Tema 2. EL LENGUAJE DE LA L

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Tema 2. EL LENGUAJE DE LA LÓGICA
PROPOSICIONALa) La construcción de fórmulas
bien formadas
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Cuando el lenguaje falla

• Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles

• SINTÁCTICO

A esta oración del castellano les falla algo
A este otra oración le fallar todavía más cosa
Última es esta galimatías un oración puro
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Cuando el lenguaje falla

• Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles

2. SEMÁNTICO
Esta pitufa del castellano tiene una palabra
extraña
Las ideas verdes incoloras duermen furiosamente
Confucio es impar
La existencia es el devenir del karma cuántico
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Cuando el lenguaje falla

• Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles

3. PRAGMÁTICO
Él ha dicho que le dé la medicina
Declaro abierta la sesión (dicho por un
conserje del Parlamento)
Me da un libro sobre cómo hacer amigos,
carahuevo?
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3 niveles de análisis del lenguaje

1. SINTAXIS Centrada en la estructura formal de las
   oraciones
2. SEMÁNTICA Centrada en las condiciones de verdad
   de las oraciones
3. PRAGMÁTICA Centrada en los efectos del contexto
   sobre las oraciones

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3 niveles de análisis del lenguaje

• En lógica sólo nos va a interesar la sintaxis y
  la semántica.
• Dentro de la semántica sólo nos va a interesar la
  parte formal, i.e., el modo en que la disposición
  formal de los elementos afecta a los valores de
  verdad
• Sólo Kant ama a Hume ? Kant ama sólo a Hume

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El alfabeto lógico

• Todo lenguaje necesita de
• Un alfabeto, i.e., un conjunto de elementos
  primitivos desde los que construimos sus
  expresiones
• El alfabeto latino no resulta ser el mismo que el
  ruso

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La sintaxis lógica

• Todo lenguaje necesita de
• 2. Reglas de combinación de los elementos
  primitivos
• Inglés y español comparten alfabeto, pero no
  admiten las mismas combinaciones
• ortográficas THR no es una combinación de letras
  admisible en español
• sintácticas el español admite sujeto elíptico

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Alfabeto de la lógica proposicional

• El lenguaje de la lógica proposicional (L0)
  necesita tres tipos distintos de símbolos
• CONSTANTES PROPOSICIONALES
• CONECTIVAS LÓGICAS
• SÍMBOLOS AUXILIARES

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Alfabeto de la lógica proposicional

• 1. CONSTANTES PROPOSICIONALES
• Simbolizan oraciones o proposiciones, i.e.,
  unidades que tienen un valor de verdad
• Son los equivalentes lógicos de llueve, yo soy
  Pepe, mañana es viernes,
• el universo es una sucesión infinita de
  transmigraciones cósmicas

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Alfabeto de la lógica proposicional

• 1. CONSTANTES PROPOSICIONALES
• Utilizaremos las siguientes letras minúsculas
• p, q, r, s, t, u
• Si necesitamos simbolizar más oraciones (un
  número infinito de ellas), recurrimos a
  subíndices numéricos
• p1, p2, p3, p4, p5

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Alfabeto de la lógica proposicional

• 2. CONECTIVAS LÓGICAS
• Las oraciones pueden conectarse entre sí por
  medio de partículas con valor lógico
• Las principales partículas son cinco, que
  equivalen a las siguientes
• Y , O, SI(ENTONCES), SI Y SÓLO SI, NO

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Alfabeto de la lógica proposicional

• 2. CONECTIVAS LÓGICAS
• Estas partículas caen en dos grupos
• Binarias Las que conectan dos oraciones
• Hume canta Y Kant humea
• Platón tiene razón O la tiene Aristóteles
• SI Dios no existe, todo está permitido
• Aprobaré lógica SI Y SÓLO SI estudio

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Alfabeto de la lógica proposicional

• 2. CONECTIVAS LÓGICAS
• b) Monarias Las que se aplican a una sola
  oración
• Hume NO canta
• NO hay vida más allá de Marte
• NO todos los filósofos están locos
• (ojo! No confundir con
• Los filosófos NO están locos)

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Alfabeto de la lógica proposicional

• 2. CONECTIVAS LÓGICAS
• En lógica estas partículas reciben nombres y
  símbolos especiales

No NEGADOR
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Alfabeto de la lógica proposicional

