Sistemas Lineares

1
Sistemas Lineares

• Prof. Dr. Cesar da Costa

6.a Aula
Transformada de Fourier
2

• Série de Fourier

• Decomposição de Sinais em Componentes Senoidais

• Uma técnica muito importante na área de
  processamento de sinais é a análise de Fourier,
  que foi criada por J. B. J. Fourier. De acordo
  com essa técnica, qualquer sinal periódico pode
  ser descrito como a soma de diversos sinais
  senoidais.

• Considere um sinal periódico denominado onda
  dente-de-serra. É possível mostrar
  matematicamente que essa onda pode ser descrita
  como uma soma de um número infinito de
  componentes senoidais.

3

• Série de Fourier

• Na figura a seguir, são mostradas as três
  primeiras componentes senoidais que formam o
  sinal. Note que a frequência da onda
  dente-de-serra é de 1 Hz.
• A primeira componente senoidal tem 1 Hz, e é
  denominada fundamental ou primeira harmônica.
• A segunda componente tem o dobro da frequência (2
  Hz), é denominada segunda harmônica.
• A terceira componente tem o triplo (3 Hz) da
  frequência, e é denominada terceira harmônica, e
  assim por diante.

4

• Série de Fourier

Figura 1
5

• Série de Fourier

• Embora sinais periódicos em geral tenham um
  número infinito de harmônicas, a partir de certa
  frequência as amplitudes dessas harmônicas
  tornam-se muito baixas, e podem ser desprezadas.

• Também é importante observar que, embora não seja
  o caso do exemplo da Figura anterior, as
  componentes senoidais podem ter uma fase
  diferente de zero, sendo deslocadas em relação a
  uma senóide com fase zero.

• A representação de um sinal periódico como uma
  soma de componentes senoidais é denominada série
  de Fourier.

6

• Espectro de Frequencia

• A descrição de sinais por meio de componentes de
  frequências dá origem ao conceito de espectro de
  frequência.

• Nesse caso, primeiramente o sinal original é
  decomposto em componentes senoidais em função da
  frequência.
• O espectro de amplitude do sinal, então, é um
  gráfico das amplitudes das componentes senoidais
  em função da frequência da componente. A Figura a
  seguir ilustra o espectro de amplitude do sinal
  dente-de-serra mostrado anteriormente.

7

• Espectro de Frequencia do Sinal Dente de Serra

Figura 2
8

• Representacao Matemática da Série de Fourier

• Segundo Fourier, para uma função periódica dada
  por , com período , a função pode
  ser expresa pela Equação1.

(1)
9

• Representacao Matemática da Série de Fourier

• A Equação 1 pode ser rescrita na forma da Equacão
  2, que é conhecida como a Série de Fourier.
  Portanto, um sinal periódico com
  período pode ser expresso como uma soma
  de senóides com período T e suas harmônicas

(2)

• Os valores dos coeficientes e podem
  ser determinados pelas Equações 3 e 4,
  respectivamente.

(3)
(4)
10

• Série de Fourier com coeficientes complexos

• Pode-se representar um sinal periódico ,
  por meio de uma série de Fourier complexa. A
  ideia básica é escrever a série de Fourier em
  qualquer uma das formas complexas dada pela
  Equação 5.

(5)
11

• Série de Fourier com coeficientes complexos

• Deve-se ter em mente a fórmula de Euler,
  representada pela Equação 6.

(6)

• Para esse caso, os coeficientes de Fourier
  complexos da função são dados pela Equação 7.

(7)
12

• Condições para a existência de uma série de
  Fourier

• Para construir a série de Fourier de uma função ,
  devem-se satisfazer as seguintes condições

• A série deve ser uniformemente convergente para
  

• As funções envolvidas nos cálculos devem ser
  absolutamente integráveis

• A função deve ser seccionalmente
  diferenciável

• Se é uma função periódica, então esta
  função possui componente
• e cujos
  argumentos são frequências múltiplas inteiras da
  frequência angular do sinal.

• A função deve possuir um número finito de
  máximos ou mínimos dentro de qualquer intervalo
  finito.

