Avant de commencer

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Avant de commencer
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Les constats de lIGEN en 2006

• En termes de notions
• La compréhension de la notion de problème
• Linsuffisance de pratique du calcul
• En termes de pratiques pédagogiques
• Les connaissances des élèves ne sont pas
  suffisamment prises en compte
• Lerreur est permise mais pas exploitée
• La synthèse finale et le résumé sont trop souvent
  négligés

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Des résultats en calcul trop faibles(évaluations
6ème 2007)

• Calcul mental
• 6X8 69,8 604 41
• Dans 56 combien de fois 8? 55,3
• Calcul posé
• 876X34 45,2 27,5X23 28,5
• 816 48,2 40812 52,1
• Proportionnalité (règle de trois)
• 6 objets identiques coûtent 150 . Combien
  coûtent 9 de ces objets ? 34,9
• 10 objets coûtent 22 . Combien coûtent 15 de ces
  objets ? 30,7

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Nombre et calcul

• I La construction du nombre

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I-1 Un peu dhistoire

• Il y a 30 000 ans, les premières traces  du
   autant 
• Il y a 6 000 ans, les premières traces du
   combien? 
• Il y a 5 000 ans les premières traces écrites du
   combien? 
• Il y a 4 000 ans
• la numération égyptienne (base dix mais pas de
  position)
• En Mésopotamie, numération de position en base
  soixante
• 300 ans avant JC, les Babyloniens ont une
  numération de position avec le concept du  0 
  en tant que chiffre
• 5ème siècle après JC, en Inde apparition de dix
  chiffres
• 628 après JC, concept du  0  en tant que nombre

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pour retenir que

•  Autant  précède  combien? 
• Le passage par lécrit est un passage décisif
  pour le développement de  combien? 
• Il y a des numérations  poussives , et des
  numérations  performantes  qui favorisent le
  calcul
• Le symbolisme est une autre étape décisive
• Le  0  en tant que nombre est apparu bien après
  le  0  en tant que chiffre

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I-2 Et les sciences cognitives ?

• Il y a deux zones différentes dans le cerveau
  humain, lune pour le calcul exact et lautre
  pour le calcul approché
• - Chez les bébés, discrimination des petits
  nombres, reconnaissance des grands nombres.
• Chez ladulte, calcul exact de 48 53,
• 16 22 est il plus proche de 40 ou de 50?
  (sens des nombres)
• La finesse de ce sens des nombres est prédictive
  de la réussite en mathématiques.
• Il est possible de travailler cet aspect (ex
  dyscalculie) et le langage nest pas
  indispensable pour construire le sens des
  nombres. (S Dehaene)

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I-3 Un peu de didactique

• Aspects cardinal et ordinal
• Groupement échange algorithme
• Dénombrement adéquation unique ordre stable
  cardinal repéré abstraction (objets disparates)
  ordre de comptage quelconque.
• Recomptage, décomptage surcomptage
• Désignation orale

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I-4 Des questions

• Ecrire ce quon entend ?
• Ecrire ce quon voit ?
• Soixante-trois 57
• Et les doigts ?
• Les manipulations et le chemin vers
  labstraction?
• Se questionner, se représenter, anticiper,
  expérimenter, valider, conclure

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Propositions pour la maternelle

• La connaissance des
• premiers nombres
• Un premier répertoire de calcul (somme égale à 5,
  différence dont le plus grand terme est 5)
• Les problèmes sur les quantités

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Analyse dexercices GS

• Le chapeau qui cache
• état initial
• état de
  recherche
• Aller chercher le nombre de jetons cachés

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Analyse dexercices GS

• Numération
• Problème
• Autant et combien?
• Cardinal

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II Connaissance des nombres

• Entiers naturels lire et écrire position des
  chiffres comparaison placement sur une droite
  graduée relations arithmétiques.
• Nombres visualisables (reconnaissance globale du
  dé) nombres familiers (jusquà 20) nombres
  fréquentés (30, 40, etc.) grands nombres
  (domaine de la numération écrite)
• Au fur et à mesure des apprentissages les nombres
  apparaissent sous de nouveaux costumes.

