Mathmatiques et Thorie des Jeux

1
Mathématiques et Théorie des Jeux
2
Quest ce que la Théorie des jeux ?
3

• Une théorie mathématique
• du conflit et de la coopération . . .
• Elle analyse des situations où des agents
  rationnels doivent prendre des décisions
  stratégiques dont les conséquences dépendent de
  létat du monde,
• mais aussi des décisions prises par les autres
  agents.

4

• Des motivations historiques et philosophiques
  anciennes
• La question du contrat social chez les
  précurseurs de la philosophie politique,
• Platon (La république, - 427, -347),
• Hobbes (Le Léviathan, 1651),
• Rousseau (Du Contrat Social, 1762).

5

• Des motivations historiques et philosophiques
  anciennes
• La question du contrat social chez les
  précurseurs de la philosophie politique,
• Platon (La république, - 427, -347),
• Hobbes (Le Léviathan, 1651),
• Rousseau (Du Contrat Social, 1762).
• Une théorie jeune
• Von Neumann et Morgenstern
• (Theory of Games and Economic Behavior, 1944 ).

6
Quest ce quun jeu ?
7

• Des joueurs i 1, 2
• Un ensemble dactions pour chaque joueur
  A1, A2
• Des fonctions dutilité U1, U2 A1 A2? R
  
• U1(x,y) utilité (payoff) du joueur 1 associée
  aux actions x et y.
• Les joueurs jouent simultanément.

8
Le Dilemme du Prisonnier(Tucker, 1950)
Trahir Coopérer
T
C
9

• Le DP est un paradigme pour de nombreuses
  situations
• Le Problème du  free rider  (les boites à
  journaux en Suisse)
• La provision des biens publics (environnement,
  taxes, défense nationale,)
• La solution de Hobbes Changer les règles du jeu
  
• Covenants struck without the sword are but
  words , 1651, Le Léviathan

10
Le Dilemme du Prisonnier
11
Équilibres
12

• Un couple dactions (x , y) est un équilibre de
  Nash si
• U2 (x , y) U2(x , y) pour toute action y
• et
• U1 (x , y) U1(x , y) pour toute action x

13

• Un couple dactions (x , y) est un équilibre de
  Nash si
• U2 (x , y) U2(x , y) pour toute action y
• et
• U1 (x , y) U1(x , y) pour toute action x
• (T,T) est lunique équilibre du Dilemme du
  Prisonnier

14
Le jeu des 3 pontsSûr Pierres Cobras

S
P
C
15

• Le jeu des 3 ponts nadmet pas déquilibre
• Et pourtant
• Théorème (Nash, 1950) Tout jeu admet un
  équilibre en stratégies mixtes
•  I certainly knew right away that it was a
  thesis. I didnt know it was a Nobel.  (David
  Gale, 1995)

16

• Une stratégie mixte est une  loterie  (une
  distribution de probabilité) sur lensemble des
  actions
• Lutilité sétend par bilinéarité à lespace des
  stratégies mixtes
• U(x,y) S x(i) y(j) U(i,j)
• Léquilibre dans le jeu des 3 ponts est
  x (0.26, 0.32, 0.42), y (0.49, 0.36,
  0.15)
• La valeur du jeu 51

17
Lexistence nest pas lunicité
18
Le jeu du Cerf et du Lièvre

• Sagissait-il de prendre un cerf, chacun sentait
  bien quil devait pour cela garder fidèlement son
  poste mais si un lièvre venait à passer à la
  portée de lun deux, il ne faut pas douter quil
  ne le poursuivit sans scrupule, et quayant
  atteint sa proie il ne souciât fort peu de faire
  manquer la leur à ses compagnons
• Rousseau, Discours sur lorigine de linégalité,
  1755

19
Cerf Lièvre
C
L
20
Cerf Lièvre
C
L
21
Cerf Lièvre
C
L
22
Cerf Lièvre
C
L
23

• La multiplicité des équilibres,
• La question de la rationalité et du common
  knowledge ,
• Les évidences expérimentales,
• Posent un Problème Majeur à la théorie des jeux
  classique

24

• La multiplicité des équilibres,
• La question de la rationalité et du common
  knowledge ,
• Les évidences expérimentales,
• Posent un Problème Majeur à la théorie des jeux
  classique
• Pourquoi les joueurs devraient t-ils se
  coordonner sur un équilibre particulier ?

25
Apprentissage et Dynamique
26

• Une explication alternative issue de léconomie
  et de la biologie évolutionnaire est que
• les équilibres peuvent résulter dun processus
  dynamique dadaptation ou dapprentissage

27

• Une explication alternative issue de léconomie
  et de la biologie évolutionnaire est que
• les équilibres peuvent résulter dun processus
  dynamique dadaptation ou dapprentissage
• Maynard Smith, Evolution and the Theory of Games,
  1982,
• Fudenberg et Levine, Theory of Learning in Games,
  1998,

28
Le processus de meilleure réponse

• y(n) fréquence empirique des actions du joueur
  2 à linstant n,
• br(y(n)) la meilleure réponse à y(n)
  Argmax j U1( j, y(n)),
• À linstant n1, le joueur 1 joue laction
  br(y(n)) avec une probabilité proche de 1 et le
  joueur 2 en fait autant

29

• Vieille idée (Robinson, 1950) revisitée à la
  lumière de la théorie des systèmes dynamiques,
  des processus stochastiques, des inclusions et
  des équations différentielles
• Travaux en collaboration avec
• M. W Hirsch, Berkeley
• J. Hofbauer, Londre et Vienne
• S. Sorin, Paris
• J. Weibull, Stockholm

30
Jeux à somme nulle

• U1(x,y) U2(x,y) c
• Théorème Pour un jeu à somme nulle (x(n),y(n))
  converge presque sûrement vers léquilibre de
  Nash.

31
Jeux à 2 joueurs et 2 stratégies

• Théorème Pour un jeu 2 2 (x(n),y(n))
  converge presque sûrement vers un équilibre de
  Nash.
•  Génériquement  un jeu 2 2 admet un ou trois
  équilibres 2 purs et 1 mixte.
• Dans le second cas (x(n),y(n)) converge presque
  sûrement vers un équilibre pur et chaque
  équilibre pur a une probabilité positive dêtre
  sélectionné.

32
Externalités de Réseau
Cerf Lièvre
C
L
33
Externalités de Réseau
Betamax Vhs
B
V
34
Externalités de Réseau
Ideal Qwerty
I
Q
35
Jeux M x N où Mgt2, N gt 2

• Analyse locale Tout équilibre stable (instable)
  a une probabilité positive (nulle) dêtre
  sélectionné.
• Analyse globale lasymptotique du jeu requiert
  lanalyse globale dun système dynamique non
  linéaire.
• Convergence, Oscillation et Chaos sont possibles.

36
Jeux répétés et Coordination