LOGICA%20Y%20DEMOSTRACIONES

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LOGICA Y DEMOSTRACIONES

• LA LÓGICA ES EL ESTUDIO DEL RAZONAMIENTO EN
  PARTICULAR, SE ANALIZA SI UN RAZONAMIENTO ES
  CORRECTO.
• LA LÓGICA SE CENTRA EN LAS RELACIONES ENTRE LOS
  ENUNCIADOS Y NO EN EL CONTENIDO DE UN ENUNCIADO
  PARTICULAR.

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POR EJEMPLO, CONSIDÉRESE EL SIGUIENTE ARGUMENTO

• -Todos las matemáticos utilizan sandalias.
• -Cualquier persona que utilice sandalias es
  algebrista.
• -Por tanto, todos los matemáticos son
  algebristas.
•  

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PRINCIPIO

• LA LÓGICA CONSIDERA QUE UN RAZONAMIENTO QUE PARTE
  DE ALGO VERDADERO ES VERDADERO SI SE LLEGA A
  ALGO VERDAERO Y LO CONSIDERA FALSO CUANDO SE
  LLEGA A ALGO FALSO.
• LOS RAZONAMIENTOS QUE PARTEN DE ALGO FALSO,
  SIEMPRE SON CONSIDERADOS COMO VERDAEROS

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EJERCICIOS

• SI 336, ENTONCES 6-33
• SI 336, ENTONCES 6-32
• SI 335, ENTONCES 339
• SI 335, ENTONCES 337

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PROPOSICIONES

• Cuál de los siguientes enunciados es verdadero o
  falso?
• a) Los únicos enteros positivos que dividen a 7
  son 1 y el propio 7.
• b) Alfred Hitchcock ganó un Premio de la Academia
  en 1940 por dirigir Rebecca.
• c) Para todo entero positivo n, existe un número
  primo mayor que n.
• d) La Tierra es el único planeta en el universo
  que tiene vida.
• e) Compre dos boletos para el concierto de
  rock de Unhinged Universe para el viernes.

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PROPOSICIONES (definición)

• Una afirmación que es verdadera o falsa, pero no
  ambas, es una proposición.
• Utilizaremos letras minúsculas, como p, q y r,
  para representar las proposiciones. También
  utilizaremos la notación
• p 113
• para indicar que p es la proposición 113.

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PROPOSICIÓN SIMPLE

• UNA PROPOSICIÓN QUE CONTIENE UN SOLO SUJETO, UN
  SOLO PREDICADO Y LA CARACTERÍSTICA DEL PREDICADO
  APARECE EN FORMA AFIRMATIVA PARA EL SUJETO, ES
  LLAMADA PROPOSICIÓN SIMPLE.

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PROPOSICIONES SIMPLES

• EL AGUA ES UN ELEMENTO
• LA TIERRA ES REDONDA
• LA COMPUTADORA ES ÚTIL EN LA CIENCIA.
• 2 MÁS 2 ES IGUAL A 4
• EL BITE ES LA UNIDAD MÍNIMA DE COMUNICACIÓN

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PROPOSICIONES COMPUESTAS

• UNA PROPOSICIÓN QUE NO ES SIMPLE SE LLAMA FINCIÓN
  COMPUESTA
• EJEMPLOS
• JUAN Y PEDROS SON HERMANOS
• EL AIRE NO ESTÁ CONTAMINADO

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• LA PELEA ES DIFICÍL E INJUSTA
• EL AGUA Y EL ACEITE NO SE MEZCLAN
• LA HISTORIA Y SOCIOLOGÍA SON INOPERANTES.

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CONJUNCIÓN( )

• Definición
• Sean p y q proposiciones.
• La conjunción de p y q, denotada por p q,
  representa la proposición
• ocurre p y ocurre
  q.
• La disyunción de p y q, denotada por p q,
  representa la proposición
• ocurre p o ocurre
  q.
• Las proposiciones (como p q y p q)
  resultantes de combinar proposiciones simples son
  proposiciones compuestas.

