PLANOS EN EL ESPACIO

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PLANOS EN EL ESPACIO

• Algebra lineal (Ing.Sist.)
• Cálculo IV(G,B)

Semestre 99-00 B
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Cómo se puede determinar de manera única un
plano en el espacio?
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Tres puntos no alineados P, Q, R
Q
P
R
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Un punto P y direcciones no paralelas u, v
u
v
P
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Un punto P y un vector ortogonal ?
?
P
6
Cuál es la condición geométrica que debe
satisfacer un punto P para estar en el plano ?
que pasa por P0 y es ortogonal a ??
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P-Po
si y sólo si
P(x,y,z) ? ?
? ? P-Po
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Ecuación del plano ? que pasa por P0(xo,yo,zo)
y es ortogonal a ?(a,b,c)
El punto P(x,y,z) ?? si y sólo si ? ? P-Po, es
decir si ?.(P-Po)0 ? (a,b,c).(x-xo, y-yo,
z-zo)0.
a(x-xo)b(y-yo)c(z-zo)0 ? axbyczaxobyoczo
Si d axobyoczo
Ecuación normal del plano ?
axbyczd
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Cuál es la condición geométrica que debe
satisfacer un punto P para estar en el plano ?
determinado por las direcciones no paralelas u, v
y el punto P0?
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tusv
tu
PoP
sv
O
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Ecuación del plano ? que pasa por P0(xo,yo,zo)
con vectores directores u(u1,u2,u3) y
v(v1,v2,v3)
P(x,y,z) ?? si y sólo si
(x,y,z)(xo,yo,zo)t(u1,u2,u3)s(v1,v2,v3) ?
Ecuaciones paramétricas del plano ?
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Cuál es la condición geométrica que debe
satisfacer un punto para estar en el plano ?
que pasa por los puntos no alineados P,Q, R?
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?
Q
P
R
Pasa por P con normal
?(Q-P)x(R-P)
Pasa por P con vectores directores
u(Q-P) y v(R-P)
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Ecuación del plano ? que pasa por los tres
puntos no alineados P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3),
R(r1,r2,r3)
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Ecuación del plano ? que pasa por los tres
puntos no alineados P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3),
R(r1,r2,r3)
Ecuaciones paramétricas
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Ejercicio Nº1
Encuentre el plano que pasa por los puntos
P(2,0,1), Q(1,2,0), R(-3,2,1) de tres maneras
distintas
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Ejercicio Nº2
Encuentre el plano que pasa por el punto
P(-2,3,4) y es perpendicular a la recta que pasa
por (4,-2,5) y (0,2,4)
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Ejercicio Nº3
y ? 3x-2y6z-5
Sea L
Hallar la ecuación de la recta perpendicular al
plano ?, que pasa por el origen.
Hallar la ecuación del plano que contiene a la
recta L y pasa por el origen.
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Ejercicio Nº4
y ? x-yz1
Sea L
Hallar la distancia de la recta L al plano ?.
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Solución Nº1
PQ(-1,2,-1) y PR(-5,2,0)
(2,5,8)
2x5y8z 2.25.08.1
2x5y8z12
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Solución Nº1
Vectores directores del plano
u(-1,2,-1) y v(-5,2,0)
Ecuaciones paramétricas
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Pasar de las ecuaciones paramétricas a la
ecuación normal
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Solución Nº1
Un punto (x,y,z) en el plano debe satisfacer la
ecuación axbycz-d0
Como (2,0,1), (1,2,0) y (-3,2,1) están en el
plano, se debe cumplir
Sistema homogéneo en la variables a,b,c,d que
debe tener infinitas soluciones.
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Por lo tanto, el determinante de la matriz del
sistema debe ser nulo
2x5y8z-120
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Solución Nº2
El vector director de la recta es el vector
normal al plano.
Como la recta pasa por (4,-2,5) y (0,2,4) Su
vector director es (4,-4,1)
?(4,-4,1) 4(x2)-4(y-3)(z-4)0
Ecuación del plano 4x-4yz160
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Solución Nº3
El vector director de la recta debe ser paralelo
al vector normal al plano, por lo tanto
?(3,-2,6). Como además debe pasar por el
(0,0,0), la ecuación de la recta buscada es
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Solución Nº3
Para encontrar el vector normal al plano tomamos
primero dos vectores en el plano y como el
(0,0,0) queremos que esté en el plano, esto
equivale a tomar dos puntos cualesquiera sobre la
recta, por ejemplo, para valores de t0, 1
obtenemos u(3,1,2) y v
(1,-1,6)
(8,-16,-4)
Ecuación normal 2x-4y-z0
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Solución Nº3
Otra forma es tomar u(3,1,2) y v (1,-1,6)
como los vectores directores del plano y hallar
las ecuaciones paramétricas
Ecuación paramétricas del Plano
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Solución Nº4
Vector director de la recta u(1,2,1)
Vector normal del plano ?(1,-1,1)
(1,2,1).(1,-1,1)0 ? u ? ? ? L y ? son paralelos
Sustituimos las ecuaciones de L en la del plano y
obtenemos
(1t)-(22t)(3t)1?
2?1
La recta y el plano no se cortan
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Solución Nº4
Un punto de la recta Q(1,2,3)
Un punto del plano P(1,1,1)
PQ(1,2,3)-(1,1,1)(0,1,2) ?
Q
P
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POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS PLANOS

• Paralelos
• Sus vectores normales son paralelos
• Ortogonales
• Sus vectores normales son ortogonales

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La intersección de dos planos puede ser

• Un plano
• Son paralelos
• Una recta
• Son secantes
• El conjunto vacío
• Son paralelos

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La intersección de un plano y una recta puede ser

• Una recta
• La recta está incluida en el plano
• Un punto
• Son secantes
• El conjunto vacío
• El vector director de la recta es ortogonal al
  normal del plano

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ANGULOS ENTRE PLANOS Y RECTAS

• El ángulo entre dos rectas es el formado por sus
  vectores directores
• El ángulo entre dos planos es el formado entre
  sus vectores normales
• El ángulo entre una recta y un plano es el
  complementario del formado entre el vector
  director de la recta y el vector normal al plano