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Résolution de problèmes sans technique opératoire

• Connaissance des nombres, décomposition,
  représentation
• Compétences de résolution de problème
• Mais une explicitation des apprentissages visés
  est indispensable car lactivité elle-même nest
  quun moyen, pas une fin en soi

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Analyse dexercices CP

• Groupements, autre exemple, erreur
• Echange
• Suite numérique
• Ordinal ou cardinal ?
• Décomposition additive

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III Le calcul

• Le calcul posé (contact direct avec les chiffres,
  entretient des automatismes, résultat exact)
• Le calcul mental et réfléchi (mémoire,
  connaissance des nombres et des relations quils
  entretiennent, propriété des opérations,
  évaluation et contrôle des résultats,
  automatismes)
• Calcul instrumenté (allègement temporaire de la
  charge cognitive, exploration vaste et rapide,
  contrôle de résultat)

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IV Quatre points clés des programmes

• Les problèmes il faut apprendre à les résoudre.
  Catégories, classes, structures
• Le calcul réhabiliter les diverses formes de
  calcul mental, posé, instrumenté. Il y a une
  intelligence dans le calcul
• La mémoire outil indispensable pour  faire des
  mathématiques  mémoire des faits
  mathématiques, mémoire des méthodes.
• La notion de  vie courante 

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V La résolution de problèmes

• Les problèmes peuvent être envisagés selon trois
  points de vue
• - situations-problèmes utilisées pour l'approche
  et la construction de nouveaux outils
  mathématiques,
• - situations-problèmes permettant aux enfants de
  réinvestir des acquis antérieurs, d'en percevoir
  les limites d'utilisation (situation
  contre-exemple) et au maître d'en contrôler le
  degré de maîtrise,
• - situations-problèmes plus complexes, plus
  globales dans lesquelles l'enfant devrait pouvoir
  mettre en uvre son pouvoir créatif et affiner la
  rigueur et la sûreté de son raisonnement.

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Pour faire des maths

•  Faire des mathématiques, c'est selon moi "pour
  apprendre comment résoudre des problèmes" (par
  avance, donc on étudie des classes de problèmes
  afin de savoir) et non pas "pour que les
  problèmes soient résolus" (un à un, donc on
  étudie les problèmes qui se présentent et on les
  résout comme on peut). (). On comprend alors que
  le slogan de la "résolution de problèmes" permet
  de nier l'importance des conditions didactiques
  et de proposer, sous le prétexte qu'il a plus de
  sens, un enseignement qui ne s'adresse plus
  qu'aux rares élèves capables de tirer profit par
  eux-mêmes de leurs rencontres aléatoires 
• Alain MERCIER
• http//educmath.inrp.fr/Educmath/en-debat/le-reper
  toire-des-questions/ruthven/reponse-d-alain-mercie
  r-inrp-france

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et apprendre COMMENT on résout un problème

• La question qu'il faut poser à propos d'un
  problème pour l'enseignement est donc double 
• 1) Quels sont les problèmes voisins de ce
  problème ?
• Quel est son genre ?
• 2) Qu'est-ce que sa résolution permet
  d'apprendre ?
• Quel est son avenir ?
• Alain Mercier, PNP, 13 nov 2007

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Analyse de problèmes

• En partant à lécole, jai 3 billes dans ma
  poche. A la première récréation jen gagne 2. A
  la seconde récréation jen gagne 5.
• Combien ai-je de billes en rentrant chez moi?
• En partant à lécole, jai des billes dans ma
  poche. A la première récréation j en perds 2. A
  la seconde récréation jen perds 5. En rentrant
  chez moi, je compte 3 billes dans ma poche.
• Combien javais de billes en partant de chez
  moi ce matin?

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• Pb1 Paul avait 8 billes. Puis il a donné 5
  billes à Jean. Combien de billes a maintenant
  Paul ?
• Pb2 Paul avait 3 billes. Puis Jean lui a
  donné 5 billes. Combien de billes a maintenant
  Paul ?
• Pb3 Paul avait 3 billes. Jean lui en a donné.
  Paul a maintenant 8 billes. Combien de billes
  Jean a-t-il donné à Paul ?
• Pb4 Paul et Jean ont ensemble 8 billes. Paul
  a 3 billes. Combien Jean a-t-il de billes ?
• GS CP CE1 CE2
• Pb 1 100 100 100 100
• Pb 2 87 100 100 100
• Pb 3 61 56 100 100
• Pb 4 22 39 70 100

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Pour conclure

• Les difficultés persistantes
• Tableau synthétique