que corresponden a las
  posibles elecciones de valores para los
  parámetros.
• DEF. Se dice que la familia n-paramétrica
• G(x, y,C1,C2, ,Cn) 0

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BIBLIOGRAFIA

• Ecuaciones diferenciales con aplicaciones al
  modelado. Zill octava edición.
• http//caminos.udc.es/info/asignaturas/obras_publi
  cas/203/pdfs/introduc_edo.pdf