Ley de Little

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Ley de Little

• Procesos Estocásticos y Teoría de Filas
• Primer Semestre de 2003
• Luciano Ahumada Fierro

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Ley de Little Introducción

• La ley de Little relaciona los valores medios de
  tres variables de importancia en un sistema
• N Número medio de usuarios en el sistema
• T Tiempo promedio de un cliente en el sistema
• ? Tasa media de arribo al sistema
• En este caso, sistema se utiliza en un sentido
  amplio, que puede involucrar ya sea la fila y los
  servidores, sólo la fila o sólo los servidores.

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Ley de Little Introducción
Sistema
Llegadas (?)
servidor
fila
Salida
N usuarios

• N es una variable de interés desde el punto de
  vista del sistema y permite dimensionar los
  buffers.
• T, el tiempo de retardo, es una variable de
  interés desde el punto de vista del usuario, ya
  que es lo que el debe esperar en la fila antes de
  ser atendido.
• La ley de Little relaciona estas variables a
  través de ?, la velocidad de entrada al sistema.

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Ley de Little

• Se define
• ?(0,t) número de entradas al sistema en el
  intervalo (0,t)
• ?(0,t) número de salidas del sistema en el
  intervalo (0,t)

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Ley de Little

• Se define
• N(t) número de usuarios en el sistema en el
  instante t
• Se observa que N(t)?(0,t)-?(0,t)

ti
Para ti, N(ti) 3
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Ley de Little

• Además, el área acumulada entre las dos curvas,
  ?(0,t) y ?(0,t), es una medida del tiempo total
  que todos los clientes han permanecido en el
  sistema en el intervalo de tiempo 0,t. Esta
  cantidad se denomina ?(0,t).

• ?(0,t) tiene unidades de clientessegundo

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Ley de Little

• La cantidad ?(0,t) es similar al concepto de
  Horas Hombre (HH).
• Las horas hombre son un cantidad que permite
  dimensionar la capacidad de un sistema.

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Ley de Little

• Por ejemplo
• Una oficina dispone de 5 personas, cada una
  trabaja 8 horas diarias. La capacidad de la
  oficina es de 58 40 HH.
• La mantención de una maquinaria automática
  requiere que un operador manualmente permanezca
  10 horas sustituyendo su función en la
  producción. Se dice entonces que la mantención
  de la máquina requiere de 10 HH.
• En el caso de una fila, en un sistema
  fila-servidor, la capacidad de la fila está dada
  por el ?(t) máximo, correspondiente al área
  acumulada entre las curvas de ?(0,t) y ?(0,t), de
  tal forma que la fila no se revalse.

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Ley de Little

• Se define la tasa de llegada promedio en el
  intervalo 0,t como ?(0,t) , donde

?t Velocidad Media de Llegada
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Ley de Little

• Sea T(0,t), el tiempo promedio que permanece un
  usuario en el sistema, en el intervalo 0,t.
• T(0,t) equivale al tiempo total que permanecen
  los usuarios en el sistema dividido por el número
  de entradas en el intervalo

?(t) cantidad proporcional al tiempo acumulado
por todos los clientes que han estado en el
sistema.
?(t) número de clientes que han estado en el
sistema en 0, t
N(t)
?(t)
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Ley de Little

• De acuerdo a las definiciones anteriores, se
  tiene que

?(0, t) proporcional al tiempo total de todos
los clientes que han permanecido en el sistema en
el intevalo0, t.
?(0,t) número de clientes que han entrado al
sistema en el intervalo 0, t.

• Por otra parte, se define

número promedio de usuarios en el intervalo
(0,t)
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Ley de Little

• puede calcularse como el cuociente entre una
  cantidad proporcional al tiempo acumulado que han
  estado los clientes en el sistema, ?(t), y el
  tiempo t.

• Combinando las ecuaciones (1), (2) y (3) se
  obtiene

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Ley de Little

• Asumiendo que el sistema es estable, se cumplen
  los siguientes límites

• Notese que la existencia de estos límites es la
  única condición que se ha impuesto al sistema

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Ley de Little

• Si estos límites existen, también existe el
  límite para . Sea

• Entonces se tiene que

Ley de Little
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Ley de Little

• Este es el resultado final de la ley de Little, y
  establece que el número medio de usuarios en un
  sistema, es igual a la tasa media de llegadas al
  sistema multiplicado por el tiempo medio de
  permanencia de un usuario en el sistema.

