LES TITRES

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LES TITRES À REVENU FIXE LES OBLIGATIONS
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• IV- Mesure de risque systématique des
  obligations la duration et convexité
• Lorsque les taux d intérêt augmentent ou
  baissent, les détenteurs d obligations réalisent
  des pertes ou des gains en capital. Ces pertes et
  gains rendent l investissement dans les
  obligations assez risqué même si le coupon et le
  paiement du principal sont garanties.

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A- La duration La duration est une mesure de
la sensibilité de la valeur d une obligation par
rapport aux variations des taux d intérêt (de
son TRE). Elle est définie comme étant la durée
moyenne pondérée pour récupérer entièrement le
capital et les paiements d intérêts.
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• La duration est une mesure importante pour
• déterminer la durée effective
• effectuer l immunisation contre une variation
  positive ou négative des taux d intérêt
• mesurer la sensibilité (du prix) à une variation
  positive ou négative des taux d intérêt.
• La duration est un temps moyen pondéré durant
  lequel l obligation donne des flux monétaires

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• La duration est calculée selon la formule
  suivante
• T
• D ? tWt
• t1
• CFt / (1y)t
• Wt -----------------------------
• Prix de l obligation
  
• t Temps à écouler pour recevoir les F.M,
• Wt Poids relatif du F.M par rapport au prix de
  l obligation,

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• Puisque la duration est une mesure de
  sensibilité du prix de l obligation à une
  variation des taux d intérêt, alors on peut dire
  que
• ?P ?y
• ----- -D ---------
• P (1y)
• En conséquence, la volatilité du prix de
  l obligation est proportionnelle à la duration
  de cette obligation. La duration est donc une
  mesure de l exposition au risque d intérêt.
  

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• Si on pose que la duration modifiée (D) est
  fonction de la duration et (1y)
• D
• D ---------
• (1y)
• ?P
  ?P
• ? ----- -D. ?(y) et PD ------
• P
  ?(y)
• La variation du prix d une obligation exprimé
  en est fonction de sa duration modifiée
  multipliée par la variation de son TRE.

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• Caractéristiques de la duration
• Pour une obligation zéro-coupon, la durée est
  égale à l échéance.
• À échéance égale, la durée est plus longue si le
  coupon est moins élevé.
• À coupon égal. La durée augmente avec
  l échéance. La durée augmente toujours avec
  l échéance pour les obligations se vendent au
  pair ou à prime.

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• La durée est plus longue lorsque le rendement à
  l échéance est plus faible, toute chose étant
  égale par ailleurs.
• Remarques
• La durée d un portefeuille d obligations est
  égale à la somme pondérée des durées des
  obligations qui le composent.
• Quand on anticipe une baisse des taux d intérêt,
  on préfère des titres ayant une durée élevée et
  vice-versa.

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• B- La convexité
• La convexité mesure le degré de la variation de
  la duration lorsque les taux d intérêt
  varient. La convexité a habituellement une valeur
  positive.
• 1 n
  t(t1)VACF
• C (années) ------------ ? --------------------
  
• (1y/k)2 t1
  kkprix
• Où k nombre de périodes, de paiements par année
  
• n nombre de période jusquà l échéance.
  

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• La relation mathématique qui décrit la
  volatilité du prix de l obligation est
• ?P
• ------ D ?r ½C ?r2
• P
• Si ?r est petit et si on néglige C on a
• ?P
  ?P
• ----- D ?r, ? ?r -------
• P
  PD

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• V- La structure des taux d'intérêt
• La structure des rendements selon l'échéance est
  obtenue en représentant dans un espace échéance /
  rendement des obligations ayant les mêmes
  caractéristiques ( même émetteur et donc même
  risque de défaut, même taux de coupons, même
  clauses ) sauf en ce qui a trait à leur
  échéance.

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• Il y a peu d'obligations qui répondent à ces
  exigences. Au Canada, on utilise les obligations
  du gouvernement fédéral (parce qu'il y en a
  plusieurs qui différent en ce qui concerne
  l'échéance).
• Mais malheureusement, les coupons aussi
  différent on essaie d'utiliser les obligations
  dont les coupons ne sont pas trop différents les
  uns des autres.
• En pratique, la construction est plus
  compliquée, il faut utiliser les obligations à
  zéro-coupon

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• Que représente cette courbe ou cette structure?
• Prenons juste deux obligations A et B supposées
  sans coupon et arrivent à échéance dans 1 an et 2
  ans respectivement.
• YA 6 et YB 7
• Vous avez le choix entre acheter A puis dans un
  an, acheter une nouvelle obligation à qui il ne
  restera qu'un an avant l'échéance ou acheter B et
  la conserver pour les deux ans.

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• Qu'est-ce-qui va déterminer votre
  choix?
• C'est le rendement anticipé pour un an qui va
  prévaloir l'année prochaine.
• Soit Rt le taux de rendement sur un titre qui
  sera émis dans t-1 périodes et qui viendra à
  échéance 1 an plus tard, i.e à la fin de la
  période n.
• Les Rt, t1,2,..,n sont des taux pour 1 an
  (taux comptant futur). R1 c'est le taux de
  rendement sur un titre échéant dans 1 an.

