Presentaci

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LEY DE GAUSS Y AMPÉRE
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• La descripción cualitativa del campo eléctrico E
  mediante líneas de fuerza está relacionada con
  una ecuación matemática llamada ley de Gauss, que
  relaciona el E sobre una superficie cerrada con
  la carga neta incluida dentro de la superficie

s EdS ? Qencerrada

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• Esta ley permite calcular fácilmente los campos
  eléctricos que resultan de distribuciones
  simétricas de carga, tales como una corteza
  esférica o una línea infinita. Supóngase una
  superficie de forma arbitraria que incluya un
  dipolo eléctrico.

• El número de líneas que salen de la carga
  positiva y cruzan la superficie depende de dónde
  se dibuje la superficie, pero es exactamente
  igual al de líneas que entran en el mismo recinto
  y terminan en la carga negativa.

-
4

• Si se cuenta el número que sale como positivo y
  el número que entre como negativo, el número neto
  que sale o entra es cero. Sin embargo para otras
  distribuciones de carga se tendría lo siguiente

El número neto de líneas que sale por cualquier
superficie que encierra las cargas es
proporcional a la carga encerrada dentro de dicha
superficie. Las líneas de campo que terminan en
q o no pasan a través de la superficie o salen y
vuelven a entrar. Por lo que este es un enunciado
cualitativo de la ley de Gauss.
2q
-q
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• La magnitud matemática relacionada con el número
  de líneas de fuerza que atraviesan una superficie
  recibe el nombre de flujo eléctrico (?)

E
Aquí se muestra un área S perpendicular a un
campo eléctrico uniforme E. El flujo eléctrico ?
que atraviesa una superficie de área S que es
perpendicular al campo se define como el producto
del campo E por el área S ? ES. Las unidades
son Nm2/C.
S
? ES ES cos 0º ES
Como el campo eléctrico es proporcional al número
de líneas por unidad de superficie, el flujo es
proporcional al número de líneas de fuerzas que
atraviesan la superficie.
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• Si la superficie tiene una cierta inclinación se
  tiene lo siguiente

n
S2 S2n
E
?
?
S1 S1n
S1n
S1 S2 cos?
S1
cos ?
S2
S2n

• La superficie S2 no es perpendicular al campo
  eléctrico E. El número de líneas que atraviesan
  la superficie S2 es el mínimo que atraviesa la
  superficie S1. Por lo que las superficies están
  relacionadas por
• S1 S2 cos?
• donde ? es el ángulo existente entre E y el
  vector unitario n perpendicular a la superficie
  S2, según viene indicado. El flujo a través de
  una superficie no perpendicular a E viene
  definido por
• ES1n ES2n cos?? ES cos ? EnS
• donde En En es el componente del vector del
  campo eléctrico perpendicular, o normal, a la
  superficie.

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• Se puede generalizar la definición de flujo
  eléctrico a superficies curvadas en las cuales E
  puede variar tanto de módulo como de dirección, o
  ambos a la vez, dividiendo la superficie en un
  número de elementos muy pequeños. Si cada
  elemento(?Si )es suficientemente pequeño, puede
  considerarse como un plano y puede despreciarse
  la variación del campo eléctrico en todo el
  elemento.

ni es el vector unitario perpendicular a dicho
elemento y ?Si es la superficie del elemento. Los
vectores unitarios ni tendrán direcciones
diferentes en el caso de elementos distintos.
El flujo es ??i Eni?Si y el flujo total es
la suma de ??i extendida a todos los elementos de
superficie. En el límite en que el número de
elementos se aproxima a infinito y la superficie
de cada elemento tiende a cero, esta suma resulta
ser una integral. Por lo que el flujo eléctrico
es ? lim ?Si?0 ?iEn ?Si Ends.
ni
E
?Si
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En una superficie cerrada, el vector n se define
de modo que está dirigido hacia fuera en cada
punto. En un punto donde una línea sale de la
superficie, E está dirigido hacia fuera y ? es
positivo, y al contrario, E está dirigido hacia
dentro y ? es negativo. Por lo que El flujo total
?neto será positivo o negativo. Puesto que ? es
? al número de líneas que atraviesan la
superficie, ?neto es ? al número de líneas de
fuerza que salen de la misma menos el número de
las que entran. El flujo neto en una superficie
cerrada es ?neto s Ends s Ends
En una esfera de radio R con su centro en la
carga puntual Q, el mismo número de líneas de E
que pasa a través de la superficie, atraviesa
cualquier superficie que incluya Q. E en un punto
cualquiera de la superficie es a la misma con
magnitud En kQ/R2. El flujo neto a través la
esfera es ?neto s Ends En s ds, donde En
ha salido de la integral porque es cte en todos
los puntos. La integral ds extendida a la
superficie es el área total 4?R2. Con este valor
y sustituyendo kQ/R2 por En se obtiene ?neto
kQ4?R2/R2 4?kQ
En
ds
R