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EJEMPLO

• Si p 113,
• q Un decenio tiene 10 años, entonces
  la conjunción de p y q es
• p q 113 y un decenio tiene 10 años.
•  
• La disyunción de p y q es
• p q 113 o un decenio tiene 10 años.

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TABLA DE VERDAD

• El valor de verdad de la proposición compuesta p
  q queda definido mediante la tabla de verdad.

p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
14
EJEMPLO

• Si p 113,
• q Minneápolis es la capital de Minnesota,
• entonces p y q son falsas
• y la conjunción
• p q 113 y Minneápolis es la capital de
  Minnesota es falsa.

15
EJEMPLO

• Si
• p 113
• q Un decenio tiene 10 años,
• dado que p es falsa, q es verdadera, entonces la
  conjunción
• p q 113 y un decenio tiene 10 años es
  falsa.

16
EJEMPLO

• Si
• p Benny Goodman grabó música clásica,
• q Los Orioles de Baltimore eran los Cafés
  de San Luis, entonces
• p y q son verdaderas. Luego
• p q Benny Goodman grabó música clásica
  y lo Orioles de Baltimore eran los Cafés
  de San Luis es verdadera.

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TABLA DE VERDAD

• El valor de verdad de la proposición compuesta p
  q se define mediante la tabla de verdad

p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
18

• Si
• p 113,
• q Un decenio tiene 10 años,
• entonces p es falsa, q es verdadera, y la
  disyunción
• p q 113 o un decenio tiene 10 años es
  verdadera.
•  

19
EJEMPLO

• Si
• p Benny Goodman grabó música clásica,
• q Los Orioles de Baltimore eran los Cafés de
  San Luis, entonces
• p y q son ambas verdaderas y la disyunción
• p q Benny Goodman grabó música clásica o
  los Orioles de Baltimore eran los Cafés de
  San Luis también es verdadera.

20
EJEMPLO

• Si
• p 113,
• q Minneápolis es la capital de Minnesota, 
• entonces
• p y q son falsas y la disyunción
• p q 113 o Minneápolis es la capital de
  Minnesota es falsa.

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NEGACION

• La negación de p, denotada por p, es la
  proposición
• no p.
• El valor de verdad de la proposición p se
  define mediante la tabla de verdad

p p
V F
F V
22
EJEMPLO

• Si p Cary Grant estelarizó Rear Window,
  entonces la negación de p es la proposición
• p No es cierto que Cary Grant haya
  estelarizado Rear Window.

23
EJEMPLO

• Sean
• p Blas Pascal inventó varias máquinas
  calculadoras,
• q la primera computadora digital completamente
  electrónica fue construida en el siglo XX.
• r el valor del número pi se calculó hasta 1
  millón de cifras decimales en 1954.
• Representar la proposición
• Blas Pascal inventó varias máquinas
  calculadoras y no es
• cierto que la primera computadora digital
  completamente electrónica haya sido construida en
  el siglo XX o bien el valor de pi se calculó
  hasta 1 millón de cifras decimales en 1954, en
  forma simbólica y determinar si es verdadera o
  falsa.

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La proposición puede escribirse en forma
simbólica como(p q) r.(p q) r
(V V) F (V F) F F F
F.Por tanto, la proposición dada es falsa
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TABLA DE VERDAD

• UNA TABLA DE VERDAD PARA UN PROPOSICION, CONSISTE
  EN ANALIZAR EL VALOR DE VERDAD O FALSEDAD PARA
  DICHA PROPOSICION, EN TODAS LAS POSIBLES
  COMBINACIONES DE VERDAD O FALSEDAD DE LAS
  PROPOSICIONES SIMPLES QUE LA CONSTITUYEN

26
EJEMPLO

• CONTRUYA LA TABLA DE VERDAD DE LA PROPOSICION
• (p q) r
• PASO 1 SE CONSTRUEN LAS COMBINACIONES POSIBLES DE
  VALOR DE VERDAD PARA CAD PROPOSICIÓN SIMPLE
• p q r
• V V V
• V V F
• V F V
• V F F
• F V V
• F V F
• F F V
• F F F

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PASO DOS ((p q) r)

