CHAPITRE 4. Le crit

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CHAPITRE 4.Le critère de lespérance-utilité et
laversion vis-à-vis du risque
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Objectif du chapitre 4
Ce chapitre présente une généralisation du
critère de BERNOULLI grâce à laxiomatique de VON
NEUMAN et MORGENSTERN
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Le cadre danalyse
États de la nature
e1 ei en
a1 R1,1 R1,i R1,n

aj Rj,1 Rj,i Rj,n

am Rm,1 Rm,i Rm,n

Probe Probe1 Probei Proben
Actions
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Lensemble des résultats constitue un ensemble de
cardinal (nombre de résultats distincts) fini.
Cet ensemble C peut être ordonné
où
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Exemple dapplication
Actions\états e1 e2 e3 e4
a1 20 25 40 100
a2 5 30 50 125
a3 40 50 75 0
p(ei) p10.20 p20.25 p30.40 p40.15
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La connaissance de lensemble C permet de
caractériser chaque action aj sous la forme dune
loterie dont les résultats éventuels sont tous
des éléments de C
Probabilité que laction aj conduise au l ième
résultat de C
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Une action aj peut être caractérisée de la façon
suivante
Ou encore
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Actions\états e1 e2 e3 e4
a1 20 25 40 100
a2 5 30 50 125
a3 40 50 75 0
p(ei) p10.20 p20.25 p30.40 p40.15
C0, 5, 20, 25, 30, 40, 50, 75,
100, 125
P(a1)0, 0, 0.2, 0.25, 0, 0.4, 0,
0, 0.15, 0
C0, 5, 20, 25, 30, 40, 50, 75,
100, 125
P(a2)0, 0.2, 0, 0, 0.25, 0, 0.4,
0, 0, 0.15
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C 0, 5, 20, 25, 30, 40, 50,
75, 100, 125
p(a3)0.15, 0, 0, 0, 0, 0.2,
0.25, 0.4, 0, 0
On remarque que les loteries ne diffèrent pas par
leurs résultats (les éléments de C) mais
diffèrent par les distributions de probabilité
p(aj).
Nous allons définir une relation de préférence
dans lensemble P et demander à cette relation de
vérifier laxiomatique de Von Neuman et
Morgenstern
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Laxiomatique de VNM
A-1- Laxiome de comparabilité
Cet axiome traduit le fait que deux distributions
de probabilités pourront toujours être comparables
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A-2- Laxiome de transitivité
Cet axiome traduit une rationalité pure qui
induit la cohérence entre les classements
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A-3- Laxiome dindépendance forte ou de
substitution
Cet axiome peut sinterpréter de la façon
suivante
Lattitude dun individu face aux deux loteries
ne devra dépendre que de son attitude face à p et
q et non pas de la façon dobtenir p et q.
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A-4- Laxiome de continuité ou dArchimède
Lanalogie avec le principe dArchimède est
évidente quelque soit un couple (z , z) de
deux entiers naturels, il existe toujours un
entier naturel k tel que kz gt z
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Théorème de VNM
Sous les axiomes A-1, A-2, A-3, A-4, il existe
une fonction u telle que
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La critique de laxiomatique de VNM
Soient les loteries AL(4 000 , 0 0.8,
0.2) BL(3 000 , 0 1, 0)
Soient les loteries CL(4 000 , 0 0.2,
0.8) DL(3 000 , 0 0.25, 0.75)
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u(3000 ) gt 0.8 u(4000 )
0.2 u(4000 ) gt 0.25 u(3000 )
0.8 u(4000 ) gt u(3000 )
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Laversion vis à vis du risque
Lattitude face au risque
On suppose quun individu a une richesse initiale
w0 et détient une loterie . Sa richesse
finale est notée
Lagent a le choix entre garder ou
obtenir de façon certaine
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Si lagent préfère obtenir de façon certaine
lespérance de sa richesse finale que la richesse
finale, on dit que lagent est risquophobe.
Si lagent préfère garder sa richesse finale
plutôt que dobtenir de façon certaine
lespérance de sa richesse finale, on dit que
lagent est risquophile.
Si lagent est indifférent entre avoir de façon
certaine lespérance de sa richesse finale et aa
richesse finale, on dit que lagent est neutre
par rapport au risque.
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Soit la loterie
La richesse finale est donc
Nous devons comparer
Avec
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1er cas agent risquophobe
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2ème cas agent risquophile
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3ème cas agent neutre vis à vis du risque
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EXERCICE
1- Tracez la fonction dutilité. Quen déduisez
vous ?
w u(w)
-2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 10 000 -600 -150 0 80 150 210 250 280 340
2- Quel montant maximal est-on prêt à investir
dans un projet qui rapportera 1000 ou 10 000
avec la même probabilité ?
3- Doit-on investir 2000 dans un projet où on a
1 chance sur 2 de gagner ou perdre 3000 ?
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Solution
La somme maximale est donc telle que
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3-
Calculons lespérance de lutilité de la richesse
finale
Calculons lutilité de lespérance de la richesse
finale
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Le concept déquivalent certain
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Exemple
Quel est léquivalent certain ?
