Les techniques de simulations des processus d

1
Les techniques de simulations des processus
dévolution et leurs applications

• Approche Financière Traditionnelle
• Approche Econométrique

2
Généralités sur les simulations

• Les problèmes se complexifient au point que
  seules les simulations permettent dévaluer les
  valeurs des portefeuilles ou les produits
  financiers de nouvelle génération.
• et parce que lon sait simuler on complexifie les
  problèmes...

3
Approche traditionnelle
4
le tout brownien les bases
La théorie financière sest largement inspirée du
mouvement brownien. Les actions, les indices et
les taux de change sont souvent modélisées par le
mouvement brownien géométrique Généralement,
les taux intègrent une force de rappel
5
Simulation de la trajectoire dune action
où ti sont les dates auxquelles on effectue les
simulations ?ti (ti1-ti) W(ti) la valeur du
brownien à la date ti.
6
or W(ti1)- W(ti) est normalement
distribué donc le problème se réduit à simuler
où et ?i N(0,1)
7
Simulation dune loi normale méthode de Box
Muller
Soient x1 et x2 U(0,1). Le changement de
variable suivant admet pour Jacobien J
Le Jacobien est donc un produit de densités de
lois normales. En inversant les équations
précédantes, Box et Muller obtiennent deux
variables aléatoires y1 et y2 normalement
distribuées de corrélation nulle
8
Simulation de la trajectoire des taux dintérêt
Cette fois-ci on nintègre pas le processus. On
simule le processus discrétisé
problème taux négatif possible !
pas de temps plus fin et gestion du problème en
0 (utilisation de ponts browniens ou autres
techniques)
9
simulation de taux, mise en œuvre
avec ?i N(0,1) sous la contrainte ri gt 0
Rappel la convergence vers le processus en
temps continu est obtenu avec ?ti petit.
10
extension du problème
En pratique le temps de calcul est primordial
(marché en temps réel) mais le gestionnaire
souhaite évaluer du mieux possible le risque et
sa couverture. En raison du temps de calcul
parfois très importants les hypothèses des
modèles dévolution des actifs financiers peuvent
être réduits aux cas exposés précédemment. Mais
le GBM nest pas vraiment adapté à la
représentation du processus des actifs financiers
car la volatilité et les taux mesurés sur les
marchés ne sont pas déterministes.
11
problème actuel la simulation de vecteurs
browniens

• Le problème revient donc à savoir simuler N
  Actifs financiers simultanément
• Soit par exemple 10 actions selon le GBM
• ou encore une action, les taux et la volatilité
  de laction
• Ce qui se ramène à la simulation de vecteurs de
  browniens corrélés

12
simulation dun vecteur brownien simulation
dun vecteur multinormal
Rappel la simulation dun vecteur multinormal
se fait à laide de la décomposition de Cholesky
de la matrice des variances-covariances. Etape 1
simulation dun vecteur de gaussiennes
indépendantes Etapes 2 transformée linéaire
par la matrice de Cholesky
13
Nombre de périodes
La discrétisation du processus commence par la
décomposition du temps La discrétisation doit
être plus ou moins fine selon le problème. Il
est souvent important de prendre en compte la
distribution de dividendes (ou coupon) au moment
exact où elle a lieu.
14
exemple les options à barrière
15
piège à éviter

• Inutile de trop complexifier le processus car
• Lestimation des paramètres devient quasi
  impossible
• Le modèle devient incompréhensible pour le gérant
• Les temps de calcul sont trop longs
• Les hypothèses sont de toute façon trop
  restrictives (pas de fourchette offre/demande,
  pas de coûts de transaction, situation
  dincomplétude...)
• Un équilibre entre compréhension, complexité et
  temps de calcul doit être trouvé.

16
Approche économétrique
17
Evolution dun Actif Financier Série Temporelle
Utilisation de processus autorégressifs de type
GARCH
18
rendement dune action
19
processus GARCH

Mandelbrot (1963) "large changes tend to be
followed by large changes of either sign and
small changes tend to be followed by small
changes". Plusieurs raisons expliquent ce
phénomène telles que les crises financières et
économiques, les périodes d'instabilité des taux
d'intérêt et d'inflation mais aussi la fréquence
et le volume des transactions opérées sur le
marché. Le processus GARCH, bien quimparfait,
répond à de nombreuses attentes.
20
variance non constante ???
21
Définition
Les modèles GARCH(p,q) s'écrivent xt m
?t Avec E(?t It-1) 0 et Var(xt It-1) ht
c où m est une constante qui représente la
tendance, c un réel représentant le seuil minimum
de la variance, les coefficients ?. représentent
la transmission des chocs précédents dans la
variance et ?. représentent le caractère
persistent de la volatilité décrit par
Mandelbrot.
22
modélisation et mise en oeuvre
Le processus simulé est celui du rendement du
cours de laction et non pas de laction
directement.
Supposons que l'on désire évaluer le prix d'un
call asiatique sous l'hypothèse d'un rendement du
type GARCH(1,1). Après avoir estimé les
paramètres du processus GARCH(1,1), il est
possible à l'aide de la méthode des simulations
de Monte Carlo de générer plusieurs trajectoires
du rendement et donc des prix de l'action. Dans
l'univers risque-neutre, tout actif risqué doit
rapporter le taux sans risque. Le rendement
logarithmique des prix d'une action est égal au
taux sans risque r multiplié par la longueur de
la période ?t r ? ?t. Le rendement moyen m du
processus GARCH doit par conséquent être remplacé
par la rémunération du taux sans risque au cours
de la période r ? ?t.
23
Les premières valeurs ?0 et h0 servant à
initialiser le processus sont les dernières
calculées dans l'estimation du processus GARCH.
Il suffit ensuite de procéder à des simulations
des bruits blancs. Cas de la CGIP Rt
0.016837 ?t Avec E(?t It-1) 0 et Var(Rt
It-1) ht 0.000025414 0.077561 0.853145
ht-1 avec notamment ?0 et h0 pris égaux
respectivement à 0.00636404 et 0.000380528.
24
GARCH problème de stabilité
Les processus GARCH sont très utilisés comme
prédicteur de la volatilité des actifs et assez
peu pour le pricing (dans le cadre des méthodes
de simulations) en raison de leur très forte
instabilité. Lorsquil faut simuler plusieurs
actifs, la prise en compte des corrélations
devient problématiques car la corrélation
elle-même est implicitement un processus
GARCH. Malgré leur grand intérêt les processus
de type ARCH ne répondent pas toutes les
attentes. A lheure actuelle, les économétriciens
essaient de modéliser linfluence des volumes.
25
conclusion domaines dapplications des
simulations en finance

1. Evaluation de produits dérivés exotiques/hybrides
2. Value At Risk
3. Prédiction de volatilités
4. Prévision dindices économiques
5. Simulations de taux (portefeuilles obligataires,
   duration, convexité,...
6. Simulations de taux de change
7. Catastrophes naturelles / Dérivés climatiques
8. Calculs dintervalle de confiance (bootstrap)
9. ...