Q
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El flujo neto a través de una superficie
cualquiera que rodea una carga puntual Q es
independiente de la forma y es igual a 4?kQ.
Ampliando este resultado a sistemas de más de una
carga puntual se tiene lo siguiente
Puesto que E en cualquier punto de la superficie
es la suma de los mismos producidos por las 3
cargas, el flujo neto a través de la superficie
es la suma de los flujos. El flujo de q3 es cero
debido a que cada línea de fuerza procedente de
la carga que entra en la superficie en un punto
abandona la misma en algún otro punto. El número
neto de líneas procedentes de la carga exterior
es cero. El ? de q1 es 4?kq1 y el de q2 es 4?kq2,
por lo que ?neto 4?k(q1q2) que puede ser
positivo, negativo o cero dependiendo de los
signos y valores de las 2 cargas.
q2

q1

q3

E E1 E2 E3 ? ?1 ?2 4?k(q1q2) ?3 0
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Por lo tanto se puede concluir que el flujo neto
a través de cualquier superficie es igual a ?neto
s Ends 4?kQdentro que es la ley de Gauss.
Su validez depende del hecho de que el E debido a
una carga puntual aislada varía inversamente con
el cuadrado de la distancia desde la carga. Es
costumbre escribir la cte de Coulomb k en función
de otra cte ?0 (permitividad del vacío) k 1/
4? ?0. Con lo que la ley de Gauss se
escribe ?neto s Ends Qdentro/ ?0
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La ley de Gauss puede deducirse matemáticamente
utilizando el concepto de ángulo sólido.
Supóngase un elemento de superficie ?S sobre una
superficie esférica.
El ángulo sólido subtendido por ?S en el centro
de la esfera se define como ?? ?S/r2, siendo r
el radio de la esfera. Puesto que tanto ?S como
r2 tiene dimensiones de longitud al cuadrado, el
ángulo sólido es adimensional. La unidad del
ángulo sólido es el estereorradián (sr). Como el
área total de una esfera es 4?r2, el ángulo
sólido total subtendido por una esfera es
4?r2/r2 4? sr
?S
r
??
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Existe una estrecha analogía entre el ángulo
sólido y el ángulo ordinario, que se define como
el cociente de un elemento de longitud de arco de
circunferencia ?S dividido por el radio de la
misma ?? ?S/r
r
El ángulo plano total subtendido por un círculo
es 2? radianes
?S
??
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Vamos a hacer un análisis del elemento de
superficie ?S de la esfera
El elemento de área ?S no es perpendicular a las
líneas radiales que salen de 0. El vector
unitario n normal al elemento de área forma un
ángulo ? con el vector radial unitario r. En este
caso, el ángulo sólido subtendido por ?s en el
punto 0 está definido por ?? ?Snr/r2
?scos?/r2
?scos?
r
?s
r
?
n
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Veamos los resultados que se obtienen para una
carga puntual q rodeada de una superficie de
forma arbitraria. Para calcular el flujo que
atraviesa esta superficie, debemos hallar En?S
para cada elemento de área de la superficie y
sumar respecto a la superficie completa.
El flujo a través del elemento de superficie
indicada es ?? En?S kqrn?S/r2 kq
?? El ángulo sólido ?? es el mismo que el
subtendido por el elemento de área
correspondiente de una superficie esférica de
cualquier radio. La suma del flujo que atraviesa
la superficie entera es kq veces el ángulo sólido
total subtendido por la superficie cerrada, que
es 4? estereorradianes ?neto s Ends kq
d? q/?0 que es la ley de Gauss
n
E
?S