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Ley de Little

• La Ley de Little relaciona una variable temporal
  (T, tiempo de retardo) con una variable espacial
  (N, por ejemplo, tamaño de un buffer)
• N y T se relacionan a través de ?, velocidad de
  llegada.
• ? es en general la variable independiente, la
  entrada al sistema .
• La ley de Little es útil para evaluar el
  desempeño de un sistema en términos de su
  capacidad

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Ley de Little

• Es importante notar que para la deducción de esta
  ley, no se ha hecho ninguna suposición acerca de
  la distribución de probabilidad de las llegadas
• Es decir, las llegadas pueden tener, una
  distribución de Poisson (M), Erlang (Er),
  determinista (D), llegadas múltiples, etc...
• En otras palabras, se tiene que, según la
  notación de Kendall, la ley de Little es válida
  para una fila con distribución de llegadas
  general (G)

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Ley de Little
Arribos aleatorios distribución cualquiera
Arribos deterministas
En ambos casos, la ley de little se cumple, ya
que la distribución de las llegadas no fue
considerada en la deducción
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Ley de Little

• Tampoco se ha hecho ninguna suposición acerca de
  la distribución de probabilidad del tiempo de
  atención.
• Esta distribución puede ser cualquiera. Según la
  notación de Kendall, la ley de Little es válida
  para una distribución de tiempo de servicio
  General (G).
• Además, el número de servidores en un sistema
  también es arbitrario.
• La única condición que se impone es que el factor
  de utilización ? del sistema sea menor que 1.

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Ley de Little
Salidas deterministas
Salidas aleatorias, distribución cualquiera
En ambos casos, la ley de little se cumple, ya
que la disciplina de atención no fue considerada
en la deducción
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Ley de Little

• Tampoco se ha hecho ninguna suposición acerca de
  la disciplina de atención que se esté
  utilizando.
• En particular, la disciplina de atención podría
  ser FIFO, LIFO, o con prioridad.
• En cualquiera de estos casos, la ley de Little
  puede aplicarse, ya que en su deducción no se
  supuso ninguna disciplina en particular.

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Ley de Little

• Es importante dejar en claro que un cambio en la
  disciplina de atención produce cambios en los
  resultados específicos de N, T y ?
• Sin embargo, la relación entre las tres variables
  se sigue cumpliendo

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Ley de Little

• Por ejemplo, a un sistema llegan tres usuarios.
  Los tiempos de servicio para cada uno son
  t1ltt2ltt3.
• Si se atiende al trabajo más corto primero
  (asumiendo que en el instante t todos están
  presentes) el tiempo de permanencia promedio será

t1
t2
t2
t1
t3
t3
t1
t1 t2
t1 t2 t3
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Ley de Little
t1
t2
t2
t1
t3
t3
t1
t1 t2
t1 t2 t3
T primer usuario
T segundo usuario
T tercer usuario
t1
t1 t2
t1 t2 t3
Tc
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Ley de Little

• En cambio, si se atiende al trabajo más largo
  primero

t1
t2
t2
t1
t3
t3
t3
t3 t2
t3 t2 t1
T tercer usuario
T segundo usuario
T primer usuario
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Ley de Little
t1
t2
t2
t1
t3
t3
t3
t3 t2
t3 t2 t1
T tercer usuario
T segundo usuario
T primer usuario
t3
t3 t2
t3 t2 t1
Tl
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Ley de Little

• Del gráfico anterior claramente Tl es mayor que
  Tc
• En este caso, los valores de los tiempos de
  permanencia promedio varían al cambiar la
  disciplina de atención
• Sin embargo, la ley de Little se cumple en ambos
  sistemas

