Adaptation du param

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Adaptation du paramètre déchelle de Laguerre
pour le contrôle prédictif

• M. EL Adel M. Ouladsine
• LSIS UMR-CNRS 6168Marseille - France

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Plan de la présentation

• Introduction
• Séries de Laguerre
• Algorithme destimation
• contrôle Prédictif
• Résultats de Simulations
• Conclusion

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Introduction

• Le comportement des contrôleurs adaptatifs en
  présence des dynamiques non modélisées
• Le manque de connaissances a priori sur les
  procédés

Abandon du modèle ARMA

• Représentation par les séries orthonormales

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• Grâce à sa simplicité de mise en œuvre, la base
  de fonctions orthogonales de Laguerre est choisie
  pour la modélisation et la commande des systèmes
  linéaires
• Problème
• Cette base de fonctions orthogonales de
  Laguerre contient un paramètre crucial (Le
  paramètre déchelle de Laguerre p gt 0 )
• Si ce paramètre est choisi convenablement, alors
  la base de fonctions orthogonales de Laguerre
  peut effectivement approximer nimporte quelle
  fonction de transfert dun système stable.
• Le but principal de cette présentation, est le
  choix optimal de ce paramètre dans le cas de la
  commande prédictive.

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• Propriétés des Séries de Laguerre

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T période déchantillonnage
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(No Transcript)
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• Algorithme destimation

I Le vecteur paramètre de projection
De point de vue estimation, le modèle
nest pas convenable si le
terme derreur e(t) nest pas borné
On définit

Le modèle normalisé devient
où
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où

et
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satisfait les propriétés suivantes
La matrice de covariance
i-
avec
et
alors
ii- si
lorsque t tend vers linfini
est la matrice identité et
est un scalaire
où
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II - Le paramètre déchelle adaptatif de
Laguerre
Dans le domaine de Laplace, nous supposons que le
système réel à modéliser dont la sortie est
peut être décrit par la fonction de transfert
. Nous supposons aussi que cette
fonction de transfert est bornée c.à.d
En considérant un ordre de projection q, nous
pouvons projeter cette fonction de transfert sur
la base de Laguerre dont les éléments sont
comme suit
Le calcul standard de est donné dans le
domaine fréquentiel par
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Considérons le coût de fonction à minimiser
En utilisant lexpression de , nous
avons
Donc le minimum de par rapport à
correspond au maximum de
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Lemme Nous pouvons montrer aisément ce qui suit
Pour pgt0 , la transformée de Laplace des
fonctions orthogonales de Laguerre satisfont
légalité suivante
Théorème Nous pouvons montrer que
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• Le théorème permet de déduire la variation de p.
  Cependant, puisque le paramètre déchelle est
  strictement positif, nous cherchons des
  conditions qui doivent être satisfaites pour le
  maintenir dans un domaine réel et positif. Ces
  conditions peuvent être obtenues en passant à la
  dérivée seconde de

La dérivée seconde est donnée par
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La fonction tend à avoir
des valeurs maximales en fonction de p si
Ceci est satisfait si linégalité suivante est
vraie
Posons avec
pgt0, on a
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où
Considérons la variation de
entre les instants t et t1
on a
où
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Définition Une séquence réelle positive
est dite
asymptotiquement
faible en moyenne si (AFM) if
Lemme
Lalgorithme dadaptation proposé possède les
propriétés suivantes
tel que on a
- Il existe un scalaire positif
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Il existe un scalaire positif telle
que lerreur normalisée adaptation
-AFM
est
Il existe un scalaire positif tel que
est
AFM
.
où
Est la valeur optimale de au sens de
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contrôle prédictif
La prédiction de la sortie sur un horizon de d
pas permet décrire
où
et
Supposons que
u(t) reste constant sur d
alors
Ce qui permet davoir
où
et
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La trajectoire de référence du premier ordre est
donnée par
où et
est le signal de référence
Pour un horizon de prédiction de d pas, on a
Quon peut réécrire comme
Posons
La loi de commande est
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Application
Considérons le système à phase non minimale
décrit H(z), et supposons quil est donné son
forme non structurée
où les paramètres sont
Par application de lapproche proposée, les
résultats obtenus sont les suivants
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Les sorties et
Le paramètre déchelle
Le paramètre
La commande
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Conclusion

• Adaptation du paramètre déchelle de Laguerre à
  partir de lestimation des paramètres de
  projection pour le contrôle prédictif
• Possibilité du contrôle prédictif des systèmes
  instables, non structurés et
• sans connaissances a priori.