13

• Exemplo 1

Gerar um sinal na forma de uma onda quadrada, com
período . Demonstrar que a série de Fourier
é valida para a construção dessa onda
quadrada. Solução
A Figura a seguir apresenta o código MATLAB, que
gera a onda quadrada de período e suas
1ª, 3ª, 5ª, 7ª e 9ª harmônicas. A Figura 7.4
apresenta os gráficos que demonstram que a série
de Fourier é valida para a reconstrução da onda
quadrada gerada.
14
(No Transcript)
15
Gráfico da onda quadrada e suas harmônicas
Figura 3
16

• Transformada de Fourier

• A análise no domínio da frequência, por meio da
  Transformada de Fourier, é uma ferramenta de
  propósito geral usada por uma ampla variedade de
  aplicações e procedimentos em muitos diferentes
  campos de aplicação como medicina, ótica, física,
  engenharia elétrica e mecânica.

• A Transformada de Fourier define que qualquer
  forma de onda periódica no domínio do tempo, pode
  ser representada por uma soma ponderada de senos
  e cossenos.

• A mesma forma de onda pode então ser representada
  no domínio da frequência, como um par de valores
  de amplitude e fase para cada componente de
  frequência.

17

• Transformada de Fourier

• O processo fundamental comum a todas as técnicas
  de análise espectral é a conversão de uma
  representação no domínio do tempo, por exemplo,
  um sinal de corrente elétrica, em uma
  representação no domínio da frequência. Isto pode
  ser conseguido por meio da utilização da
  Transformada de Fourier .

• Por exemplo, a eletroencefalografia (EEG) é o
  estudo do registro gráfico das correntes
  elétricas desenvolvidas no cérebro, realizado por
  meio de sensores aplicados no couro cabeludo, na
  superfície encefálica, ou até mesmo dentro da
  substância encefálica.

18

• Sinal do EEG

Figura 4 Sinal EEG capurado de um ser humano
19

• Sinal do EEG após Aplicacao da Transformada de
  Fourier

Sinal natural (a)
Sinal filtrado (b)
Figura 5
20

• Transformada de Fourier

• Independente da forma como o EEG é obtido, este
  representa a superposição dos campos elétricos do
  volume condutor, produzido por uma variedade de
  geradores de correntes neurais ativos, que podem
  ser registrados com a ajuda de um amplificador de
  instrumentação, eletrodos com gel condutores
  apropriados, filtros e demais circuitos
  associados.

• A amplitude do EEG registrada na superfície do
  cérebro ou córtex está entre a
  e sua banda de frequência é de zero a 150 Hz.

• O sinal de EEG no domínio do tempo é transformado
  para o domínio da frequência, por meio do
  algoritmo da transformada rápida de Fourier -
  FFT. A análise espectral decompõe o sinal de EEG
  em suas componentes de frequência, neste caso
  chamadas de harmônicas.

21

• Transformada de Fourier

Figura 6
Figura 7
22
Diagnóstico de falhas através de análise de
vibrações
Desbalanceamento - Exemplo
2º caso Massas a 90º
Massas no disco
Sinal coletado com eixo a 20 hz
Massa 1
Surge pico no espectro a 20 hz
Surge pico no espectro a 20 hz
Massa 2
Tempo Freqüência
23
Diagnóstico de falhas através de análise de
vibrações
Desbalanceamento - Exemplo
Comparando os espectros dos 3 sinais coletados a
20hz (1200 rpm)
Massas opostas Massas
a 90º Massas lado a lado
24
Diagnóstico de falhas através de análise de
vibrações
Desalinhamento angular exemplo nº 1
Sinal característico de desalinhamento angular
com rotação de eixo 25Hz
1x RPM
2x RPM
3x RPM
25

• Transformada Contínua de Fourier

• Embora a série de Fourier tenha sido desenvolvida
  para a representação de sinais periódicos, é
  possível representar também sinais não
  periódicos, usando uma técnica, denominada
  Transformada de Fourier.

• Na verdade, a série de Fourier é um caso especial
  da Transformada de Fourier, que é capaz de
  representar tanto sinais periódicos como sinais
  não periódicos como uma soma de infinitas
  componentes senoidais.

• Quando o sinal é não periódico, é possível
  demonstrar que ele pode ser escrito como uma soma
  de componentes senoidais em todas as frequências
  do espectro. A transformada de Fourier
  transforma, portanto um sinal no domínio do tempo
  em um sinal no domínio da frequência.