• 2. CONECTIVAS LÓGICAS
• En lógica estas partículas reciben nombres y
  símbolos especiales

Y CONYUNTOR ?
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Alfabeto de la lógica proposicional

• 2. CONECTIVAS LÓGICAS
• En lógica estas partículas reciben nombres y
  símbolos especiales

O DISYUNTOR ?
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Alfabeto de la lógica proposicional

• 2. CONECTIVAS LÓGICAS
• En lógica estas partículas reciben nombres y
  símbolos especiales

SI(ENTONCES) CONDICIONAL ?
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Alfabeto de la lógica proposicional

• 2. CONECTIVAS LÓGICAS
• En lógica estas partículas reciben nombres y
  símbolos especiales

SI Y SÓLO SI BICONDICIONAL ?
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Alfabeto de la lógica proposicional

• 3. SÍMBOLOS AUXILIARES
• Son paréntesis y corchetes, que sirven para
  agrupar los otros símbolos de manera que se
  puedan evitar ambigüedades
• ( )

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Alfabeto de la lógica proposicional

• He aquí todo de una vez
• CONSTANTES p, q, r, s, t, u, p1, p2, p3
• CONECTIVAS , ?, ?, ?, ?
• AUXILIARES (, ), ,

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Recursividad

• La mayoría de los lenguajes son recursivos
  empleando un número finito de elementos es
  posible construir un número infinito de oraciones.

La mosca a la que persigue la araña a la que
persigue el ratón al que persigue el gato al que
persigue el perro es de color negro
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Recursividad

• Una fuente de recursividad es la posibilidad de
  unir oraciones simples para formar compuestas.
• Las partículas lógicas desempeñan en esto un
  papel fundamental.

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Recursividad

• La recursividad comienza por tomar algunos
  elementos básicos y definir cómo se construyen
  los elementos complejos a partir de ellos
• Dadas las oraciones básicas Hume canta, Kant
  baila, también son oraciones las siguientes
• Hume canta y Kant baila
• Hume canta o Kant baila
• Si Hume canta, Kant baila
• Hume no canta
• Kant no baila
• Hume canta si y sólo si Kant baila ETC.

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Recursividad

• Podemos seguir aplicando esto en general dadas
  las oraciones O y O, son también oraciones las
  siguientes
• O y O, O o O, Si O entonces O, no O, etc.

• Podemos aplicar la regla cuantas veces queramos
  dado que
• Hume canta y Kant baila y Hegel da palmas son
  oraciones, también lo será
• Si Hume canta y Kant baila, Hegel da palmas

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Recursividad

• -Hume canta o Kant baila o Hegel da palmas
• -Hume canta y Kant baila y Hegel da palmas
• -Hume canta, o Kant baila y Hegel da palmas
• -Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas
• -Si Hume canta y Hegel da palmas, Kant baila
• -Hegel da palmas si y sólo si Kant baila
• -Si Hume canta, entonces si Kant baila, Hegel da
  palmas

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Recursividad

• La recursividad permite construir algunas
  oraciones peculiares
• -Hume canta y Kant baila y Hume canta y Kant
  baila y Hume canta y Kant baila
• -Si Hegel da palmas, Hegel da palmas
• -Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume
  canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o
  Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta
  o Hume canta
• Son peculiares desde el punto de vista
  pragmático, pero sintáctica y semánticamente
  están bien construidas

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Recursividad

• Nuestro lenguaje lógico también va a ser
  recursivo.
• Las oraciones en nuestro lenguaje se van a llamar
  FÓRMULAS
• Comenzaremos por definir cuáles son las oraciones
  simples o fórmulas atómicas
• A continuación daremos un método de combinación
  de fórmulas atómicas para obtener oraciones
  compuestas o fórmulas moleculares

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Fórmulas atómicas

• Serán las que correspondan a las oraciones
  simples del castellano sin ninguna partícula
  lógica.
• Se trata por tanto de las constantes
  proposicionales
• p
• q
• r

son (algunas) fórmulas atómicas
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Fórmulas moleculares

• Las formaremos a partir de las atómicas,
  empleando las conectivas lógicas
• p ? q
• p ? r
• q ? p
• r ? q
• ?q

son (algunas) fórmulas moleculares
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Ambigüedad

• En el lenguaje natural con frecuencia aparecen
  posibles ambigüedades
• Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas
• Da o no da palmas Hegel?