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• Exemple
• Le taux pour un an dans un an R1 3.5
• Le taux pour un an dans deux ans R2 5
• Le taux pour un an dans trois ans R3 6
• Le taux pour un an dans quatre ans R4 6
• Yn le taux de rendement observé aujourd'hui sur
  un titre échéant dans n périodes.
• Supposons que vous disposez de 1000 que vous
  désirez placer pour 2 ans

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• Vous pourriez le placer pour deux ans au taux Y2,
  
• ? 1000(1Y2)2
• Vous pourriez le placer pour 1 an aujourd'hui,
  puis renouveler votre placement après 1 an,
• ? 1000(1R1)(1R2) où R1 Y1
• Pour que vous soyez indifférent entre placer à
  court terme pour renouveler après et placer à
  long terme, il faut que

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• 
  
• (1Yn)n (1R1)(1R2)(1Rn)
• n
• (1Yn)n ? (1Rt)1/n.
• t1
• Le taux d'intérêt à long terme Yn doit
  correspondre à la moyenne géométrique des taux
  d'intérêt à court terme futur anticipés (taux
  comptant futur)

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• De la première expression, on peut obtenir le
  taux à court terme (d'un an) anticipé pour une
  période données
• (1Yn)n
  
• (1Rn) ------------------
• (1Yn-1)n-1
• Les Rt sont appelés des taux comptant futurs.
  Ils ne sont pas connu, on n'a que des
  anticipations quant à leur niveau. Les Yt sont
  des taux comptant ou spot.

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• A- Les taux forward (à terme)
• Mais personne ne connaît aujourd'hui les taux
  comptant futurs i.e, les Rt par conséquent, la
  relation entre le taux à long terme et ceux à
  court terme anticipés doit être réécrite où les
  Rt, inconnu, sont remplacés par ce qu'on appelle
  les taux forward ou à terme (Ft) les taux
  implicite que le marché estime qu'ils vont
  prévaloir dans le futur. Par conséquent, la
  relation devienne

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• (1Yn)n (1R1)(1F2)(1F3)..(1Fn)
• (1Yn)n
• (1Fn) ------------------
• (1Yn-1)n-1
• Le taux forward d'une année est donc le taux
  d'intérêt implicite que le rendement d'un
  placement de n périodes est égal à celui d'un
  placement de (n-1) périodes réinvestis pour
  une année dans les nouvelles obligations.

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• B- Les théories sur la structure d'intérêt
• 1- L'hypothèse des anticipations
• On suppose que les taux de rendement à
  l'échéance reflètent les anticipations des
  investisseurs quant aux taux au comptant futurs,
  et donc
• (1Yn)n (1R1)(1E(R2)..(1E(Rn)
• Cette théorie suppose que la structure d'intérêt
  peut avoir n'importe quelle forme.

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• 2- La théorie des primes de liquidité
• On suppose que le risque augmente avec
  l'échéance, et donc pour compenser ce risque, les
  investisseurs demandent une prime de liquidité.
  Si on appelle Fn, le taux forward pour un an dans
  n ans, on doit donc observer Fn gt E(Rn).
• Cette théorie suppose que la structure
  d'intérêt est ascendante.

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• 3- La théorie de la segmentation de marché
• On suppose que le marché des obligations est en
  fait segmenté en plusieurs sous-marchés selon
  l'échéance des obligations, et que ces marchés
  trouvent leur équilibre indépendamment.
• 4- La théorie des habitats préférés
• Une variante des la précédante, on suppose que
  chaque agent dans le marché des obligations
  préfère un intervalle d'échéance donné.
  Toutefois, si les gains sont suffisants, l'agent
  sera incité à changer ou à élargir son "habitat".
  

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• Quelle est la bonne théorie
• Probablement un ensemble des quatre théories, ou
  encore une théorie est bonne de temps en temps,
  mais pas toujours. Il ne faut pas oublier
  l'incidence de l'inflation pour expliquer le
  comportement des taux d'intérêt. L'inflation
  (anticipée) est probablement le facteur le plus
  important dans la détermination des taux
  d'intérêt. Vient ensuite sans doute l'aversion au
  risque.

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• À retenir
• 1- La duration et la convexité d une obligation
  changent avec
• le prix de l obligation
• son échéance
• son TRE.
• En conséquence, la duration et la convexité
  varient avec le passage du temps, et ou une
  variation du niveau des taux d intérêt.

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• 2- Les cinq risques reliés à l investissement
  obligataire.
• Risque de variation des taux
• modification de la courbe des taux
• modification de l écart entre les différents
  segments
• réinvestissement des coupons
• remboursement anticipé de la valeur nominale
  (call, faillite,)

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• 3- La duration modifiée effective est égale à
• P - P- P - P-
• --------------- ---------------
• P0(r - r-) 2P0 ?r
• 4- La convexité effective est égale à
• P P- - 2P0 P P- - 2P0
• -------------------- -------------------
• P00.5 (r - r-)2 P0 ?r2