26

• Definição Matemática

• A transformada contínua de Fourier de é
  representada pela Equação 8. Geralmente, os
  matemáticos utilizam a notação para
  indicar a transformada contínua de Fourier.

(8)

• A transformada inversa IFFT de é determinada
  pela Equação 9.

(9)
27

• Exercício 1

Dada a funcao . Determine a
transformada contínua de Fourier da função. A
seguir determine a transformada inversa para
retornar a função original.
Solucao
A Figura 5 apresenta o código MATLAB (Toolbox
Symbolic Math), que determina a transformada
contínua de Fourier (linha 3). A linha 4 calcula
a transformada inversa. Os resultados são
apresentados na janela do Command Windows
28

• A Figura 6 apresenta o gráfico da transformada
  de Fourier da funcao .

Figura 8
29

• EXERCÍCIOS COM O MATLAB

• Nesta seção, veremos algumas funções extras do
  Matlab. Primeiramente, consideremos o seguinte
  trecho de programa a seguir. Analise atentamente
  o programa abaixo (consulte o help para as
  funções que você não conhece)

Abrir File New Script
Digitar o programa
30

• Execute o programa. A linha 1 cria o vetor do
  tempo de amostragem. A linha 2 cria uma função
  senoidal (qual é a freqüência?). A linha três faz
  com que a janela com o gráfico seja colocada à
  frente de todas as outras. A linha 4 plota uma
  senóide, como mostrado abaixo

31

• O comando pause, na linha 5, causa uma pausa no
  programa. Para continuar o programa, o usuário
  deve pressionar ltEntergt. A linha 6 utiliza o
  comando randn (utilize o help para aprender sobre
  este comando). Este comando gera uma seqüência de
  números aleatórios com distribuição normal, com
  uma linha e tantas colunas quanto for o
  comprimento do vetor t. O comando lenght(t)
  fornece o número de elementos de t. Observe a
  plotagem do sinal de ruído

32

• Para continuar o programa, mais uma vez o
  usuário deve pressionar ltEntergt.
• Em seguida, a linha 9 calcula uma nova variável
  y_noise, que é o sinal senoidal mais o ruído.
  Observe o resultado

Sinal senoidal ruído
33

• Exercício 2

Dada a funcao ,
conhecida como função densidade de Cauchy.
Determine a transformada contínua de Fourier da
função. A seguir determine a transformada inversa
para retornar a função original. Esboce o gráfico.
Solucao
34

• Gráfico da transformada contínua de Fourier da
  função densidade de Cauchy.

Figura 9
35

• Sistemas Amostrados - Teorema de Nyquist -
  Shannon

• Para que se possa avançar um pouco mais em
  direção às aplicações práticas das transformadas
  de Fourier, é necessário que seja apresentado um
  pouco de teoria que aborda os sistemas amostrados
  e suas propriedades.

• O teorema de Nyquist-Shannon  demonstra que para
  que seja preservada toda a informação contida
  nesse sinal, é necessário que o sinal seja
  amostrado em períodos equi-espaçados no tempo de
  tal forma que a frequência de amostragem seja
  maior ou igual a duas vezes a frequência máxima
  fc do sinal.

36

• Sistemas Amostrados - Teorema de Nyquist -
  Shannon

• Suponhamos que o espectro de um sinal, que
  queremos amostrar, seja contínuo no tempo e tenha
  banda limitada e cuja frequência máxima seja Fc,
  conforme pode-se observar na Figura 10.

Figura 10 - Espectro de um sinal cuja banda está
limitada
37

• Sistemas Amostrados - Teorema de Nyquist -
  Shannon

• Se o sinal for amostrado com uma frequência de
  amostragem igual a duas vezes a máxima frequência
  do sinal (Fs 2 Fc), o espectro resultante
  pode ser visto na Figura 11.

Figura 11 Espectro do sinal amostrado com Fs 2
Fc
38

• Repare que o espectro acaba sendo reproduzido
  infinitamente a cada múltiplo inteiro de Fs. Na
  Figura 12 pode-se observar o efeito chamado de
  aliasing, que ocorre quando a frequência de
  amostragem não obedece ao critério de
  Nyquist-Shannon e há uma sobreposição dos
  espectros do sinal.
• A consequência imediata disso é uma distorção do
  conteúdo espectral. Nesse caso a frequência de
  amostragem é   Fs lt 2 Fc.