Réponse On recherche w tel que
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Le concept de prix de vente dune loterie
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Exemple
A quel prix lagent acceptera-t-il de céder la
loterie ?
Réponse On recherche Pv tel que
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Le concept de prime de risque
La prime de risque indique la quantité de risque
quun individu perçoit dans la loterie . Il
sagit donc de la différence entre lespérance de
la loterie et le prix de vente de la loterie.
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Exemple
Quelle est la prime de risque de la loterie pour
cet agent ?
Réponse
Cet agent perçoit un risque de 304,44, soit une
quantité positive de risque. Notre agent est
risquophobe.
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Quelques précisions
La prime de risque est positive pour un individu
risquophobe, négative pour un individu
risquophile et nulle pour un individu neutre au
risque.
Si lagent est risquophobe on sait que
Doù
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Si lagent est risquophile on sait que
Doù
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Si lagent est neutre vis à vis du risque on sait
que
Doù
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Par ailleurs on sait que
Doù
Équivalent certain Richesse moyenne Prime de
risque
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Lapproximation de Pratt (1964)
A partir de développements limités de Taylor Mac
Laurin, Pratt propose une approximation de
lexpression de la prime de risque. Cette
approximation est
Est une composante subjective propre à lagent
Est une composante objective propre à la loterie
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Exemple
Calculez la prime de risque par lapproximation
de Pratt.
Réponse
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Quelques précisions
La composante subjective de la prime de risque
par lapproximation de Pratt est appelée
coefficient daversion absolue pour le risque.
Propriété 1
Lindividu est risquophobe
Lindividu est neutre vis à vis du risque
Lindividu est risquophile
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Propriété 2
Plus Ru est élevé en étant positif, plus
lindividu est risquophobe.
Propriété 3
Le coefficient Ru est invariant lors de toute
transformation affine croissante de la fonction
dutilité.
Propriété 4
Le coefficient Ru mesure en fait la courbure de
la fonction dutilité.
Propriété 5
De façon réciproque, on peut mesurer la tolérance
pour le risque, notée T u(w) par
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Les fonctions dutilité usuelles
Nous allons présenter quelques fonctions
dutilité qui sont couramment utilisées en
économie.
La fonction dutilité linéaire
Laversion vis à vis du risque est nulle donc un
agent qui aurait une fonction dutilité linéaire
est agent neutre vis à vis du risque.
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La fonction dutilité quadratique
Laversion vis à vis du risque est positive donc
un agent qui aurait une fonction dutilité
quadratique (avec w lt 1/? ) est agent
risquophobe. On remarque que laversion vis à vis
du risque augmente avec la richesse.
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La fonction dutilité logarithmique
Laversion vis à vis du risque est positive donc
un agent qui aurait une fonction dutilité
logarithmique est agent risquophobe. On remarque
que laversion vis à vis du risque décroît avec
la richesse.
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La fonction dutilité exponentielle négative
Laversion vis à vis du risque est positive donc
un agent qui aurait une fonction dutilité
exponentielle négative est agent risquophobe. On
peut remarquer que laversion vis à vis du risque
est constante quelque soit la richesse.
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La fonction puissance
Laversion vis à vis du risque est positive donc
un agent qui aurait une fonction dutilité de ce
type est agent risquophobe. On peut remarquer que
laversion vis à vis du risque est décroissante
par rapport à la richesse.
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Exercice
La classe des fonction dutilité hyperboliques
est définie par
1- Sous quelles conditions laversion pour le
risque est-elle positive ?
2- Sous quelles conditions cette même aversion
est elle décroissante ?
3- Déterminez la tolérance vis à vis du risque
des éléments de cette classe. Quen pensez vous ?
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Exercice 2
Soit un agent dont la psychologie est donnée par
Sa richesse initiale est w050 000
Il peut acheter un billet de type loto qui lui
permet de gagner 3 millions d' avec une chance
sur 13 millions. Quel est le prix maximum est-il
prêt à payer pour acheter un tel billet ?
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Solution
L'agent achètera le billet si et seulement si
l'équivalent certain est supérieur ou égal à sa
richesse initiale.
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Exercice 3
Vous organisez un jeu devant un feu rouge en
pariant sur le premier chiffre de la plaque
d'immatriculation de la première voiture qui
s'arrêtera au feu rouge. Vous êtes curieusement
risquophile !
Vous proposez à un agent risquophile de lui
donner 4 fois sa mise s'il trouve le bon chiffre
! Il désire miser 50
Question Êtes vous d'accord ?
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Solution