Cenni di teoria ergodica

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Cenni di teoria ergodica

• Enrico Scalas (DISTA Università del Piemonte
  Orientale)
• www.econophysics.org

Riunione Ancona - 7-8 ottobre 2004
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Riassunto

• Il teorema di Liouville
• Il teorema del ritorno di Poincaré
• Ergodicità
• Il teorema ergodico per i processi stocastici
• Discussione

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Il teorema di Liouville I
(da V.I. Arnold, Metodi matematici della
meccanica classica, Editori Riuniti) Levoluzion
e temporale conserva il volume per ogni regione
D dello spazio delle fasi si ha vol(gt D)
vol(D) (si può dimostrare direttamente usando le
equazioni di Hamilton)
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Il teorema di Liouville II
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Il teorema del ritorno di Poincaré
(sempre dal libro di Arnold) Sia g una
trasformazione continua e biunivoca che conservi
il volume e che trasformi una regione limitata D
di uno spazio euclideo in se stessa g D D.
Allora in ogni intorno U di un punto qualsiasi
della regione D esiste un punto x appartenente a
U che ritorna in U, cioè gn x appartiene a U per
qualche ngt0. (questo teorema è molto semplice da
dimostrare il punto cruciale è che D è limitata)
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Ergodicità
(da D. Ruelle, Caso e caos, Bollati Boringhieri,
1992) Def Diciamo strato di energia (energy
shell) ME linsieme dei momenti p e delle
coordinate q per cui si ha H(p,q) E. Def
Levoluzione temporale sullo stato di energia ME
si dice ergodica se dato J contenuto in ME e tale
che gt J J, si ha necessariamente vol(J) 0 o
vol(J) vol(ME). Se levoluzione temporale è
ergodica e se consideriamo un qualsiasi
sottoinsieme A di ME e indichiamo con TA il tempo
che il sistema trascorre in A per 0lt t ltT durante
levoluzione temporale, si ha che il rapporto
TA/T tende al rapporto vol(A)/vol(ME) per T che
tende ad infinito. In altre parole, le medie
temporali tendono alle medie di insieme.
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Il teorema ergodico per i processi stocastici I
(da B. Gnedenko, The theory of probability, MIR,
1976) Nel 1931, Birkhoff dimostrò un teorema
generale della meccanica che aveva una notevole
generalizzazione probabilistica. Khinchin fu il
primo ad accorgersene nel 1934. Il teorema è il
seguente Se un processo stocastico continuo e
stazionario S(t) ha valor medio finito, allora
con probabilità 1 esiste il limite
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Il teorema ergodico per i processi stocastici II
(da A Papoulis, Probabilità, variabili aleatorie
e processi srocastici, Bollati Boringhieri) Se
il limite della media temporale esiste, a che
cosa tende? Se esiste il valor medio E(S(t)) ?
e la funzione di autocorrelazione RSS(?) tende a
zero per?? tendente a infinito allora vale con
probabilità 1
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Esempio semplice

• S(t) C(t) N, con C(t) successione di numeri
  distribuiti uniformemente tra 0 e 1 e N variabile
  aleatoria normale N(0,1) è stazionario, ma non
  ergodico
• infatti, il valor medio di insieme vale 1/2
  (E(S(t)) E(C(t)) E(N) 1/2 0 1/2)
• invece, il valor medio temporale vale 1/2 N.

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Discussione
From cottrell_at_ac.wfunet.wfu.edu Mon Nov 1
131316 1993 Date Mon, 1 Nov 1993 150303
-0400 (EDT) From allin cottrell
ltcottrell_at_ac.wfunet.wfu.edugtSubject Re
ergodicity To pkt_at_csf.colorado.edu Jim Devine's
question Explain the terms 'ergodic' and
'non-ergodic' in terms of the errors in
econometric equations. Answer If the process
under examination is non-ergodic, then
econometric equations are in error! Explanation
In all econometric work, one is assuming that the
time-series behavior of the variables of interest
gives us a handle on the nature of the
statistical processes according to which those
variables are generated. For instance, one
estimates C(t) a bY(t) u(t), on the
assumption that the variance (across time) of the
residual from this equation provides an estimate
of the variance of the distribution from which
the error u(t) is drawn, each period. This, as I
understand it, is the assumption of ergodicity.
But if aggregate consumption is non-ergodic, the
observed past values of the residual from an
equation such as the above do not tell us
anything about the statistical process generating
the consumption data in each period. Comment
It seems to me that the claim that economic
processes are non-ergodic borders on nihilism.
Paul Davidson likes to argue that non-ergodicity
provides a foundation for a Keynesian approach to
the demand for money (liquidity preference being
related to fundamental uncertainty). But I think
this line of argument is self-destructive. If
the past really provides no guide to the
future, then what makes anyone think that holding
money is preferable, from the point of view of
liquidity, to holding stocks of toothpaste or
radioactive waste?