Aliasing,
Figura 12 Espectro decorrente de aliasing
39

• Para completar a ilustração dos efeitos
  decorrentes das relações entre a frequência
  máxima do sinal e a frequência de amostragem,
  observe na Figura 13, quando Fs gtgt 2 Fc. Na
  prática, utiliza-se quando possível, uma
  frequência de amostragem mínima entre oito e dez
  vezes a máxima frequência do sinal.

Figura 13 Espectro resultante de uma amostragem
do sinal muito maior que Fc.
40

• Para fechar esse assunto, ainda precisamos
  apresentar a forma mais comum de se apresentar o
  espectro de um sinal amostrado. O gráfico mostra
  as frequências entre "zero" (0) e a frequência de
  amostragem Fs. Fica subentendido que esse
  espectro é repetido a cada Fs para cada lado do
  gráfico apresentado. Confira essa representação
  na Figura14.

Figura 14 Representação usual do espectro de um
sinal amostrado
41

• Exercício 2 no Matlab. Considere os três trechos
  de programa a seguir. Um exemplo do Teorema da
  Amostragem de Nyquist/Shannon. Analise o programa
  (consulte o help para as funções que você não
  conhece)

42

• EXERCÍCIOS COM O MATLAB

43

• EXERCÍCIOS COM O MATLAB

44

• EXERCÍCIOS COM O MATLAB

45
Série Discreta de Fourier

• Considere uma sequência xn que é periódica de
  período N xn xn k.N, qualquer
  k inteiro.

• Da análise de Fourier, sabemos que funções
  periódicas podem ser sintetizadas como uma
  combinação linear de exponenciais complexas cujas
  frequências são múltiplas (ou harmônicas) da
  frequência fundamental (no caso 2p/N).

• Da periodicidade no domínio da frequência da
  transformada de Fourier discreta no tempo,
  concluímos que existe um número finito de
  harmônicos as frequências (2p/N)k, k 0, 1,
  2, ...., N-1

46
Série Discreta de Fourier

• Assim, a sequência periódica xn pode ser
  expressa como

• onde Xk, k 0, 1, .... são chamados de
  coeficientes da série discreta de Fourier

47
Série Discreta de Fourier

• xn é a seqüência discreta no domínio do tempo
  que descreve os valores amostrados da variável
  contínua x(t) e N é o número de amostras da
  seqüência da entrada.

• Observe que Xk também é uma sequência periódica
  com período fundamental igual a N. Ou seja, Xk
  N Xk

• As equações anteriores são a representação
  discreta em série de Fourier de sequências
  periódicas.

48
Série Discreta de Fourier

• Por conveniência de notação, podemos chamar

• Assim, temos

Equação de Análise
    Equação     de     Síntese
49
Série Discreta de Fourier

• Exemplo

• Encontre a representação em série discreta de
  Fourier da sequência
•  
• xn ...0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2,
  3, ....

• O período fundamental da sequência é N 4.

• Por convencao sabe-se que

• Assim

50
Série Discreta de Fourier

• Agora

• Assim

51
Série Discreta de Fourier no MATLAB

• é chamada de Matriz DFS NO
  MATLAB.

• No MATLAB criar a funcao Xk , onde

• Criando uma funcao no MATLAB

File gt New gtFunction
52

• Digite os argumentos da funcao e a salve como dfs

• Esta funcao ficara na biblioteca do MATLAB e
  poderá ser utilizada quando for chamada.

53
Exercício

• Calcule a série discreta de Fourier da sequência
•  
• xn ...0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2,
  3, ...., onde N4.

Solucao
54
Série Discreta de Fourier Inversa no MATLAB

• A inversa é chamada de Matriz IDFS NO MATLAB.

• No MATLAB criar a funcao xn , onde

• Criando uma funcao no MATLAB

File gt New gtFunction
55

• Digite os argumentos da funcao e a salve como
  idfs

• Esta funcao ficara na biblioteca do MATLAB e
  poderá ser utilizada quando for chamada.

56
Exercício

• Calcule a série discreta inversa de Fourier da
  sequência
•   Sabendo-se que
• Xk6 -22j -2 -2-2j e N4.