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Ley de Little

• Además, este resultado es válido tanto para el
  sistema fila-servidor en su totalidad, como para
  alguna de sus partes
• Es decir, la ley de Little puede también
  aplicarse a los servidores o a la fila por
  separado.
• En el siguiente ejemplo, se parte considerando la
  fila y el servidor por separado, para luego ir
  escalando el tamaño del objeto modelado hasta un
  sistema de gran envergadura. La ley de Little se
  cumple en cada uno de los sistemas por separado,
  así como en el sistema global

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Ley de Little
N?T
Nf?fTf
NS?STS
NS
Nf
servidor
fila
?f
?S
Tf
TS
N usuarios T tiempo medio de permanencia
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Ley de Little

• En general, para el análisis de un servidor se
  tiene que

??S
servidor
?S
Factor de utilización
Tiempo medio de servicio
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Ley de Little
N?T
N1 usuarios T1 tiempo medio de permanencia
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Ley de Little
N usuarios T tiempo medio de permanencia
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Ley de Little
N?T
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Ley de Little
N?T
Internet
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Ejemplo M/M/1

• Supongamos que el cliente A llega a una fila
  donde existen k clientes antes que él (k-1 en
  la fila y 1 en el servidor).
• Asumiendo tiempo de servicio exponencial de
  parámetro ?, es posible concluir que el tiempo
  medio de servicio será 1/?

36
Ejemplo M/M/1

• Esto significa que el cliente que está siendo
  servido, los k-1 clientes esperando en la fila y
  el Cliente A tendrán un tiempo de servicio
  promedio de 1/? cada uno.
• De allí entonces que el tiempo de permanencia
  promedio en el sistema del cliente A,
  condicionado a que existen k usuarios antes será

37
Ejemplo M/M/1

• Por lo tanto, la esperanza (valor medio) del
  tiempo de permanencia en el sistema (T) será

38
Ejemplo M/M/1

• Pero EkN, por lo tanto,
• Además, de acuerdo a la Ley de Little

39
Ejemplo M/M/1

• Despejando T, N de ambas ecuaciones se logra

Tiempo medio de permanencia en el sistema
Número medio de usuarios en el sistema
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Ejemplo M/M/1

• A partir de las ecuaciones anteriores se puede
  obtener

Tiempo medio de permanencia en la fila
Número medio de usuarios en la fila
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Ley de Little Ejemplos
Análisis de un concentrador Análisis de un
computador de tiempo compartido
42
Ley de Little Ejemplos

• Análisis de un Concentrador

43
Análisis de un Concentrador

• La ocupación promedio de un buffer de un
  concentrador de datos puede ser calculada para
  diferentes casos.
• En este tipo de equipos los paquetes entrantes de
  terminales conectados a él son almacenados en
  orden de llegada en un buffer, y son entonces
  leídos en FIFO sobre un enlace de salida de
  transmisión.

44
Análisis de un Concentrador

• Suponganse las siguientes condiciones
• 10 terminales están conectados al concentrador.
• Cada uno genera, en promedio, un paquete cada 8
  segundos (distribuidos exponencialmente)
• Los paquetes tiene un largo promedio de 960 bits
• Se usa una línea de salida de capacidad de 2400
  b/s.
• ocupación promedio del Buffer ?
• retardo medio en el sistema T ?
• tiempo de espera promedio en la fila W ?

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Análisis de un Concentrador

• Modelo
• Para modelar el Buffer se usará una Fila M/M/1.
• Tasa de arribo de paquetes
• Cada terminal genera paquetes de acuerdo a una
  distribución exponencial a una tasa de 1/8
  paquetes /seg
• La llegada de paquetes al concentrador tendrá
  también distribución exponencial, y la tasa de
  llegada será la suma de las tasas a la que genera
  cada terminal, es decir

Apéndice
46
Análisis de un Concentrador

• La tasa de servicio se calcula como

• Por ende, la ocupación media del buffer es

• Entonces, el número medio de usuarios en el
  sistema (Buffer y Servidor) es (Fila M/M/1)

47
Análisis de un Concentrador

• Utilizando la Ley de Little, el tiempo medio de
  cada usuario en el sistema es