• p q r q (P q) (p q) r
• V V V F F V
• V V F F F F
• V F V V V V
• V F F V V V
• F V V F F V
• F V F F F F
• F F V V F V
• F F F V F F

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EJERCICIOS

• I DETERMINE SIN SON PROPOSICIONES
• 1 Mesero, puede traer las nueces? Es decir,
  puede servir las nueces a los invitados?
• 2.La frase Hazlo de nuevo, Sam
  aparece en la
• película Casablanca.
• II CONSTRUYA LA TABLA DE VERDAD
• 3. ( (p q)) ( p r)
• 4. (p r) (q r) (r p)
• 5. ( p q) p
• 6. (p q) ( p q) ((p q)
  ( p q))

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PROPOSICIONES CONDICIONALES Y EQUIVALENCIA LÓGICA

• Si p y q son proposiciones, la proposición
  compuesta, si p entonces q, es una proposición
  condicional y se denota
• p q
•  
• La proposición p es la hipótesis (o
  antecedente) y la proposición q es la conclusión
  (o consecuente)

30
EJEMPLO

• Enuncie cada proposición en forma de una
  proposición condicional
• (a)    María será una buena estudiante si estudia
  mucho.
• (b)   Juan puede cursar cálculo sólo si está en
  su
• segundo, tercer o cuarto año de estudio
  de
• licenciatura.
• (c)    Cuando cantas, me duelen los oídos.
• (d)   Una condición necesaria para que los
  Cachorros
• ganen la Serie Mundial es que consigan
  un
• lanzador relevista derecho.
• (e) Una condición suficiente para que Juán
  visite
• California es que vaya a Disneylandia.

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(a)    María será una buena estudiante si estudia
mucho.  Si María estudia mucho, entonces será
una buena estudiante.
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• (b)   Juan puede cursar cálculo sólo si está en
  su segundo, tercer o cuarto año de
  estudio de licenciatura.
• Si p entonces q, es considerada desde el punto
  de vista lógico como igual a p sólo si q (sólo
  si se considera la conclusión). Una formulación
  equivalente es
• Si Juan cursa cálculo, entonces está en su
  segundo, tercer o cuarto año de estudio de
  licenciatura.

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(c)    Cuando cantas, me duelen los oídos.
 Si cantas, entonces me duelen los oídos
34

• (d)   Una condición necesaria para que los
  Cachorros ganen la Serie Mundial es que
  consigan un lanzador relevista derecho.
• Si los cachorros ganan la serie mundial, entonces
  han contratado un lanzador relevista derecho.

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• (e) Una condición suficiente para que Juán
  visite
• California es que vaya a Disneylandia.
• Si Juán va a Disneylania, entonces estará
  visitando California.

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TABLA DE VERDAD
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
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EJEMPLO

• Sean
• p 1gt2, q 4lt8.
• Entonces p es falsa y q es verdadera. Por
  tanto,
• p q es verdadera y
• q p es falsa.

38
EJERCICIO

• Construya la tabla de verdad cada proposición.
• (a)
• (b)
• (c)
• (d)

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PROPOSICION BICONDICIONAL

• Si p y q son proposiciones, la proposición
  compuesta
• p si y sólo si q
• es una proposición bicondicional y se denota

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TABLA DE VERDAD
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
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EJEMPLO

• La afirmación
• 1lt5 si y sólo si 2lt8
• puede escribirse de manera simbólica como
• Si definimos
• p 1lt5, q2lt8
• Como pV y qV, la afirmación es verdadera.

42
EJERCICIO

• CONSTRUYA LA TABLA DE VERDAD DE LA PROPOSICIÓN
• (p q) r

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PROPOSICIONES EQUIVALENTES

• Supongamos que las proposiciones compuestas P
  y Q están formadas por las proposiciones
  p1,...,pn. Decimos que P y Q son lógicamente
  equivalentes y escribimos
• P Q,
• Siempre la proposición P Q sea verdadera
  (tautología) para cualquier valor de verdad de P
  y Q.

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LEYES DE MORGAN

• a)

p q
V V F F V
V F F F V
F V F F V
F F V V V
45
(No Transcript)