Solucao
57
Exemplo Considere uma sequência representando
uma onda quadrada periódica apresentada na Figura
a seguir. Calcule a série discreta de Fourier
para 20 amostras (N20) e 40 amostras. Considere
L5 o número de amostras iguais a 1.
58
Solucao para N20 (amostras)
59
Solucao
60
Solucao para N40 (amostras)
61
Solucao
62

• Transformada Discreta de Fourier (DFT)

• A transformada discreta de Fourier (DFT) é
  equivalente à transformada de Fourier, porém é
  aplicada a sinais do tempo discretizados, ou
  amostrados. É a principal ferramenta que se
  utiliza em processamento digital de sinais.

• Essa transformada revela o espectro do sinal
  discretizado, mostrando as senóides que compõem o
  sinal original, com suas amplitudes e fases.

• A principal diferença com relação à transformada
  de Fourier original é que o espectro é composto
  pelo mesmo número de frequências discretas, que o
  número de amostras ao qual foi aplicada a
  transformada.

• Essas frequências são chamadas de raias. São como
  "janelinhas" que mostram o nível de sinal, se é
  que há algum, dentro dos seus limites.

63

• Transformada Discreta de Fourier (DFT)

A Figura 15 apresenta uma forma de onda quadrada
discreta, com 32 amostras, destacadas como pontos
vermelhos. As 32 amostras correspondem a 2 ciclos
completos da onda.
Figura 15 Onda quadrada amostrada
64

• Transformada Discreta de Fourier (DFT)

Na Figura 16 pode-se observar o  espectro (DFT)
correspondente as primeiras 16 amostras (1 ciclo)
no seu valor absoluto para simplificar a
visualização. Observe que nesse caso, Fs 16  
Fc. O espectro revela 16 raias no total,
espelhadas em torno de Fs/2.
Figura 16 Espectro da onda quadrada calculada
com 16 amostras
65

• Se for calculada a transformada discreta de
  Fourier (DFT) sobre a mesma onda amostrada, porém
  com 32 amostras, ou seja 2 ciclos completos da
  onda, obtém-se o espectro ilustrado na Figura 17.
  Repare que a distribuição das frequências se
  manteve, mas o espectro possui mais raias. São 32
  ao todo.

Figura 17 Espectro absoluto da onda quadrada
calculada com 2 ciclos (32 amostras)
66

• Transformada Discreta de Fourier (DFT)

• Suponha que se tenha um conjunto de N amostras de
  um sinal, no domínio do tempo, proveniente de um
  dispositivo de aquisição de dados, aplicando-se a
  DFT para essas amostras, o resultado obtido
  também possui N amostras, mas agora a informação
  está contida no domínio da frequência.

• Se o sinal foi amostrado a uma taxa fs , então o
  intervalo entre as amostras é , que pode ser
  determinada pela Equação 10. A resolução de
  frequência ou passo de frequência é dado pela
  Equação 11.

(10)
(11)

• Conclusão  quanto mais amostras forem utilizadas
  para calcular a DFT, maior a resolução em
  frequência do resultado obtido.

67

• Exercício 3

Dado um sinal periódico
, amostrado a 4 Hz. Calcule o espectro usando um
período simples.
Solucao
Logo
Portanto, o sinal tem 1 ciclo ou 1 período em 1
segundo.
A frequência de amostragem , implica que em 1
segundo tem-se 4 amostragens, logo o intervalo
entre amostras será
68
Solucao
69
Transformada Discreta de Fourier

• A DFT de uma sequência de N-pontos é dada por

• Note que Xk também é uma sequência de
  N-pontos, ou seja, ela não é definida fora do
  intervalo de 0 k N 1.

• A IDFT é dada por

70
Transformada Discreta de Fourier

• Como antes

• Assim, temos

71
Transformada Discreta de Fourier

• Podemos também representar a Transformada através
  da relação de Euler

72

• Transformada Discreta de Fourier

• Algumas considerações adicionais que devemos
  fazer quando calculamos uma DFT
• Deverá ser respeitado o critério de
  Nyquist-Shannon
• O sinal, a ser transformado, deverá ser de banda
  de frequências limitada
• A transformada discreta de Fourier, pressupõe que
  o sinal amostrado é necessariamente periódico.