• El tiempo medio de espera en el buffer es

48
Análisis de un Concentrador

• En este ejemplo, se conoce la tasa media de
  llegada ? lo que se quiere encontrar es N y T
• En una primera aproximación, la ley de Little
  sólo nos da la relación entre N y T
• Para conocer los valores exactos de N y T se
  necesita otro método para despejar alguna de las
  dos variables
• En general, encontrar expresiones para el tiempo
  de permanencia en la fila es más difícil
• Se utilizan entonces los modelos de teoría de
  filas conocidos, que permiten encontrar el
  número de usuarios en la fila

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Ley de Little Ejemplos

• Análisis de un computador de tiempo compartido

Arquitectura del sistema
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Análisis de un computador de tiempo compartido

• Parámetros del Sistema
• N Número de terminales
• R Tiempo medio de espera en cada terminal
• P Tiempo medio de procesamiento de cada
  trabajo.
• D Tiempo medio desde que un trabajo es enviado
  al computador hasta que acaba su ejecución.
• TRD tiempo medio de un trabajo en el sistema.
• ? Throughput del sistema

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Análisis de un computador de tiempo compartido

• Modelado del Problema

A
Time Sharing
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Análisis de un computador de tiempo compartido

• Condiciones del sistema
• N Constante del sistema
• Condición Máxima de Utilización
• Siempre existe un usuario con trabajo cuando otro
  acaba de ser atendido.
• Problema
• Encontrar los valores máximos y mínimos de ? y T.

53

Análisis de un computador de tiempo compartido

• Debido a la hipótesis siempre existen N
  terminales procesando
• Aplicando a Ley de Little entre los puntos (A) y
  (B)

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Análisis de un computador de tiempo compartido

• Retardo mínimo de un trabajo (procesador
  desocupado)
• Dmin P
• Retardo máximo de un trabajo ( todos los
  terminales han enviado un trabajo al procesador)
• Dmax NP

55

Análisis de un computador de tiempo compartido

• Conclusión
• P ? D ? NP
• Por lo tanto
• R P ? T ? R NP
  (1)
• Aplicando la Ley de Little en (1)
• 
  (2)
• Debido a que el procesamiento de un trabajo
  demora P, se cumple que
• 
  (3)

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Análisis de un computador de tiempo compartido

• Combinando (2) y (3), se obtiene
• 
  (4)
• Usando la Ley de Little se obtienen los límites
  de tiempo para el sistema
• 
  (5)

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Retardo Máximo y Mínimo del Sistema
Análisis de un computador de tiempo compartido

58
Análisis de un computador de tiempo compartido

• Al aumentar el número de terminales, el tiempo de
  retardo aumenta
• El mínimo tiempo de retardo se obtiene para N1,
  lo cual es de esperar por que en este caso el
  terminal es atendido de inmediato cuando tiene un
  trabajo

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Throughput Máximo y Mínimo
Análisis de un computador de tiempo compartido

60
Análisis de un computador de tiempo compartido

• El máximo throughput es alcanzable cuando N es
  mayor que 1R/P
• Se observa también que al aumentar el número de
  términales, el throughput se acerca con seguridad
  al máximo
• Esto significa un mejor aprovechamiento de los
  recursos
• Sin embargo, desde el punto de vista del usuario,
  el servicio se degrada debido a que aumenta el
  retardo

61
Análisis de un computador de tiempo compartido

• En este ejemplo, no se trata de encontrar
  expresiones finales para N, T y ?
• La idea es caracterizar el desempeño del sistema
  (en términos de throughput y retardo) asumiendo
  ciertas condiciones de operación
• De esta forma se obtienen valores máximos y
  mínimos para throughput y retardo en función del
  número de terminales
• En este caso, sin necesidad de un modelado del
  sistema, la Ley de Little provee resultados útiles

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Apéndices
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Notación de Kendall para sistemas de filas

• Corresponde a un formato abreviado para denotar
  las características específicas de un proceso de
  nacimiento y muerte, como lo muestra la figura
  siguiente.

G General M Exponencial
Tiempo entre arribos
G General M Exponencial
Tiempo de servicio
Número de servidores
N Número finito
Infinito N Finito
Número de fuentes
Infinito L Finito
Longitud de la cola
Nota Normalmente, los infinitos se omiten y la
disciplina de atención es FIFO
1/2/3/4/5