Ahora sí Hume canta o Kant baila, y Hegel da
palmas
Ahora no se sabe Hume canta, o Kant baila y
Hegel da palmas
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Ambigüedad

• En lógica queremos construir fórmulas que
  excluyan toda ambigüedad.
• En el lenguaje natural usamos diversos elementos
  para evitar la ambigüedad, como 1) pausas
  prosódicas, 2) signos de puntuación y, 3) el
  contexto.
• Pero en lógica sólo tenemos un recurso (parecido
  a 2) construir las fórmulas con reglas muy
  precisas.

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Ambigüedad

• Nuestro principal recurso contra la ambigüedad
  son los PARÉNTESIS.
• Sea p ? Hume canta q ? Kant baila
• r ? Hegel da palmas
• p ? q ? r es AMBIGUA equivale a
• Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas
• p ? (q ? r) ? H canta, o K baila y He da palmas
• (p ? q) ? r ? H canta o K baila, y He da palmas

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Metavariables

• Si la lógica es nuestro lenguaje objeto, el
  castellano es su metalenguaje.
• Pero necesitamos ampliar nuestro metalenguaje con
  algunos símbolos que hacen las veces de
  abreviaturas.
• Para referirnos a fórmulas en general usaremos
  letras griegas
• ? ? ?
• - Las llamaremos METAVARIABLES

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Metavariables

• Una constante, como p, representa aquello que la
  hace verdadera o falsa (llueve las rosas son
  rojas, etc)
• Una metavariable, como ?, representa cualquier
  fórmula
• p q p?r p ? (q ? r) p ?(p ?p)
• - Vamos a definir nuestras reglas de formación de
  fórmulas de manera más precisa

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Reglas de formación

• (i) Toda constante proposicional sola es una
  fórmula (atómica)
• (ii) Si ? es fórmula, entonces ? es fórmula
• (iii) Si ?, ? son fórmulas, (? ? ?), (? ? ?), (?
  ? ?), (? ? ?) son fórmulas
• (iv) Sólo son fórmulas las secuencias que
  satisfacen (i), (ii) o (iii)

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Reglas de formación

• (i) Toda constante proposicional sola es una
  fórmula
• De este modo obtenemos nuestras fórmulas
  atómicas
• p q r s t
• u p1 p2 p3

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Reglas de formación

• (ii) Si ? es fórmula, entonces ? es fórmula
• Dadas las anteriores, también son fórmulas
• p q r s t
• u p1 p2 p3

-Podemos aplicar recursivamente (ii) sobre las
fórmulas recién obtenidas p q p Todas
estas también son fórmulas
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Reglas de formación

• (iii) Si ?, ? son fórmulas, (? ? ?), (? ? ?),
• (? ? ?), (? ? ?) son fórmulas
• -Dadas (i) y (iii) serán fórmulas
• (p ? q) (p ? s) (p ? r) (q ?p )
• (p ? q) (p ? s) (p ? r) (q ? p)
• (p ? q) (p ? r)
• (p ? q) (p ? r)

40
Reglas de formación

• (iii) Si ?, ? son fórmulas, (? ? ?), (? ? ?), (?
  ? ?), (? ? ?) son fórmulas
• -Si además tenemos en cuenta (ii), son fórmulas
• (p ? q) (p ? s) (p ? r) (q ? p )
• (p ? q) (p ? s) (p ? r) (q ? p)
• (p ? q) (p ? r) (p ? r)
• (p ? q) (p ? r) (p ? r)

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Reglas de formación

• (iii) Si ?, ? son fórmulas, (? ? ?), (? ? ?), (?
  ? ?), (? ? ?) son fórmulas
• -Y podemos aplicar otra vez (ii) sobre las
  últimas fórmulas
• (p ? q) (p ? s) (p ? r) (q ? p )
• (p ? q) (p ? s) (p ? r) (q ? p)
• (p ? q) (p ? r) (p ? r)
• (p ? q) (p ? r) (p ? r)
• (p ? q) (p ? q) (p ? q)

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Reglas de formación

• Y podemos seguir aplicando (ii) y (iii) cuanto
  queramos
• (p ? (p ? q))
• (p ? (q ? s)) (p ? r) ? (q ? p )
• (p ? ((p ? q) ? (p ? s)))
• ((p ? r) ? (q ? p)) ? (p ? q)

43
Reglas de formación

• (iv) Sólo son fórmulas las secuencias que
  satisfacen (i), (ii) o (iii)
• - Esta es una cláusula de cierre, que limita
  nuestras fórmulas exclusivamente a las formadas
  por las reglas anteriores.

