Seccin 2'5

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CONTINUIDAD

• Sección 2.5
• Stewart
• Cuarta Edición

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NOCIÓN INTUITIVA

• f(x) es continua si su gráfica no tiene
  interrupciones
• f(x) es continua si se puede dibujar sin despegar
  el lápiz del papel

La gráfica de una función continua no tiene
huecos ni saltos abruptos. La continuidad es un
concepto importante y complicado, que juega un
papel central en el desarrollo ulterior del
Cálculo
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DEFINICIÓN

• Una función f(x) es continua en un número a
  siempre que

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CONTINUIDAD EN UN PUNTO
Una función es continua en un punto interior de
su dominio ( en x a ) si se cumple las
siguientes condiciones
Si deja de cumplirse una de las condiciones
anteriores, se dice que f(x) es discontinua en
xa
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TIPOS DE DISCONTINUIDADES

• Discontinuidad infinita

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TIPOS DE DISCONTINUIDADES

• Discontinuidad removible

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TIPOS DE DISCONTINUIDADES

• Discontinuidad por salto

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ALGUNAS FUNCIONES CONTINUAS

• Polinomios (en R)
• Funciones Racionales
• (en todo punto donde el denominador sea
  distinto de cero)
• senx
• cosx
• Valor absoluto de x

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PROBLEMA1
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PROBLEMA2
Halle los valores de a y de b para que la
siguiente función sea continua en todo su dominio
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PROBLEMA3
Halle los valores de a y de b para que la
siguiente función sea continua en todo su dominio
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PROBLEMA4
Establezca los intervalos de continuidad para
f(x)
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PROBLEMA5
Establezca los intervalos de continuidad para
F(x)
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PROBLEMA6
Establezca los intervalos de continuidad para
f(x)
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CONSIDERACIONES

• Si f y g son continuas en un punto a, entonces
  se cumple que las siguientes combinaciones
  también son continuas
• f g
• f g
• f .g
• f /g
• Kf Kcte

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TEOREMA

• Si f es continua en un punto b, y

En otras palabras
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PROBLEMA7
Aplique consideraciones de continuidad para
evaluar los siguientes límites
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TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
Sólo se aplica a Las funciones f(x),
continuas y que estén definidas en intervalos
cerrados a,b Este Teorema establece Si K
es un número entre f(a) y f(b), entonces, existe
al menos un número c en (a,b) tal que f(c) K.
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GRÁFICAMENTE
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VALOR INTERMEDIO

• CÓMO Y CUÁNDO UTILIZAR EL TVI?
• En la localización de raíces de un polinomio.
• Decimos que una solución de la ecuación f(x)0
  es una raíz de f(x).
• El TVI asegura que si f es continua, entonces
  en cualquier intervalo en que f(x) cambia de
  signo debe haber una raíz de la función.

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PROBLEMA 8
Demostrar que existe una raíz de la ecuación
x3-3x10 en el intervalo1,2
Primero debemos definir una función que sea
continua en el intervalo dado y que responda a
las exigencias del problema f(x)x3-3x1
Por tratarse de un polinomio, f(x) es continua
en todo su dominio.
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SOLUCIÓN AL PROBLEMA 8
x
El T.V.I. propone que existe un valor de c tal
que f ( c )0 c3-3c10
1
2
C?
Si f(x) ha de anularse, debe cambiar de signo,
por lo tanto f(1)-1 lt0 f(2)3 gt0 (CAMBIO DE
SIGNO....) Conclusión como f(x) cambió de signo
entre los puntos 1 y 2, existe un valor de c
entre ellos que hace que esta función se anule
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REFLEXIONES
Siempre hay un mejor camino, tu misión es
encontrarlo. Tomás Edison
El único precio de la grandeza en la vida, es la
responsabilidad Churchill