q
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La fuente fundamental de los campos magnéticos es
la corriente eléctrica, estos no se originan o
terminan en puntos del espacio (líneas de campo
eléctrico), sino forman bucles cerrados que
rodean la corriente. Existe una ecuación para el
campo magnético análoga a la ley de Gauss del
campo eléctrico, llamada ley de Ampére.
Esta ley relaciona el componente tangencial de B,
sumando alrededor de una curva cerrada C con la
corriente Ic(corriente neta) que pasa a través de
la curva. En forma matemática la ley de Ampére es
c Bdl ?0Ic Válida para cualquier curva
C en tanto las corrientes sean continuas (no
comiencen o terminen en cualquier punto) y en
situaciones de gran simetría (c Bdl BL)
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La aplicación más simple de la ley de Ampére es
la determinación del campo magnético creado por
un conductor infinitamente largo y rectilíneo
portador de una corriente.
Si suponemos que estamos lejos de los extremos
del conductor, podemos usar la simetría para
eliminar la posibilidad de cualquier componente
de B paralelo al conductor. Suponemos que el
campo magnético es tangente a este círculo y
posee la misma magnitud B en cualquier punto del
círculo. La ley de Ampére nos dará cBdl
cBdlcos? B cdl ?0Ic, en donde se ha
tenido en cuenta que B tiene el mismo valor en
todos los puntos del círculo. La integral de dl
alrededor del círculo es igual a 2?r y la
intensidad Ic es la que corresponde al conductor.
Así se obtiene B(2?r)?0I B ?0I/ 2?r
B
dl
r
Ic
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Vamos a calcular el campo magnético de un
toroide, formado por espiras de conductor
arrolladas alrededor de una figura en forma de
neumático
Tenemos N vueltas de conductor, cada una
transportando una corriente I. Para calcular B,
determinaremos la integral de línea c Bdl
alrededor de una circunferencia de radio r
centrada en el centro del toroide. Por simetría,
B es tangente y constante en magnitud en todos
los puntos del círculo. Por tanto,
BdlB2?r?0Ic. La corriente total a través del
círculo de radio r para a lt r lt b es NI con lo
que queda
B?0NI/2?r B0 para r lta ó r gt b
r
a
b
I
I
Para r lt a, no existe I Para r gt b, ?I
Ientra-Isale0
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La ley de Ampére puede utilizarse también para
determinar una expresión del campo magnético
dentro de un solenoide estrechamente arrollado,
suponiendo que el campo es uniforme dentro del
solenoide y nulo en el exterior.
Escogemos el rectángulo de lados a y b para
nuestra curva cerrada C. La corriente que pasa a
través de esta curva es la I de cada vuelta
multiplicada por el número de vueltas existentes
en la longitud de a. Si el solenoide tiene n
vueltas por unidad de longitud, el número de
vueltas en la longitud a será na y la
corriente a través de la curva rectangular será
IcnaI. La única contribución a la suma de la
integral Bdl para esta curva es a lo largo
del lado mayor del rectángulo dentro del
solenoide, que vale Ba. La ley de Ampére nos
da Bdl Ba ?0Ic ?0naI. Por lo que B
dentro del solenoide es B ?0nI
a
Iexterior
b
B
Iinterior
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Sin embargo la ley de Ampére tiene algunas
limitaciones. Hay situaciones en las que no hay
simetría y el campo magnético no se mantiene
uniforme y constante tanto en módulo como en
dirección.
P
I
Es válida para la curva C pero B no es cte ni tg
a ella
r
I
C
C
En la mediatriz de un segmento de corriente
finita da un resultado incorrecto
P
r
I
C
-

Si el segmento es debido a un flujo momentáneo de
carga, no es válida porque la I no es continua en
el espacio
l
Si el segmento de corriente es una parte de un
circuito completo, es correcta la ley para la
curva C, pero no existe simetría suficiente para
aplicarla.
P
P2
P1
r

-
I
C
-Q
Q
20
THE END (FIN)