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Reglas de simplificación

• Pueden suprimirse siempre
• (a) Los dos paréntesis externos
• (p ? (q ? r)) ? p ? (q ? r)
• (Nota El símbolo ? se lee como es equivalente
  a)

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Reglas de simplificación

• Pueden suprimirse siempre
• (b) Los paréntesis internos no precedidos de
  negador en secuencias compuestas totalmente por
  conyuntores o totalmente por disyuntores
• (p ? (q ? r)) ? (p ? q ? r)
• pero (p ? (q ? r)) ? (p ? q ? r) !!
• (p ? (q ? r)) ? (p ? q ? r)
• pero (p ? (q ? r)) ? (p ? q ? r) !!

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Conectiva dominante

• Consideremos cómo se forman las fórmulas
  moleculares
• - La última regla de formación que hayamos usado
  ha tenido que ser (ii) o (iii), i.e., la última
  regla ha introducido el negador o una conectiva
  binaria

p lo último introducido es el negador q ? r
lo último introducido es el conyuntor ? p ? (q ?
r) lo último introducido es el disyuntor ? (p ?
q) ? (p ? q) lo último introducido es ?
47
Conectiva dominante

• La última conectiva introducida será la CONECTIVA
  DOMINANTE de la fórmula.
• Es importante distinguirla, porque es a la que
  habrá que atender para determinar el valor de
  verdad de la fórmula.

?
p ? (r ? s) (p ? (q ? r)) p ? (p ? (p ?
p)) ((p ? q) ? (p ? q)) (((p ? q) ? p) ? q) ?
p (p ? (q ? r ? (p ? q)))

?
el primer
el segundo ?
no es fórmula
48
Ejercicio cuáles son fórmulas?

• ((p ? q)
• (p ? q) ? p ? q
• ((q ? (r ? s)) ? (p ? q)) ? r
• (s ? (p ? q))
• (p ? (q ? (r ?(s ? t))))
• p
• (q ? (r ? (p ? q))) ? (q ? (r ? (p ? q)))

NO
NO
SÍ
NO
SÍ
NO

SÍ
49
Ejercicio cuáles son fórmulas?

• ((q ? r) ? (p ? q)) ? (q ? r) ? ((p ? q) ? q)
• (p ? q) ? r) ?s) ? t))))
• (((p ? q ? r) ? (q ? p)) ? (p ? s)) ? (p ? q
  ? r)
• (p ? (q ? p ? r)) ? (p ? q)
• (((p ? (q ? r)) ? (q ? s)) ? (s ? p)) ? (p ?
  q)
• (p ? q ? r) ? (p ? q ? r) ? (p ? q ? r)
• (p ? q) ? (p ? q) ? (p ? q) ? (p ? q)

NO
NO
SÍ
NO
NO
SÍ
SÍ
50
Ejercicio conectiva dominante

• (p ? q)
• (p ? q) ? (p ? q)
• ((q ? (r ? s)) ? (p ? q)) ? r
• (s ? (p ? q))
• (p ? (q ? (r ?(s ? t))))
• p
• (q ? (r ? (p ? q))) ? (q ? (r ? (p ? q)))

el primer
?
?

el primer
el primer
2º ?
51
Ejercicio conectiva dominante

• (((q ? r) ? (p ? q)) ? (q ? r)) ? ((p ? q) ?
  q)
• ((((p ? q) ? r) ?s) ? t)
• (((p ? q ? r) ? (q ? p)) ? (p ? s)) ? (p ? q
  ? r)
• (p ? (q ? (p ? r))) ? (p ? q)
• (((p ? (q ? r)) ? (q ? s)) ? (s ? p)) ? (p ?
  q)
• (p ? q ? r) ? (p ? q ? r) ? (p ? q ? r)
• (p ? q) ? (p ? q) ? (p ? q) ? (p ? q)

2º ?
el primer
2º?
?
3er ?
cualquier ?
cualquier ?