73

• Transformada Rápida de Fourier - FFT

• As transformadas rápidas de Fourier, mais
  conhecidas por FFT (Fast Fourier Transforms) nada
  mais são do que algoritmos para computador
  desenvolvidos especialmente para realizar a
  transformada discreta de Fourier de forma rápida
  e eficiente.
• Existem inúmeras variantes desses algoritmos,
  cada um otimizando o desempenho para um tipo de
  resultado diferente, que se espera obter no final

74

• Transformada Rápida de Fourier - FFT

• FFT é o método computacional mais eficiente para
  implementação da DFT (Discrete Fourier Transform
  Transformada Discreta de Fourier).
• O algoritmo foi desenvolvido por volta de 1960
  por dois matemáticos, Cooley e Tukey, e consegue
  executar a DFT a partir de uma série de
  pontos amostrados do sinal original
  (chamados de amostras) sem conhecer a função
  matemática que os gerou.
• A única exigência é que seja utilizado um número
  de amostras do sinal original na forma de uma
  potência de 2, ou seja, amostras.

75

• Transformada Rápida de Fourier - FFT

• Este algoritmo consegue, a partir de combinações
  realizadas entre os valores das amostras, gerar o
  espectro de frequências do sinal original e
  vice-versa.
• A principal diferença entre a FFT e a
  transformada de Fourier é que para aplicar- se a
  transformada de Fourier é necessário conhecer a
  função no domínio do tempo para obter-se a função
  no domínio da frequência, porém quando aplica-se
  a FFT basta conhecer os pontos que compõe a
  função no domínio do tempo, para gerar os pontos
  que compõe a função no domínio da frequência.
• A FFT é uma ferramenta muito aplicada no
  processamento digital de sinais, pois na maioria
  dos casos a função do sinal amostrado é
  desconhecida.

76

• Transformada Rápida de Fourier - FFT

Exemplo
Digite o programa a seguir e Analise os
resultados
77

• Transformada Rápida de Fourier - FFT

78

• Transformada Rápida de Fourier - FFT

• Observe que, como o sinal xn é real, a
  magnitude da resposta em frequência apresenta uma
  imagem refletida.

• Assim, precisamos apenas da primeira metade dela
  . Para a fase, o padrão também aparece refletido
  no eixo da freqüência novamente, só precisamos
  de metade da plotagem.

• Para a questão da magnitude podemos fazer

gtgt half_m 0ceil(length(X)/2) gtgt
stem(half_mfs/length(X), abs(X(half_m 1)),
'b') gtgt ylabel('magnitude') gtgt
xlabel('frequencia (Hz)') title('Magnitude da
Resposta em Frequencia')  
79

• Transformada Rápida de Fourier - FFT

Programa no MATLAB apenas para a primeira metade
gráfico
80

• Transformada Rápida de Fourier - FFT

81

• Exercício 4

Gere um sinal senoidal, com frequência de 5 Hz,
amplitude de 2 V por 3 segundos. Considere uma
amostragem a uma taxa de 60 Hz. Calcule a
transformada rápida de Fourier FFT desse sinal
e Esboce o seu gráfico.
Solucao
82

• Gráfico da transformada contínua de Fourier do
  sinal de 5 Hz

83

• Exercício 5

Crie um sinal senoidal composto da soma das
seguintes funções x1e x2 . O sinal é corrompido
por um ruído aleatório (funcao randn do MATLAB).
Considere que o sinal é amostrado na frequência
de 1000 Hz. Determine a FFT do sinal corrompido
e esboce o seu gráfico.
Solucao
Uma das aplicações da FFT é localizar os
componentes de frequência de um sinal, corrompido
por ruído no domínio do tempo.
84
Código MATLAB da solucao do exercício
85

• Gráfico da transformada de Fourier do sinal

86

• Exercício Lista

Exercício 1 Crie um sinal composto pela soma de
três senóides de frequências distintas (exemplo
5 Hz, 10 Hz e 20 Hz) cada um com uma amplitude
característica (exemplo 2, 5 e 10) e faça a
transformada de Fourier desse sinal.
87

• Referencias Bibliograficas

1. http//www.embarcados.com.br/processamento-digital
   -de-sinais-dsp-parte-2/

2. DFT/FFT and Convolution Algorithms - Theory
and Implementation - C.S. Burrus and T.W. Parks
(1984) 3. Discrete-Time Signal Processing - 3rd
Edition - Alan V. Oppenheim Ronald W. Schafer
(2011).