LECTURA 2

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• LECTURA 2
• Señales y Sistemas
• Instructor Humberto de J. Ochoa Domínguez
• Universidad Autónoma de Ciudad Juárez
• hochoa_at_uacj.mx

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• TRANS QUEEEEE?

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• TRANS QUEEEEE?

Existen muchas transformaciones las cuales se
utilizan para obtener información que no esta
disponible en el tiempo. La transformación mas
popular es la de Fourier.
Magnitud de la transformada de Fourier de la
suma de las tres funciones anteriores
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• TRANS QUEEEEE?

PERO CUIDADO, SI ENCUENTRAS UNA SENAL ASI,
ALEJALA DE FOURIER INMEDIATAMENTE Y CUENTASELO A
QUIEN MAS SEPA DE TRANSFORMACIONES.
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• Funciones periódicas

Para n 0,1,2..
T es el periodo
Para señales seno o coseno
Esto es
O sea que la amplitud se repite cada 360º
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• Funciones pares e impares

Función impar
Función par
Ejemplo
Ejemplo
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• Funciones pares e impares

De acuerdo con lo anterior una señal par y una
impar pueden ser expresadas de la siguiente
forma.
Por lo tanto, cualquier señal, sea par, impar o
incluso que no pertenezca a ninguno de estos dos
grupos, puede ser expresada en forma de suma de
una señal par y una impar.
Entonces
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• Producto punto y ortogonalidad

Producto punto
Ortogonalidad
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• Producto punto y ortogonalidad

Asumimos
Sabemos que
Entonces
De igual forma
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• Producto punto y ortogonalidad

Luego tenemos
También
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• Producto punto y ortogonalidad

Quiere decir que yo puedo definir
También
La T. F. es compleja, o sea es de la forma de
ajb
Lo que da como resultado la transformada de
Fourier. Este producto interno descompone la
señal f(t) en senos y cosenos. Dicho de otra
forma, la ortogo- nalidad de la transformada
permite detectar el contenido frecuencial de la
Senal f(t).
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• El operador J en la transformada de Fourier

Pero como la parte REAL y la parte IMAGINARIA de
la señal pueden tomar cualquier valor esto nos
sirve para conocer el ángulo de fase o arranque
de la señal
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En general
14
En general
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Cómo se visualiza el producto punto y la
ortogonalidad
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• Visualización fasorial de la transformada de
  Fourier de f(t)

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Series de Fourier

• Las series de Fourier se aplican a señales
  periódicas. Fueros descubiertas por el matemático
  francés Joseph Fourier en 1807.
• Con el uso de las series de Fourier, una señal
  periódica que satisface ciertas condiciones,
  puede ser expandida a una suma infinita de
  funciones seno y coseno.

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Series de Fourier Tiempo Continuo

• Considere una señal periódica real de tiempo
  x(t), con periodo T
• De el teorema de Fourier, bajo ciertas
  circunstancias, la forma trigonométrica con
  coeficientes reales de la serie de Fourier, está
  dada por
• Frecuencia angular ?02?/T

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(No Transcript)
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Obtención de los coeficientes

• En estas integrales n?0 es un parámetro, los
  coeficientes an y bn están en función de n?0, es
  decir an an (n?0) y bn bn (n?0).

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Obtención de los coeficientes

• Debido a la periodicidad, es más conveniente
  utilizar los límites de integración de t0 a tT.
  note que el coeficiente a0/2 da el valor promedio
  de x(t) en el intervalo de un periodo, es decir

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Armónicos

• En la fórmula de expansión de la serie de
  Fourier, n1 define el armónico fundamental, n2
  da el segundo armónico, etc.
• Una señal senoidal de frecuencia angular n?0, se
  llama el armónico n.
• Para muchos coeficientes reales an y bn decaen
  muy rápido a cero a medida que n incrementa, por
  esto, las señales pueden ser aproximadas por la
  serie truncada de Fourier
• Donde N es el número de armónicos incluidos en la
  aproximación.

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Cálculo de los coeficientes de la Serie

• Ejemplo Encontrar la Serie de Fourier para la
  siguiente función de periodo T
• Solución La expresión para f(t) en T/2lttltT/2 es

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Cálculo de los coeficientes de la Serie

• Coeficientes an

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Cálculo de los coeficientes de la Serie

• Coeficiente a0

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Cálculo de los coeficientes de la Serie

• Coeficientes bn

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Cálculo de los coeficientes de la Serie

• Serie de Fourier Finalmente la Serie de Fourier
  queda como
• En la siguiente figura se muestran la componente
  fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la
  suma parcial de estos primeros cuatro términos de
  la serie para w0p, es decir, T2

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Cálculo de los coeficientes de la Serie
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Espectros de Frecuencia Discreta

• El espectro de amplitud se muestra a continuación
• Observación El eje horizontal es un eje de
  frecuencia, (nnúmero de armónico múltiplo de
  w0).

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De la Serie a la Transformada de Fourier

• Si el periodo del tren de pulsos aumenta

t
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De la Serie a la Transformada de Fourier

• En el límite cuando T??, la función deja de ser
  periódica
• Qué pasa con los coeficientes de la serie de
  Fourier?

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De la Serie a la Transformada de Fourier
-50
0
50
-50
0
50
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De la Serie a la Transformada de Fourier

• Si hace T muy grande (T??) El espectro se vuelve
  continuo!

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De la Serie a la Transformada de Fourier

• El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar
  la expresión de una función f(t) no periódica en
  el dominio de la frecuencia, no como una suma de
  armónicos de frecuencia nw0, sino como una
  función continua de la frecuencia w.
• Así, la serie
• Al cambiar la variable discreta nw0 (cuando T??)
  por la variable continua w, se transforma en una
  integral de la siguiente manera

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De la Serie a la Transformada de Fourier

• Como
• La serie queda
• O bien,
• cuando T??, nw0?w y w0?dw y la sumatoria se
  convierte en

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De la Serie a la Transformada de Fourier

• Es decir,
• Donde
• Estas expresiones nos permiten calcular la
  expresión F(?) (dominio de la frecuencia) a
  partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa

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De la Serie a la Transformada de Fourier

• Notación A la función F(?) se le llama
  transformada de Fourier de f(t) y se denota por
  F, es decir
• En forma similar, a la expresión que nos permite
  obtener f(t) a partir de F(?) se le llama
  transformada inversa de Fourier y se denota por F
  1 ,es decir

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De la Serie a la Transformada de Fourier

• Ejemplo. Calcular F(?) para el pulso rectangular
  f(t) siguiente
• Solución. La expresión en el dominio del tiempo
  de la función es

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De la Serie a la Transformada de Fourier

• Integrando
• Usando la fórmula de Euler
• Obsérvese que el resultado es igual al obtenido
  para cn cuando T?? , pero multiplicado por T.

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De la Serie a la Transformada de Fourier

• En forma gráfica

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De la Serie a la Transformada de Fourier

• Tarea. Calcular la Transformada de Fourier de la
  función escalón unitario u(t)
• Graficar U(w)F u(t)
• Qué rango de frecuencias contiene U(w)?
• Cuál es la frecuencia predominante?